2020-2021学年北师大版初三数学上册单元训练卷 第4章 图形的相似【含答案】
北师大版九年级数学上册第四章：图形的相似 单元测试卷( 含解析)
2020年秋北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试卷一、选择题（共10题；共30分）1.若x3＝y2，则x+yx−y的值是（）A. 5B. 4C. 3D. 22.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交AC于点H，则HE：AH等于（）A. 1：1B. 1：2C. 2：1D. 3：23.如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )A. 2 cm2B. 4 cm2C. 8 cm2D. 16 cm24.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且DE与BC不平行．下列条件中，能判定△ADE与△ACB相似的是（）A. ADAC =AEABB. ADAE=ABACC. DEBC=AEABD. DEBC=ADAC5.如图，在矩形ABCD中，E是CD上的一点，ΔABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立的是（）A. ∠DAE =30∘B. ∠BAC =45∘C. EF FB =12D. AD AB =√32 6.路边有一根电线杆AB 和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A 的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G 处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E 点（如图），已知BC=5米，长方形广告牌的长HF=4米，高HC=3米，DE=4米，则电线杆AB 的高度是（ ）A. 6.75米B. 7.75米C. 8.25米D. 10.75米7.如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心.已知OA ：OD ＝1：2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ）A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：58.如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AC 于点E ， 交AD 于点F ， 交CD 的延长线于点G ， 若AF ＝2FD ， 则 BE EG 的值为（ ）A. 12B. 13C. 23D. 349.在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC 是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE （不含△ABC ），使得△ADE ∽△ABC （同一位置的格点三角形△ADE 只算一个），这样的格点三角形一共有（ ）。
北师大版九年级数学上册《第四章图形的相似》单元测试(含答案)
第四章 图形的相似第Ⅰ卷 (选择题 共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列各组中的四条线段是成比例线段的是( )A ．1 cm ，2 cm ，20 cm ，40 cmB ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmC ．6 cm ，4 cm ，1 cm ，3 cmD ．5 cm ，10 cm ，15 cm ，20 cm2．如图1，两条直线分别被三条平行直线l 1，l 2，l 3所截，若AB ＝3，BC ＝6，DE ＝2，则DF 的长为( )图1A ．4B ．5C ．6D ．73．若a b ＝35，则a ＋b b的值是( )A.58B.35C.85D.324．如图2，△ABC 中，AC ＝BC ，在边AB 上截取AD ＝AC ，连接CD ，若点D 恰好是线段AB 的一个黄金分割点，则∠A 的度数是( )图2A．22.5° B．30° C．36° D．45°5．如图3所示，将△ABO的三边分别扩大为原来的2倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是( )A．(－4，－3) B．(－3，－3) C．(－4，－4) D．(－3，－4)图36．如图4，已知矩形ABCD，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD的长为( )图4A. 5B.5＋1 C．4 D．2 37．在小孔成像问题中，光线穿过小孔，在屏幕上形成倒立的实像，如图5所示，若点O到AB的距离是18 cm，点O到CD的距离是6 cm，则像CD的长是AB长的( )图5A ．3倍 B.12C.13D ．不知AB 的长度，故无法判断8．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图6所示的测量方案，把一面很小的镜子水平放置在离树底(B )8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝3.2米，观察者目高CD ＝1.6米，则树(AB )的高度为( )图6A ．4.2米B ．4.8米C ．6.4米D ．16.8米9．如图7，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 边的中点B ′重合，若AB ＝2，BC ＝3，则△FCB ′与△B ′DG 的面积之比为( )A．9∶4 B．3∶2 C．4∶3 D．16∶9图710．如图8，在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D的运动速度为1 cm/s，点E的运动速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )图8A．3 s或4.8 s B．3 sC．4.5 s D．4.5 s或4.8 s请将选择题答案填入下表：题号12345678910总分答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图9，D 是等边三角形ABC 中边AB 上的点，AD ＝2，DB ＝4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E ，F 分别在边AC 和BC 上，则CFCE＝________．图912．如图10，△ABC 中，AB ＝6，DE ∥AC ，将△BDE 绕点B 顺时针旋转得到△BD ′E ′，点D 的对应点D ′落在边BC 上．已知BE ′＝5，D ′C ＝4，则BC 的长为________．图1013．若a b ＝c d ＝e f ＝12，则3a －2c ＋e 3b －2d ＋f(3b －2d ＋f ≠0)＝________．14．如图11所示，Rt △DEF 是由Rt △ABC 沿BC 方向平移得到的，若AB ＝8，BE ＝4，DH ＝3，则△HEC 的面积为________．图1115．如图12，在△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D ，A 在直线BC 的同侧，且∠ACD ＝∠B ，CD ＝2，E 是线段BC 延长线上的动点，当△DCE 和△ABC 相似时，线段CE 的长为________．图1216．如图13，直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△BOC 与△B ′O ′C ′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B 的对应点B ′的坐标为________．图13三、解答题(共72分)17．(6分)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a ＋43＝b ＋32＝c ＋84，a ＋b ＋c ＝12，试求a ，b ，c 的值，并判断△ABC 的形状．18．(6分)如图14，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别是O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(－3，3)．(1)以原点O为位似中心，在点O的异侧画出四边形OABC的位似图形四边形OA1B1C1，使它与四边形OABC的相似比是2∶3；(2)写出点A1，B1，C1的坐标；(3)求四边形OA1B1C1的面积．图1419．(8分)已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图15①)或线段AB的延长线(如图15②)于点P.(1)当点P 在线段AB 上时，求证：△AQP ∽△ABC ；(2)当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长．图1520．(8分)如图16①，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且AD AB ＝AEAC .(1)求证：DE ∥BC ；(2)如图②，在△ABC 中，D 为边AC 上任意一点，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE 并延长CE 交边AB 于点F ，求证：BF AF ＝CDAC；(3)在(2)的条件下，若AB ＝AC ，AF ＝CD ，求BFAF的值．图1621．(10分)如图17是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，并作为丝绸之路的一处重要遗址点，被列入《世界遗产名录》．小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度，由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，于是在阳光下，他们首先利用影长进行测量，方法如下：小铭在小雁塔的影子顶端D 处竖直立一根木棒CD ，并测得此时木棒的影长DE ＝2.4米；然后，小希在BD 的延长线上找出一点F ，使得A ，C ，F 三点在同一直线上，并测得DF＝2.5米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒高CD＝1.72米，AB⊥BF，CD⊥BF，试根据以上测量数据，求小雁塔的高度AB.图1722．(10分)如图18，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)．(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数表达式；(2)当t为何值时，△POQ与△AOB相似？图1823．(12分)如图19，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，D是BC边上的一个动点(不与点B，C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE＝30°.(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．图1924．