§4.5 极值问题

做函数 f ( x ) 的驻点.
注意: 注意: (1) 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 点,
但函数的驻点却不一定 是极值点 .
( 2) 导数不存在的点也可能 是极值点.
y = x 3 , y ′ x = 0 = 0, 例如, 例如
但x = 0不是极值点. 不是极值点
y = x 在 x = 0 不可导,但 x = 0 是极小值点 . 不可导,
故命题不成立. 故命题不成立.
练习题
一,填空题: 填空题: ________性质 性质. 1,极值反映的是函数的 ________性质. 可导, 2,若函数 y = f ( x ) 在 x = x 0 可导,则它在点 x 0 处到 得极值的必要条件中为___________. 得极值的必要条件中为___________. 3,函 数 y = 2 ( x 1) 的 极 值 点 为 ________ ;
思考题
下命题正确吗? 下命题正确吗?
的极小值点, 如果 x 0 为 f ( x ) 的极小值点,那么必存在 的某邻域,在此邻域内, x 0 的某邻域,在此邻域内, f ( x ) 在 x 0 的左侧 下降, 的右侧上升. 下降,而在 x 0 的右侧上升
思考题解答
不正确. 不正确.
1 2 2 + x ( 2 + sin ), x ≠ 0 例 f ( x) = x 2, x=0 1 2 当 x ≠ 0时, f ( x ) f ( 0) = x ( 2 + sin ) > 0 x
1 e
三,最大值与最小值问题 最大值与最小值问题
则其最值只能 在极值点 端点 极值点或端点 极值点 端点处达到 . 求函数最值的方法: 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点
(2) 最大值
M = max{
最小值
f (a), f (b)}
特别: 特别 当 在 内只有一个极值可疑点时, 内只有一个极值可疑点时
函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值 极值的点称为极值点 极值点. 极值的点称为极值点
二,函数极值的求法
定理1 必要条件) 定理1(必要条件) 设 f (x)在点x0 处具有导数,且 处具有导数, ' 在x0处 得 值 那 必 f ( x0 ) = 0. 取 极 , 末 定 定义 使导数为零的点 (即方程 f ′( x ) = 0 的实根 )叫
2 f ′( x ) = ( x 2 ) 3 3 1
2 3
( x ≠ 2)
当x = 2时, f ′( x )不存在 . 但函数 f ( x )在该点连续 .
当x < 2时, f ′( x ) > 0; 当x > 2时, f ′( x ) < 0.
M
∴ f ( 2) = 1为f ( x )的极大值 .
x
( ∞ ,1) 1
+
(1,3)
3 0
极 小 值
( 3,+∞ )
+
f ′( x ) f ( x)
0
极 大 值
↑
↓
↑
极 值 f (1) = 10,
极 值 f ( 3) = 22.
f ( x ) = x 3 3 x 2 9 x + 5图形如下
M
m
例2 解
求出函数 f ( x ) = 1 ( x 2) 的极值 .
所以,函数 处取得极大值. 所以 函数 f ( x )在 x0 处取得极大值
同理可证( 2).
1 例3 求函数 f ( x ) = cos x + cos( 2 x )的极值 . 2 解 f ′( x ) = sin x sin( 2 x ) = sin x (1 + 2 cos x ) = 0 2π ( k = 0,1,) 驻点x = kπ , 或x = 2kπ ± 3 f ′′( x ) = cos x 2 cos( 2 x )
( 3 ) 由第一充分条件判断 x i 是否是极值点,并求极 值 . 是否是极值点,
例1 求出函数 f ( x ) = x 3 3 x 2 9 x + 5 的极值 . 解
f ′( x ) = 3 x 2 6 x 9 = 3( x + 1)( x 3)
令 f ′( x ) = 0, 得驻点 x1 = 1, x2 = 3. 列表讨论
y y
+ o
x0
x
+
x0
o
x
(是极值点情形 是极值点情形) 是极值点情形
y
+ +
y
o
x0
x
o
x0
x (不是极值点情形 不是极值点情形) 不是极值点情形
求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求 f ′( x )=0和使 f ′( x )不存在的点 x1 , x2 , xn ;
( 2) 检查 f ′( x ) 在各xi ( i = 1,, n) 左右的正负号;
f ′′( kπ ) = ( 1) k +1 2 < 0
1 ∴ 在x = kπ处,f ( x )有极大值 f ( kπ ) = ( 1) + 2 2π 1 3 f ′′( 2kπ ± ) = +1 = > 0 3 2 2 2π 2π 3 )= ∴ 在x = 2kπ ± 处,f ( x )有极大值 f ( 2kπ ± 3 3 4
若在此点取极大 (小) 值 , 则也是最大 (小)值 . 小 小 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到. 上单调时 最值必在端点处达到
对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 .