(12分)如图20①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行研究时，由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”，类似给出“黄金分割线”的定义：一条直线将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2S 1，那么称这条直线为该图形的黄金分割线．(1)如图②，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，∠ACB 的平分线交AB 于点D ，请问直线CD 是不是△ABC 的黄金分割线？并证明你的结论；(2)如图③，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边BC 上一点，若直线AE 是正方形ABCD 的黄金分割线，求BE 的长．图20详解详析1．A2．C [解析] ∵两条直线分别被三条平行直线l 1，l 2，l 3所截，∴AB BC ＝DE EF.∵AB ＝3，BC ＝6，DE ＝2，∴EF ＝4，∴DF ＝DE ＋EF ＝2＋4＝6.故选C.3．C4．C [解析] ∵点D 是线段AB 的一个黄金分割点，∴AD 2＝BD ·AB . ∵AD ＝AC ＝BC ，∴BC 2＝BD ·AB ， 即BC ∶BD ＝AB ∶BC .而∠ABC ＝∠CBD ，∴△BCD ∽△BAC ， ∴∠A ＝∠BCD .设∠A ＝x °，则∠B ＝x °，∠BCD ＝x °， ∴∠ADC ＝∠BCD ＋∠B ＝2x °. 而AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC ＝2x °， ∴x ＋2x ＋2x ＝180，解得x ＝36， 即∠A ＝36°.故选C.5．A6．B [解析] 由折叠知AF ＝AB ＝2，设AD ＝x ，则FD ＝x －2，EF ＝2，∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，∴EF FD ＝AD AB ，即2x －2＝x 2，解得x 1＝1＋5，x 2＝1－5(不合题意，舍去)，即AD 的长为5＋1.故选B.7．C [解析] 过点O 作OM ⊥AB 于点M ，交CD 于点N ，如图，则OM ＝18 cm ，ON ＝6 cm.∵AB ∥CD ，∴△ODC ∽△OAB ，∴CD AB ＝ON OM ＝618＝13，即CD 的长是AB 长的13.故选C.8．A [解析] 如图，过点E 作EF ⊥BD 于点E ，则∠1＝∠2.∵∠DEF ＝∠BEF ＝90°，∴∠DEC ＝∠AEB .∵CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，∴∠CDE ＝∠ABE ＝90°，∴△CDE ∽△ABE ，∴DE BE ＝CDAB.∵DE ＝3.2米，CD ＝1.6米，BE ＝8.4米，∴3.28.4＝1.6AB，解得AB ＝4.2米． 9．D [解析] 本题运用方程思想，设CF ＝x ， 则BF ＝3－x ，易得CF 2＋CB ′2＝FB ′2，即x 2＋12＝(3－x )2，解得x ＝43.由已知可证得Rt △FCB ′∽Rt△B ′DG ，所以S △FCB ′S △B ′DG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CF DB ′2＝169.10．A [解析] 本题运用分类讨论的思想，分△ADE ∽△ABC 和△ADE ∽△ACB 两种情况分别求解．11.54 [解析] ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AC ＝BC ＝AB ＝AD ＋DB ＝6.由折叠的性质可知∠EDF ＝∠C ＝60°，EC ＝ED ，FC ＝FD ，∴∠AED ＝∠BDF ， ∴△AED ∽△BDF ，∴DF DE ＝BD ＋DF ＋BF AE ＋AD ＋DE ＝108＝54，∴CF CE ＝DF DE ＝54. 12．2＋34 [解析] 由旋转可得BE ＝BE ′＝5，BD ＝BD ′. ∵D ′C ＝4，∴BD ′＝BC －4，即BD ＝BC －4.∵DE ∥AC ，∴BD BA ＝BE BC ，即BC －46＝5BC，解得BC ＝2＋34(负值已舍)，即BC 的长为2＋34.13.12 [解析] 由a b ＝c d ＝e f ＝12，得a ＝12b ，c ＝12d ，e ＝12f ，所以3a －2c ＋e 3b －2d ＋f ＝1.5b －d ＋0.5f3b －2d ＋f ＝12. 14.503 [解析] 设CE ＝x ，由△CEH ∽△CBA ，得EH AB ＝CE CB ，即8－38＝x x ＋4，∴x ＝203，∴S△HEC＝12×203×5＝503.15.43或3 [解析] ∵∠ACD ＋∠DCE ＝∠B ＋∠A ，∠ACD ＝∠B ，∴∠DCE ＝∠A ，∴∠A 与∠DCE 是对应角，∴△DCE 和△ABC 相似有两种情况：(1)当△BAC ∽△ECD 时，AB CE ＝AC CD ，∴4CE ＝62，∴CE ＝43； (2)当△BAC ∽△DCE 时，AB CD ＝ACCE， ∴42＝6CE，∴CE ＝3. 综上所述，CE 的长为43或3.故答案为：43或3.易错警示△DCE 和△ABC 相似有两种情况，注意不要漏解．16．(4，3)或(－8，－3) [解析] 由直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，得点A (－2，0)，点B (0，1)．画△BOC 的位似图形△B ′O ′C ′如图所示．∵△BOC 与△B ′O ′C ′的相似比为1∶3，∴点B ′(x ，3)或(x ，－3)．∵点B ′(x ，3)或(x ，－3)在直线y＝12x ＋1上，∴点B ′的坐标为(4，3)或(－8，－3)． 故答案为(4，3)或(－8，－3)．17．解：设a ＋43＝b ＋32＝c ＋84＝k (k ≠0)，∴a ＝3k －4，b ＝2k －3，c ＝4k －8. ∵a ＋b ＋c ＝12，将a ＝3k －4，b ＝2k －3，c ＝4k －8代入上式， 得3k －4＋2k －3＋4k －8＝12， ∴9k ＝27，即k ＝3. ∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.∵b 2＋c 2＝9＋16＝25，a 2＝52＝25， ∴b 2＋c 2＝a 2，∴△ABC 是直角三角形．18．解：(1)如图所示，四边形OA 1B 1C 1即为所求．(2)由图形可得A 1(－4，0)，B 1(－2，－4)，C 1(2，－2)．(3)四边形OA 1B 1C 1的面积为12×2×4＋12×(3＋4)×2＋12×3×2＝14.19．解：(1)证明：∵∠A ＋∠APQ ＝90°，∠A ＋∠C ＝90°， ∴∠APQ ＝∠C . 在△AQP 和△ABC 中， ∵∠APQ ＝∠C ，∠A ＝∠A ， ∴△AQP ∽△ABC .(2)在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理，得AC ＝5. ①当点P 在线段AB 上时． ∵△PQB 为等腰三角形，∴PB ＝PQ . 由(1)可知，△AQP ∽△ABC ，∴PA AC ＝PQBC，即3－PB 5＝PB 4，解得PB ＝43， ∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53；②当点P 在线段AB 的延长线上时． ∵△PQB 为等腰三角形， ∴PB ＝BQ ，∴∠BQP ＝∠P .∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°，∴∠AQB ＝∠A ，∴BQ ＝AB ， ∴AB ＝BP ，即B 为线段AP 的中点， ∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6.20．解：(1)证明：∵∠A ＝∠A ，AD AB ＝AEAC， ∴△ADE ∽△ABC ，∴∠ADE ＝∠B ， ∴DE ∥BC .(2)证明：如图，过点D 作DG ∥AB 交CF 于点G ，则△CDG ∽△CAF ，∴DG AF ＝CD AC.∵E 是BD 的中点，∴BE ＝ED . ∵DG ∥AB ，∴∠FBE ＝∠EDG .在△BEF 和△DEG 中，∠FBE ＝∠EDG ，∠FEB ＝∠GED ，BE ＝ED ，∴△BEF ≌△DEG (ASA)，∴BF ＝DG ，∴BF AF ＝CDAC.(3)由(2)可得BF AF ＝CDAC.∵AB ＝AC ，AF ＝CD ，∴BF AF ＝AFAF ＋BF，∴BF 2＋BF ·AF －AF 2＝0，∴(BF AF)2＋BF AF －1＝0，解得BF AF ＝－1±52，而BE AF >0，∴BF AF ＝5－12.21．解：由题意得∠ABD ＝∠CDE ＝90°， ∠ADB ＝∠CED ，∴△CDE ∽△ABD ，∴CD AB ＝DE BD.∵由题意得∠CDF ＝∠ABF ＝90°，∠CFD ＝∠AFB ，∴△CDF ∽△ABF ，∴CD AB ＝DF BF，∴DE BD ＝DF BF，即2.4BD ＝ 2.5BD ＋2.5，∴BD ＝60， ∴1.72AB ＝2.460，∴AB ＝43. 答：小雁塔的高度AB 是43米．22．解：(1)由题意，得BQ ＝t 厘米，OP ＝t 厘米． 因为OB ＝6厘米， 所以OQ ＝(6－t )厘米．所以y ＝12OP ·OQ ＝12t ·(6－t )＝－12t 2＋3t (0≤t ≤6)． (2)当△POQ 与△AOB 相似时，①若OQ OB ＝OP OA ，即6－t 6＝t 12，解得t ＝4； ②若OQ OA ＝OP OB ，即6－t 12＝t 6，解得t ＝2. 所以当t ＝4或t ＝2时，△POQ 与△AOB 相似．23．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°. 又∵∠ADE ＝30°，∴∠B ＝∠ADE .又∵∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝∠B ＋∠DAB ，∴∠EDC ＝∠DAB ，∴△ABD ∽△DCE .(2)如图①，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴∠AFB ＝90°.∵AB ＝2，∠ABF ＝30°，∴AF ＝12AB ＝1， ∴BF ＝3，∴BC ＝2BF ＝23，则CD ＝23－x ，CE ＝2－y .∵△ABD ∽△DCE ，∴AB BD ＝CD CE ，∴2x ＝23－x 2－y ，化简得y ＝12x 2－3x ＋2(0＜x ＜23)．(3)当AD ＝DE 时，如图②，由(1)可知：此时△ABD ∽△DCE ，则AB ＝CD ，即2＝23－x ，x ＝23－2，将其代入y ＝12x 2－3x ＋2，解得y ＝4－23， 即AE ＝4－23；当AE ＝ED 时，如图③，∠EAD ＝∠EDA ＝30°，∠AED ＝120°，∴∠DEC ＝60°，∠EDC ＝90°，则DE ＝12CE ，即y ＝12(2－y )，解得y ＝23，即AE ＝23；当AD ＝AE 时，∠AED ＝∠ADE ＝30°，∠EAD ＝120°，此时点D 与点B 重合，不符合题意，故此种情况不存在．综上，当△ADE 是等腰三角形时，AE 的长为4－23或23. 24．解：(1)直线CD 是△ABC 的黄金分割线．证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝12∠ACB ＝36°， ∴∠BDC ＝72°＝∠B ，∠A ＝∠ACD ，∴BC ＝CD ，AD ＝CD ，∴BC ＝AD .∵∠B ＝∠B ，∠BCD ＝∠A ，∴△BCD ∽△BAC ，∴BD BC ＝BC AB ，∴BD AD ＝AD AB. 又∵S △BCD S △ADC ＝BD AD ，S △ADC S △ABC ＝AD AB， ∴S △BCD S △ADC ＝S △ADC S △ABC， ∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．(2)设BE ＝x ，∵正方形ABCD 的边长为1，∴S △ABE ＝12AB ·BE ＝12x ，S 正方形ABCD ＝12＝1， ∴S 四边形ADCE ＝1－12x . ∵直线AE 是正方形ABCD 的黄金分割线， ∴S △ABES 四边形ADCE ＝S 四边形ADCE S 正方形ABCD， ∴S 四边形ADCE 2＝S △ABE ·S 正方形ABCD ， 即(1－12x )2＝12x ·1， 整理，得x 2－6x ＋4＝0，解得x 1＝3＋5，x 2＝3－ 5.∵E 是边BC 上一点，∴x ＜1，∴x＝3－5，∴BE的长为3－ 5.。
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》单元同步测试题及答案 (1)
图形的相似单元同步练习（典型题汇总）一、选择题1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，AB=5，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（）A．2 B．C．D．2．（易错题）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．如图，线段AB两个端点的坐标分别是A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A．（3，2）B．（4，1）C．（3，1）D．（4，2）4．已知△ABC中，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC的值是（）A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.55．若两个相似三角形的相似比是1：4，则它们的周长比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．1：56．如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作（）A．1条B．2条C．3条D．4条7．若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠B=60°，则∠C′等于（）A．20°B．40°C．60°D．80°8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的值为（）A．B．C．D．9．如图，小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积．然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积．用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是（）A． B．C．D．10．关于相似的下列说法正确的是（）A．所有直角三角形相似B．所有等腰三角形相似C．有一角是80°的等腰三角形相似D．所有等腰直角三角形相似11．在小孔成像问题中，根据如图所示，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物体AB长的（）A．3倍B．C．D．2倍12．如图，P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．B．C．∠ABP=∠C D．∠APB=∠ABC 二．填空题13．如图，要得到△ABC∽△ADE，只需要再添加一个条件是______．14．若x：y=2：3，那么x：（x+y）=______．15．如图，AD为△ABC的中线，G为△ABC的重心，若S△BGC =2，则S△ABD=______．16．已知，则=______．17．如图，DE∥BC，AD：DB=3：5，则△ADE与△ABC的面积之比为______．18．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为______米．19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是______．20．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，则窗口底边离地面的高BC=______m．三．解答题21．（2015秋•滕州市校级期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，一动点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度运动，另一动点Q同时从点C出发沿CB 边向点B以2cm/s的速度运动．问：（1）运动几秒时，△CPQ的面积是8cm2？（2）运动几秒时，△CPQ与△ABC相似？22．（2016•颍泉区一模）如图，在由边长为1的单位正方形组成的网格中，按要求画出坐标系及△A1B1C1及△A2B2C2；（1）若点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣2，3），请画出平面直角坐标系并指出点B的坐标；（2）画出△ABC关于y轴对称再向上平移1个单位后的图形△A1B1C1；（3）以图中的点D为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且把边长放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．23．（2013•泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB 的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．24．（2011•武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：=；（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN2=DM•EN．25．（2006•山西）某中学初三（2）班数学活动小组利用周日开展课外实践活动，他们要在湖面上测量建在地面上某塔AB的高度．如图，在湖面上点C测得塔顶A的仰角为45°，沿直线CD向塔AB方向前进18米到达点D，测得塔顶A的仰角为60度．已知湖面低于地平面1米，请你帮他们计算出塔AB的高度．（结果保留根号）参考答案与试题解析一、选择题1．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，AB=5，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（）A．2 B．C．D．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据△ABC∽△BDC，利用相似三角形对应边成比例解答即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=4∴BC=3∵△ABC∽△BDC∴∴∴CD=．故选D．【点评】此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，还考查了勾股定理．2．（易错题）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【考点】相似三角形的判定；平行线的判定．【分析】根据已知先判定线段DE∥BC，再根据相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【解答】解：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC∴DE∥BC∴△ADE∽△ABC，∵DE∥BC∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB，同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD∴共4对故选D．【点评】考查了平行线的判定；相似三角形的判定：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．3．如图，线段AB两个端点的坐标分别是A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A．（3，2） B．（4，1） C．（3，1） D．（4，2）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，4），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，∴端点C的坐标为：（3，2）．故选：A．【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．4．已知△ABC中，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC的值是（）A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5【考点】平行线分线段成比例．【分析】利用平行线分线段成比例的性质得出=，进而求出EC即可得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∴=，解得：EC=4.5，故AC=AE+EC=4.5+3=7.5．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，得出=是解题关键．5．若两个相似三角形的相似比是1：4，则它们的周长比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．1：5【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比进行解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：4，∴它们对应周长的比为1：4．故选B．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比．6．如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】相似三角形的判定．【分析】本题要根据相似三角形的判定方法进行求解．【解答】解：过点P可作PE∥BC或PE∥AC，可得相似三角形；过点P还可作PE⊥AB，可得：∠EPA=∠C=90°，∠A=∠A，∴△APE∽△ACB；所以共有3条．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．7．若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠B=60°，则∠C′等于（）A．20°B．40°C．60°D．80°【考点】相似三角形的性质．【分析】根据三角形的内角和定理求出∠C，再根据相似三角形对应角相等可得∠C′=∠C．【解答】解：∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣40°﹣60°=80°，∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠C′=∠C=80°．