例1 求函数 y = 2 x 3 + 3 x 2 12 x + 14 的在[3,4]
∵ f ′′( x ) = 6 x + 6,
∵ f ′′( 4) = 18 < 0,
f ′′( 2) = 18 > 0,
故极大值 f (4) = 60, 故极小值 f ( 2) = 48.
f ( x ) = x 3 + 3 x 2 24 x 20 图形如下
M
m
注意: f ′′( x0 ) = 0时, f ( x )在点x0处不一定取极值 , 注意:
k
1 cos ( x) + cos ( 2x) 2
10
5
0
5
10
x
例4 求出函数 f ( x ) = x 3 + 3 x 2 24 x 20 的极值 . 解
f ′( x ) = 3 x 2 + 6 x 24 = 3( x + 4)( x 2)
x 2 = 2.
令 f ′( x ) = 0, 得驻点 x1 = 4,
y = 2x3 + 3x2 12x + 14
最大值 f (4) = 142, 最小值 f (1) = 7.
例2 求 f ( x ) = ( x 1 )
3
x 2 的在 [ 1, 1] 上的最大值
与最小值 .
解 ∵ f ( x ) ∈ C[ 1,1] , 上有最大值和最小值. ∴ f ( x ) 在 [ 1, 1] 上有最大值和最小值.
f ′( x 0 + x ) f ′( x 0 ) 证 (1) ∵ f ′′( x0 ) = lim < 0,
x → 0
x
异号, 故f ′( x0 + x ) f ′( x0 )与x异号,
当x < 0时, 有f ′( x0 + x ) > f ′( x0 ) = 0, 当x > 0时, 有f ′( x0 + x ) < f ′( x0 ) = 0,
二,求下列函数的极值: 求下列函数的极值: 1 , y = e x cos x ; 2, y = x ; x2 y 3 ,方程e + y = 0 所确定的函数 y = f ( x ) ; x12 4 , y = e , x ≠ 0 . 0, x = 0 证明题: 三 ,证明题: 1 ,如果 y = ax 3 + bx 2 + cx + d 满 足条 b 2 3ac < 0 , 则函数无极值. 则函数无极值. 2, 2 ,设 f ( x ) 是有连续的二阶导数的偶函数 f ′′( x ) ≠ 0 , 的极值点. 则 x = 0 为 f ( x ) 的极值点.
定理3(第二充分条件) 定理3(第二充分条件) 设 f (x)在 x0处具有二阶导数, 3(第二充分条件 处具有二阶导数, 且 f ' ( x0 ) = 0, f '' ( x0 ) ≠ 0, 那末 '' (1)当 处取得极大值; (1)当 f ( x0 ) < 0时, 函数 f (x)在 x0处取得极大值; (2)当 处取得极小值. (2)当 f '' ( x0 ) > 0时, 函数 f (x)在 x0处取得极小值.
于是 x = 0为 f ( x ) 的极小值点
当 x ≠ 0时,
1 1 f ′( x ) = 2 x ( 2 + sin ) cos x x 当 x → 0 时,
1 1 2 x ( 2 + sin ) → 0, cos 在–1和1之间振荡 和 之间振荡 x x
的两侧都不单调. 因而 f ( x ) 在 x = 0 的两侧都不单调
2 3 1 3
y = 3 2( x + 1) 的极值为__________. 的极值为__________. x 3x , x > 0 4,已知函数 f ( x ) = 当 x = _______ 时 , x + 1, x ≤ 0 y = ________ 为极 小 值 ; 当 x = ________ 时 , y = ________ 为极 大值. 大值.