故选D．【点评】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，是基础题，熟记性质是解题的关键．8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的值为（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【分析】根据梯形的性质容易证明△AOD∽△COB，然后利用相似三角形的性质即可得到AO：CO的值．【解答】解：∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥CB，∴△AOD∽△COB，∴，∵AD=1，BC=3．∴=．故选B．【点评】此题主要考查了梯形的性质，利用梯形的上下底平行得到三角形相似，然后用相似三角形的性质解决问题．9．如图，小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积．然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积．用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是（）A． B．C．D．【考点】相似三角形的性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理．【分析】根据相似三角形的性质，先求出正△A2B2C2，正△A3B3C3的面积，依此类推△A n B n C n 的面积是（）n﹣1，从而求出第10个正△A10B10C10的面积．【解答】解：正△A1B1C1的面积是，而△A2B2C2与△A1B1C1相似，并且相似比是1：2，则面积的比是，则正△A2B2C2的面积是×；因而正△A3B3C3与正△A2B2C2的面积的比也是，面积是（）2；依此类推△A n B n C n与△A n﹣1B n﹣1C n﹣1的面积的比是，第n个三角形的面积是（）n﹣1．所以第10个正△A10B10C10的面积是，故选A．【点评】本题考查了相似三角形的性质及应用，相似三角形面积的比等于相似比的平方，找出规律是关键．10．关于相似的下列说法正确的是（）A．所有直角三角形相似B．所有等腰三角形相似C．有一角是80°的等腰三角形相似D．所有等腰直角三角形相似【考点】相似三角形的判定．【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可知所有直角三角形不一定相似；所有等腰三角形不一定相似；有一角是80°的等腰三角形也比一定相似；只有所有等腰直角三角形相似．【解答】解：A、所有直角三角形不一定相似；故本选项错误；B、所有等腰三角形不一定相似；故本选项错误；C、∵有一角是80°的等腰三角形可能是：80°、80°、20°或80°、50°、50°，∴不一定相似；故本选项错误；D、所有等腰直角三角形相似；故本选项正确．故选D．【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意有两组角对应相等的两个三角形相似．11．在小孔成像问题中，根据如图所示，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物体AB长的（）A．3倍B．C．D．2倍【考点】相似三角形的应用．【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，根据题意得到△AOB∽△COD，根据相似三角形的对应高的比等于相似比计算即可．【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，由题意得，AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴==，∴像CD的长是物体AB长的，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．12．如图，P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．B．C．∠ABP=∠C D．∠APB=∠ABC【考点】相似三角形的判定．【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后的答案．【解答】解：A正确，符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；B不正确，不符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；C正确，符合有两组角对应相等的两个三角形相似；D正确，符合有两组角对应相等的两个三角形相似．故选B．【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．二．填空题13．如图，要得到△ABC∽△ADE，只需要再添加一个条件是DE∥BC（答案不唯一）．【考点】相似三角形的判定．【分析】由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可．【解答】解：由图可得，∠BAC=∠DAE，根据三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似．可添加条件：DE∥BC，则∠ABC=∠ADE，则△ADE∽△ABC，故答案为：DE∥BC（答案不唯一）．【点评】本题考查了相似三角形的判定，此题为开放性试题，首先要找出已经满足的条件，然后再进一步分析需要添加的条件，熟记相似三角形的各种判定方法是解题关键．14．若x：y=2：3，那么x：（x+y）=2：5．【考点】比例的性质．【分析】利用合比性质计算．【解答】解：∵=，∴==．故答案为2：5．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．15．如图，AD为△ABC的中线，G为△ABC的重心，若S△BGC =2，则S△ABD=3．【考点】三角形的重心．【分析】根据重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍和已知求出△ABC的面积，根据三角形的中心把三角形分成面积相等的两部分解答即可．【解答】解：∵G为△ABC的重心，∴AD=2GD，=2，∵S△BGC=6，∴S△ABC∵AD为△ABC的中线，=3，∴S△ABD故答案为：3．【点评】本题考查的是三角形的重心的知识，掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．16．已知，则=．【考点】比例的性质．【分析】先由已知条件可得a=b，e=f，再把它们代入，计算即可．【解答】解：∵，∴a=b，e=f，∴===．故答案为．【点评】本题考查了比例的计算及性质，比较简单．本题还可以根据等比性质直接求解．17．如图，DE∥BC，AD：DB=3：5，则△ADE与△ABC的面积之比为9：64．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】先证明△ADE与△ABC相似并求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：BD=3：5，∴AD：AB=3：8，∴△ADE与△ABC面积之比=9：64，故答案为9：64．【点评】本题主要考查相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，根据平行得到三角形相似是解题的关键．18．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为 5.6米．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．【解答】解：根据题意，易得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB，则△ABE∽△CDE，则，即，解得：AB=5.6米．故答案为：5.6．【点评】应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．19．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BE 平分∠ABC 交CD 于E ，且BE ⊥CD ，CE ：ED =2：1．如果△BEC 的面积为2，那么四边形ABED 的面积是 ．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；梯形．【分析】首先延长BA ，CD 交于点F ，易证得△BEF ≌△BEC ，则可得DF ：FC =1：4，又由△ADF ∽△BCF ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得△ADF 的面积，根据S 四边形ABED =S △BEF ﹣S △ADF 继而求得答案．【解答】解：延长BA ，CD 交于点F ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBF =∠EBC ，∵BE ⊥CD ，∴∠BEF =∠BEC =90°，在△BEF 和△BEC 中，，∴△BEF ≌△BEC （ASA ），∴EC =EF ，S △BEF =S △BEC =2，∴S △BCF =S △BEF +S △BEC =4，∵CE ：ED =2：1∴DF ：FC =1：4，∵AD ∥BC ，∴△ADF ∽△BCF ，∴=（）2=，∴S △ADF =×S △BCF =，∴S 四边形ABED =S △BEF ﹣S △ADF =2﹣=．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及梯形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．20．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，则窗口底边离地面的高BC=4m．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据题意易证△BCD∽△ACE，利用相似三角形的性质，对应线段成比例求解即可．【解答】解：∵光线是平行的，即BD∥AE则有∵△BCD∽△ACE∴∴∴BC=4【点评】主要考查了相似的三角形在实际生活中的应用，利用相似对角线的性质，对应线段成比例解题．三．解答题21．（2015秋•滕州市校级期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，一动点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度运动，另一动点Q同时从点C出发沿CB 边向点B以2cm/s的速度运动．问：（1）运动几秒时，△CPQ的面积是8cm2？（2）运动几秒时，△CPQ与△ABC相似？【考点】一元二次方程的应用；相似三角形的判定．【分析】（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（6﹣x）cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为：×2x（6﹣x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；（2）设运动y秒时，△CPQ与△ABC相似，分两种情况讨论：若△CPQ∽△CAB和△CPQ ∽△CBA，根据相似三角形的性质即可得出答案．【解答】解：（1）设x秒后，可使△CPQ的面积为8cm2．由题意得，AP=xcm，PC=（6﹣x）cm，CQ=2xcm，则（6﹣x）•2x=8，整理，得x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4．则P、Q同时出发，2秒或4秒后可使△CPQ的面积为8cm2（2）设运动y秒时，△CPQ与△ABC相似．若△CPQ∽△CAB，则=，即=，解得y=2.4秒；若△CPQ∽△CBA，则=，即=，解得y=秒．综上所述，运动2.4秒或秒时，△CPQ与△ABC相似．【点评】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式的求法和一元二次方程的解的情况，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．22．（2016•颍泉区一模）如图，在由边长为1的单位正方形组成的网格中，按要求画出坐标系及△A1B1C1及△A2B2C2；（1）若点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣2，3），请画出平面直角坐标系并指出点B的坐标；（2）画出△ABC关于y轴对称再向上平移1个单位后的图形△A1B1C1；（3）以图中的点D为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且把边长放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．【考点】作图-位似变换；作图-平移变换．【分析】（1）根据A，C点坐标作出直角坐标系，进而求出B点坐标；（2）根据轴对称的性质结合平移的性质得出答案；（3）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示，B（﹣4，2）；（2）如图所示：△A1B1C1即为所求；（3）如图所示：△A2B2C2即为所求．【点评】此题主要考查了位似变换、轴对称变换和平移变换，根据题意建立正确的坐标系是解题关键．23．（2013•泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB 的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．【考点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．24．（2011•武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：=；（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN2=DM•EN．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出=；（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN；②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1）==，从而得出答案．【解答】（1）证明：在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴=，同理在△ACQ和△APE中，=，∴=．（2）①作AQ⊥BC于点Q．∵BC边上的高AQ=，∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE：BC=1：3又∵DE∥BC，∴AD：AB=1：3，∴AD=，DE=，∵DE边上的高为，MN：GF=：，∴MN：=：，∴MN=．故答案为：．②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，∴∠B=∠CEF，又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC，∴=，∴DG•EF=CF•BG，又∵DG=GF=EF，∴GF2=CF•BG，由（1）得==，∴×=•，∴（）2=•，∵GF2=CF•BG，∴MN2=DM•EN．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．25．（2006•山西）某中学初三（2）班数学活动小组利用周日开展课外实践活动，他们要在湖面上测量建在地面上某塔AB的高度．如图，在湖面上点C测得塔顶A的仰角为45°，沿直线CD向塔AB方向前进18米到达点D，测得塔顶A的仰角为60度．已知湖面低于地平面1米，请你帮他们计算出塔AB的高度．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△ACE、△ADE，应利用其公共边AE构造等量关系，借助AB=AE﹣BE构造方程关系式，进而可求出答案．【解答】解：如图，延长CD，交AB的延长线于点E，则∠AEC=90°，∠ACE=45°，∠ADE=60°，CD=18，设线段AE的长为x米，在Rt△ACE中，∵∠ACE=45°，∴CE=x，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE=tan60°=，∴DE=x，∵CD=18，且CE﹣DE=CD，∴x﹣x=18，解得：x=27+9，∵BE=1米，∴AB=AE﹣BE=（26+9）（米）．答：塔AB的高度是（26+9）米．【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．图形的相似单元同步练习（典型题汇总）(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．观察下列每组图形，相似图形是()2．(2020·玉林)△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1∶2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是()A．3 B．6 C．9 D．123．下列四组条件中，能判定△ABC与△DEF相似的是()A．∠A＝45°，∠B＝55°；∠D＝45°，∠F＝75°B．AB＝5，BC＝4，∠A＝45°；DE＝5，EF＝4，∠D＝45°C．AB＝6，BC＝5，∠B＝40°；DE＝12，EF＝10，∠E＝40°D．AB＝BC，∠A＝50°；DE＝EF，∠E＝50°4．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，若AB＝8，则线段AC的长为() A．4(5－1) B．45－1 C．12－4 5 D．8－4 5 5．如图，BE，CD相交于O，且∠1＝∠2，图中的相似三角形有() A．2组B．3组C．5组D．6组第5题图 第6题图 第7题图 第9题图6．小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O ，准星A ，目标B 在同一条直线上．如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A ′，若OA ＝0.2米，OB ＝40米，AA ′＝0.0015米，则小明射击到的点B ′偏离目标点B 的长度BB ′为( )A ．3米B ．0.3米C ．0.03米D ．0.2米 7．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，四边形DEFC 是内接正方形，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，则正方形的面积为( )A.127 cm 2 B ．3 cm 2 C ．4 cm 2 D.14449 cm 2 8．下列四条线段成比例的是( )A ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10B ．a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝ 3C ．a ＝2，b ＝5，c ＝15，d ＝2 3D ．a ＝12，b ＝8，c ＝15，d ＝11 9．如图，E (－4，2)，F (－1，－1)，以O 为位似中心，按比例尺1∶2把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标为( )A ．(2，－1)或(－2，1)B ．(8，－4)或(－8，4)C ．(2，－1)D ．(8，－4)10．将边长分别为2，3，5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为( )A.214B.154C.72D ．3 ,第10题图 第13题图 第14题图 第15题图)二、填空题(每小题3分，共24分)11．如果x 2＝y 3＝z4≠0，那么x ＋2y ＋3z 3x ＋2y －2z的值是____．12．两个相似三角形的面积比为9∶25，其中一个三角形的周长为36，则另一个三角形的周长为_____________________.13．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的周长之比等于____．14．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为__________________．15．如图，▱ABCD中，F是BC上一点，直线DF与AB的延长线相交于E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：_________________．16．如图，D，E是AB的三等分点，DF∥EG∥BC，则图中三部分面积S1∶S2∶S3＝_______________．第16题图第17题图第18题图17．如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点，若DE＝1，则DF的长为____．18．如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为(3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是_____________________________．三、解答题(共66分)19．(6分)一般在室外放映的电影胶片中图片的规格是3.5 cm×3.5 cm，放映的银屏规格为2 m×2 m．若放映机的光源距胶片20 cm，问：银屏拉在距离光源多远的地方时，放映的图象刚好布满整个银屏？20．(7分)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．21．(8分)图中的两个多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似(各字母已按对应关系排列)，∠A ＝∠D 1＝135°，∠B ＝∠E 1＝120°，∠C 1＝95°.(1)求∠F 的度数；(2)如果多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1∶1.5，且CD ＝15 cm ，求C 1D 1的长度．22．(8分)在平面直角坐标系内有两点A (－2，0)，B (12，0)，CB 所在的直线为y ＝2x ＋b ，连接AC ，求证：△AOC ∽△COB .23．(8分)(2020·汕尾)如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F.(1)证明：FD＝AB；(2)当▱ABCD的面积为8时，求△FED的面积．24．(8分)如图，△ABC中，D是BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC与AB相交于点E，EC 与AD相交于点F.(1)△ABC与△FCD相似吗？请说明理由；(2)点F是线段AD的中点吗？为什么？25．(10分)如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD延长交CE于点E.(1)求证：△ABD∽△CED；(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．26．(11分)如图①所示，在等边三角形ABC中，线段AD为其角平分线，过D的直线B1C1⊥AC 于C1，交AB的延长线于B1.(1)请你探究：AC AB ＝CD DB ，AC 1AB 1＝C 1DDB 1是否成立？(2)如图②所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝403，E 为AB 上一点，且AE ＝5，CE 交△ABC 的角平分线AD 于F ，试求DFFA的值．参考答案一、选择题(每小题3分，共30分) 1．观察下列每组图形，相似图形是( D )2．△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，已知△ABC 的面积是3，则△A ′B ′C ′的面积是( D )A ．3B ．6C ．9D ．12 3．下列四组条件中，能判定△ABC 与△DEF 相似的是( C )A ．∠A ＝45°，∠B ＝55°；∠D ＝45°，∠F ＝75°B ．AB ＝5，BC ＝4，∠A ＝45°；DE ＝5，EF ＝4，∠D ＝45° C ．AB ＝6，BC ＝5，∠B ＝40°；DE ＝12，EF ＝10，∠E ＝40° D ．AB ＝BC ，∠A ＝50°；DE ＝EF ，∠E ＝50°4．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，若AB ＝8，则线段AC 的长为( A )A ．4(5－1)B ．45－1C ．12－4 5D ．8－4 5 5．如图，BE ，CD 相交于O ，且∠1＝∠2，图中的相似三角形有( A )A ．2组B ．3组C ．5组D ．6组第5题图 第6题图 第7题图 第9题图6．小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O ，准星A ，目标B 在同一条直线上．如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A ′，若OA ＝0.2米，OB ＝40米，AA ′＝0.0015米，则小明射击到的点B ′偏离目标点B 的长度BB ′为( B )A ．3米B ．0.3米C ．0.03米D ．0.2米 7．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，四边形DEFC 是内接正方形，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，则正方形的面积为( D )A .127 cm 2B ．3 cm 2C ．4 cm 2D .14449 cm 2 8．下列四条线段成比例的是( C )A ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10B ．a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝ 3C ．a ＝2，b ＝5，c ＝15，d ＝2 3D ．a ＝12，b ＝8，c ＝15，d ＝11 9．如图，E (－4，2)，F (－1，－1)，以O 为位似中心，按比例尺1∶2把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标为( A )A ．(2，－1)或(－2，1)B ．(8，－4)或(－8，4)C ．(2，－1)D ．(8，－4)10．将边长分别为2，3，5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为( B )A.214B.154C.72D ．3 ,第10题图 第13题图 第14题图 第15题图)二、填空题(每小题3分，共24分)11．如果x 2＝y 3＝z4≠0，那么x ＋2y ＋3z 3x ＋2y －2z的值是__5__．12．两个相似三角形的面积比为9∶25，其中一个三角形的周长为36，则另一个三角形的周长为__1085或60__.。
北师大版九上数学第四章图形的相似单元检测卷(解析版).docx
第四章《图形的相似》单元测试一•选择题：（每小题3分，共36分）如果4a = 5b （“#））,那么下列比例式变形正确的是（如图,在厶ABC 中，D 、E 分别是43、AC 上的点，且DE 〃BC ，如果AD=2cr?h DB=\cm.AE=\.Scm,则 EC=()①所有等腰直角三角形都相似；②所有等边三角形都相似; ③所冇正方形都相似；④所冇菱形都相似. 其中真命题有（）6.如图在4x4的方格纸（每小方格的血积为1）上有一个格点三角形ABC （图甲），请在图 乙、图丙、图丁中画出与三角形ABC 相似（不全等）的格点三角形.班级:姓名: 得分:1. 2. 3. A- 0.9cmB. 在下列四个命题屮:\cmD. 0.2cm4. 5. A. 4个 B. 3个 C. 2个 D.如图，已知AB//CD//EF,那么下列结论屮，正确的是A.如=竺B.竺=竺C.竺=匹 DF CE CE ADEF BE如图，无法保证厶ADE 与△ABC 相似的条件是（）A. Z1=ZCB. ZA=ZCC. Z2=ZBD.D.CE AD ~EF~~AFAD^AEAC^AB（第2题）（第4题）似比畤把△伽缩小，则点A 的对应点的坐标是（10・下面四组线段屮不能成比例线段的是（11.如图，在口ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O 过点O 与AD 1.的一点E 作直线OE,交84的延长线于点F.若AD=4, DC=3, AF=2,D-i 12.如图所示，在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，作3E 的中垂线GH,垂足为M,则GMx MH的值为（）8.9. 若厶ABCs 'DEF, 'ABC 与△DEF 旳相似比为2： A. 2：B. 4： 9C ・ V2： V3在△ABC 屮，两条屮线BE 、CD 相交于点O,3,则 S MBC ： S^DEF 为D. 3： 2则 S 辺OE : ^ACOB在平面直角坐标系中，已知点A （・4, 2）, B （-2),以原点O 为位似中心，相A. ( - 2, 1)B. (-8, 4)C.(・ 8, 4)或(8, -4)D. (-2, 1)或(2, - 1)A- 3、6、2、4 B. 4、 6、 5、 10 C. 1、忑、V6> V3D. 2晶、V15> 2忑、4则AE 的长是（）A ，I7. 如图, 3D. 1： 2（第11题）（第12题）C. 1： 3A. 4： 1B- 3： 1 C. 3： 2D- 5： 2二•填空题：（每小题3分，共12分）13•如果线段AB=\O,点C 是AB 上靠近点3的黄金分割点，则AC 的值约是 如图，在△ABC 中，DE//BC, AD ： DB=1： 2, DE=2,则 BC 的长是△ADC 相似.如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y = -x 的图象上，从左向右第3个正方形屮的一个顶点A 的坐标为（27, 9）, 阴影三角形部分的面积从左向右依次记为Si 、S2、S3 .......... S 〃，则第4个正方形的边长三•解答题：（共52分）17. （6 分）如图，£> 是 AC 上一点，DE//AB. ZB 二ZDAE.求证：/\ABC^/\DAE.14.15.如图，已知：ZACB=ZADC=90Q, AD=2, CD=2,当 AB 的长为 时，ZXACB 与16. （第15题） 是 ___ ! S3的值为20. （7分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于点F.已BE 2知 --- =—，S BEl ； = 3 ,求△CDF 的血积・AB 3 曲18- “分）已呻2x + 2y + z 3y-z19. (8 分) 如图，在RAABC 中, ZACB=90Q, CD 是边43上的高.（1）求证:AABC^ACBD ； (2)如果 AC = 4，BC=3, 求BD 的长.C21.（8分）如图所示，在矩形ABCD中，E是BC上一点，AF丄DE于点F.(1)求证：DF・CD二AF・CE.(2)若AF=4DF, CD=12,求CE 的长.22.（8 分）如图，在△ABC 中，ZABC=90°, BC=6, D 为AC 延长线上一点，AO3CD,过点D作DH//AB,交BC的延长线于点H.（1）求的长；（2）若AB=\2，试判断ZCBD与ZA的数量关系，请说明理由.23. （9 分）如图，在Rt/XABC中，ZACB二90。
九年级上册数学单元测试卷-第四章 图形的相似-北师大版(含答案)
九年级上册数学单元测试卷-第四章图形的相似-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，△ABC中，DE∥BC，= ，则OE：OB=（）A. B. C. D.2、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为（）A. B. C.1 D.3、视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A.平移B.旋转C.对称D.位似4、如图，如果AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A. =B. =C. =D. =5、下列说法中正确的是（）A.所有的矩形都相似B.所有的正方形都相似C.所有的菱形都相似 D.所有的等腰梯形都相似6、已知△ABC和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm2，周长是△ABC的一半．AB＝8cm，则AB边上高等于（）A.3 cmB.6 cmC.9cmD.12cm7、如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF 沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（）①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP= ；④S四边形ECFG=2S△BGE．A.4B.3C.2D.18、如图，在△ABC中，DE//BC，且AE=3cm，EC=5cm，DE=6cm，则BC等于（）A.10cmB.16cmC.12cmD.9.6cm9、如图，四边形与四边形位似，点O为位似中心，已知，则四边形与四边形的面积比为（）A.1:4B.1:2C.1:9D.1:310、若两个相似多边形的面积之比为1∶3，则对应边的比为（）A.1∶3B.3∶1C.1:D. :111、如图，在中，，则DF的长为（）A.4B.C.D.312、兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（）A.11.5米B.11.75米C.11.8米D.12.25米13、如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，单独添加下列条件可使△ADE∽△ACB，其中错误的是（）A.∠1=∠CB.∠2=∠BC. =D. =14、在矩形ABCD中，BC=10cm、DC=6cm，点E，F分别为边AB，BC上的两个动点，E从点A 出发以每秒5cm的速度向B运动，F从点B出发以每秒3cm的速度向C运动，设运动时间为t秒.若∠AFD=∠AED，则t的值为（）A. B.0.5 C. D.115、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AD为△ABC的角平分线，CE是△ABC的中线，AD 、CE相交于点F，则的值为（）A. B. C. D.2二、填空题(共10题，共计30分)16、如图所示，BD为∠ABC的角平分线，点E在AC的延长线上，且AD：DC：CE=4：5：6，过点E作EF⊥BD交BD延长线于点F，点G在BF延长线上，FG=FD，BC延长线交EF于点H，若FG：BD=1：2，则的值为________.17、已知，则a：b=________.18、如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形DFEC的面积之比是________．19、如图，一等腰三角形，底边长是21厘米，底边上的高是21厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第________个.20、如图，已知AD、BC相交于点O，，如果，，，那么________.21、高为3米的木箱在地面上的影长为12米，此时测得一建筑物在水面上的影长为36米，则该建筑物的高度为________ 米．22、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED=∠B，如果AD=2，AE=3，CE=1，那么BD长为________．23、如图，AB∥CD，AB＝CD，S△ABO：S△CDO＝________．24、已知，则的值为________．25、如图，在三角形ABC中，点E，F分别是AB，AC边上的点，且有EF∥BC，如果，则＝________.三、解答题(共5题，共计25分)26、若a：b=1：2，求（a+b）：a的值．27、如图，在△ADC中，点B是边DC上的一点，∠DAB=∠C，= ．若△ADC的面积为18cm，求△ABC的面积．28、如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．29、如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．（1）设Rt△CBD的面积为S1， Rt△BFC的面积为S2， Rt△DCE的面积为S3，则S1S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．30、如图，在△ABC中，矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH⊥BC交DE 于M，DG∶DE＝1∶2，BC＝12 cm，AM＝8 cm，求矩形的各边长.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C3、D4、B5、B6、B7、B8、B9、C10、C11、D13、D14、C15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、29、30、。
2020-2021学年九年级数学北师大版上册第4章图形的相似单元测试题
2020-2021学年九年级数学北师大版上册第4章图形的相似单元测试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC．AP ABAB AC=D．AB ACBP CB=2．如图，在ABC△中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是( )A．DF AEFC AC=B．AD ECAB AC=C．AD DEDB BC=D．DF EFBF FC=3．如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40mm，焦距是60mm，所拍摄的2m外的景物的宽CD为（）A．1?2m B．3m C．32m D．43m4．如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若，则此三角形移动的距离AA′是（）A -1B ．2C ．1D ．125．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC 于点F ，连接DF ，下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF ＝2AF ；③DF ＝DC ；④S 四边形CDEF ＝52S △ABF .其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 6．观察下列每组图形，相似图形是( )A ．AB ．BC ．CD ．D7．如果两个相似三角形对应边中线之比是1∶4，那么它们的对应高之比是（ ） A ．1∶2 B ．1∶4 C ．1∶8 D ．1∶168．如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1，l 2，l 3分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若23AB BC ，DE=4，则DF 的长是（ ）A ．203B ．83C ．10D ．69．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于E ，交BD 于F ，DE ：EA=3：4，EF=3，则CD 的长为（ ）A ．4B ．7C ．3D ．1210．如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ）A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)二、填空题11．如果四条线段m ，n ，x ，y 成比例，若m ＝2，n ＝8，y ＝20，则线段x 的长为________.12．两个相似三角形的面积比为1∶4，则它们的周长之比_________. 13． 若345a b c ==，则2a bc-＝__________. 14． 如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，点D 在边AB 上，且∠ACD ＝∠B ，则线段AD 的长为_________．15．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于________厘米．16． 如图，若△ADE ∽△ACB ，且23ADAC ,若四边形BCED 的面积是2，则△ADE 的面积是_________．17．如图，身高为1.7 m 的小明AB 站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD 的高度，CD 在水中的倒影为C ′D ，A ，E ，C ′在一条线上．已知河BD 的宽度为12 m ，BE ＝3 m ，则树CD 的高为___________.18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的各顶点坐标为A （－1，1），B （2，3），C （0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比为23．则点A 的对应点A ′的坐标为________．19．如图所示，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上，已知0.5DE =米，0.25EF =米，目测点D 到地面的距离1.5DG =米，到旗杆水平的距离20DC =米，则旗杆的高度为__________米．三、解答题 20．已知234a b c==≠0，2a －b ＋c ＝10，求a ，b ，c 的值． 21． 图中的两个多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似(各字母已按对应关系排列)，∠A ＝∠D 1＝135°，∠B ＝∠E 1＝120°，∠C 1＝95°. (1)求∠F 的度数；(2)如果多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15cm ，求C 1D 1的长度．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标；（3）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出经过（2）的变化后D的对应点D2的坐标．23．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E（1）求证：△ABD∽△CED（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．24．如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，BD＝AD＝AC，AD 与CE相交于点F，AE2＝EF·EC.(1)求证：∠ADC＝∠DCE＋∠EAF；(2)求证：AF·AD＝AB·EF.25．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA 边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜103），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．参考答案1．D【解析】试题分析：A．当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C．当AP ABAB AC=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选D．考点：相似三角形的判定．2．A【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可. 【详解】A.∵DE BC，∴DF DEFC BC=，AE DEAC BC=，∴DF AEFC AC=，故A正确；B. ∵DE BC，∴AD AEAB AC=，故B不正确；C. ∵DE BC，∴AD DEAB BC=，故C不正确；D. ∵DE BC，∴DF EFCF BF=，故D不正确；故选A.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.3．D【解析】【分析】由题意可知△AEB∽△DEC，利用相似三角形的性质：对应高之比等于相似比即可求出宽CD的长．【详解】∵AB∥CD，∴△AEB∽△DEC，∴ABCD=602000，∴403100 CD=，∴CD=4m3，故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应高之比等于相似比是解本题的关键. 4．A【解析】试题解析：设BC与A′C′交于点E，由平移的性质知，AC∥A′C′∴△BEA′∽△BCA∴S△BEA′：S△BCA=A′B2：AB2=1：2∵∴A′B=1∴AA′=AB--1故选A．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.平移的性质． 5．A【解析】试题分析：根据AE ∥BC 可得：△AEF ∽△CBF ，根据题意可知△CBF ∽△CAB ，则△AEF ∽△CAB ，则①正确；根据相似可得：12AE AF BC CF ==，即CF=2AF ，则②正确；根据角度之间的关系我们可以得出∠DFC=∠DCF ，从而得出DF=DC ，即③正确；根据相似三角形的边长之比得出△ABF 和△DFC 的比值，从而得出四边形CDEF 和△ABF 的面积之比，则④正确，故本题选A ． 6．D 【解析】试题解析：如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似. 故选D. 7．B【解析】试题分析：两个相似三角形的中线之比、高线之比，角平分线之比都等于相似比，面积之比等于相似比的平方，故本题选B ． 8．C 【解析】 试题解析：123,l l l2,3DE AB EF BC ∴== 又DE =4， ∴EF =6，∴DF =DE +EF =10， 故选C. 9．B 【解析】试题分析：∵DE ：EA=3：4，∴DE ：DA=3：7，∵EF ∥AB ，∴DE EF DA AB=，∵EF=3，∴337AB =，解得：AB=7，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD=AB=7．故选B ． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质． 10．A 【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是13，根据已知数据可以求出点C的坐标．【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是13，∴OD DC OB AB=，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选A．【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．11．5【详解】解：根据题意可知m:n=x:y，即2:8=x：20，解得：x=5．故答案为：512．1∶2【解析】试题分析：两个相似三角形的周长之比相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，则根据题意可知：它们的周长之比为1:2．13．2 5【解析】试题分析：设a=3k，则b=4k，c=5k，则原式=64k22 555k kk k-==．14．9 5【解析】试题分析：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ABC∽△ACD，∴AB ACAC AD=，∵AB=5，AC=3，∴533AD=，∴AD=95．故答案为95．考点：相似三角形的判定与性质．15．12．36．【解析】试题分析：黄金分割即较大部分与较小部分之比值为1∶0.618，该矩形的较长边是20cm，那么较小边x是1200.618x=，解得x=0.618×20=12.36.考点：黄金分割比例点评：该题主要考查学生对黄金分割的意义，比值的熟记程度，同时提高学生明白数学在审美中的应用。
第四章 图形的相似 单元测试-2020-2021学年九年级数学上册同步课堂北师大版)(解析版)
第四章图形的相似单元测试一、单选题1．如果a=2，b=4，c=8，那么（）A．a、b、c的第四比例项是7B．3a、2b和3c的第四比例项为18 C．c是ab的比例中项D．b是ac的比例中项【答案】D【解析】根据线段成比例进行判断即可．A选项a、b、c的第四比例项是16，因为28 416 =，B选项3a、2b和3c的第四比例项为32，因为，C选项c不是ab的比例中项，因为2ab c≠，D选项b是ac的比例中项，因为2ac b=故选：D【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质解答．2．下列四组数不能组成比例式的是（）A．2、3、4、6B．1、2、2、4C．0.1、0.3、0.5、1.5D．12、13、14、15【答案】D【解析】根据比例的定义，把能够组成比例的选项写成比例式．A选项：24 36 =；B选项：12 24 =；C选项：；D选项不能组成．故选：D．【点睛】本题考查比例式，解题的关键是能够根据四个数找到它们之间的比例关系．3．如图，直线l1，l2，l3，直线AC分别交直线l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交直线l1、l2、l3于点D、E、F，直线AC、DF交于点P，则下列结论错误的是（）A．B．C．＝D．＝【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判定即可．【详解】，l1，l2，l3，＝＝，＝，选项A、B、D正确，故不符合题意；选项C错误，符合题意故选：C【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例．4．下列图形中，不一定相似的是（）A．邻边之比相等的两个矩形B．四条边对应成比例的两个四边形C．有一个角相等的菱形D．两条对角线的比相等且夹角相等的两个平行四边形【答案】B【解析】【分析】根据各选项的条件和相似形的定义，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、邻边之比相等，则四条边对应成比例，又四个角都是直角，所以两矩形相似，故本选项正确；B、四条边对应成比例，但四个角不一定对应相等，故本选项错误；C、有一个角相等，则其它角也对应相等，又菱形的四条边都相等所以对应成比例，两菱形相似，故本选项正确；D、可以证明两平行四边形对应边成比例，对应角相等，所以两平行四边形相似，故本选项正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查相似形的定义，多边形相似必须满足对应边成比例、对应角相等，二者缺一不可． 5．下列能判定的条件是( )A ．B ．，A F ∠=∠C ．，B E ∠=∠D ．，A D ∠=∠ 【答案】D【解析】【分析】利用相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，逐项判断即可得出答案．【详解】解：A. ，A D ∠=∠，则，故此选项错误；B. ，A D ∠=∠，则，故此选项错误；C. ，A D ∠=∠，则，故此选项错误；D. ，A D ∠=∠，则，故此选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，熟记定理内容是解此题的关键．6．如图，在ABC ∆中，点D E 、分别在边AB 、AC 上. 则在下列五个条件中：，；，//DE BC ；，；，；，，能满足ADEACB ∆∆的条件有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可．【详解】，，B=，AED，，A=，A，则可判断，ADE，，ACB，故，符合题意；，DE，BC，则，ADE，，ABC，故，不符合题意；，，且夹角，A=，A，能确定，ADE，，ACB，故，符合题意；，由AD•BC=DE•AC可得，此时不确定，ADE=，ACB，故不能确定，ADE，，ACB；故，不符合题意，，，ADE=，C，，A=，A，则可判断，ADE，，ACB，故，符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．7．一斜坡长70米，它的高为5米，将重物从斜坡起点推到坡上20米处停下，停下地点的高度为（，A．117米B．97米C．107米D．32米【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，利用相似三角形对应线段成比例求解即可.【详解】如图所示，AD=20m，AB=70m，BC=5m，过D作DE，AC于E，则DE，BC，故，AED，，ACB，，，即，，DE=，故选C，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确画出图形，明确在此类题型中，重物在不同位置时，它的垂直高度的比值，和坡面距离的比值是相等的是解题的关键.8．如图，在Rt，ABC中，，C＝90°，AD＝BD，CE＝2BE．过B作BF，CD交AE的延长线为F．当BF＝1时，AB的长为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】【分析】通过证明，CEO，，BEF，可得，可求CO=2，由平行线分线段成比例可求OD的长，即可求CD的长，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可求解．【详解】证明：如图，，BF，CD，，，CEO，，BEF，，，且BF＝1，CE＝2BE，，CO＝2，，BF，CD，，，且AD＝BD，，OD＝12BF＝12，，CD＝CO+OD＝52，，，C＝90°，AD＝BD，，AB＝2CD＝5，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，直角三角形的性质，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．9．如图，，ABC中，A，B两个顶点在x轴上方，点C的坐标是(﹣1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作，ABC的位似图形，并把，ABC的边长放大到原来的2倍，得到，A'B'C'，设点B的对应点B'的横坐标为2，则点B的横坐标为()A．﹣1B．32-C．﹣2D．52-【解析】【分析】过点B、B'分别作BD，x轴于D，B'E，x轴于E，易知，BCD，，B'CE，由相似三角形的性质可得，结合位似比可得出CD的长，继而求得D到原点的距离，即可解答．【详解】过点B、B'分别作BD，x轴于D，B'E，x轴于E，，，BDC=，B'EC=90°．，，ABC的位似图形是，A'B'C'，，点B、C、B'在一条直线上，，，BCD=，B'CE，，，BCD，，B'CE，，，又，，，，又，点B'的横坐标是2，点C的坐标是(﹣1，0)，，CE=3，，CD32 =，，OD52 =，，点B的横坐标为：52 -．【点睛】本题考查位似图形的知识点，解题的关键是利用相似三角形的性质和位似比求得CD 的长．10．如图，正方形ABCD 中，AB ＝12，点E 在边BC 上，BE ＝EC ，将DCE 沿DE 对折至DFE △，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG ，BF ，给出给出下列结论：，；，BG ＝2AG ；，GDE BEF ∽；，965BEF S ．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF ，，A=，GFD=90°，于是根据“HL”判定Rt，ADG，Rt，FDG ，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF ，，BGE 为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出，BEF 的面积，再抓住，BEF 是等腰三角形，而，GED 显然不是等腰三角形，判断，是错误的，问题得解．【详解】解：如图，由折叠可知，DF=DC=DA ，，DFE=，C=90°，，，DFG=，A=90°，在Rt，ADG 和Rt，FDG 中，，，Rt，ADG，Rt，FDG，故，正确；，正方形边长是12，，BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：(x+6)2=62+(12-x)2，解得：x=4，，AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，故，正确；BE=EF=6，，BEF是等腰三角形，易知，GED不是等腰三角形，故，错误；，S，GBE=12×6×8=24，S，BEF：S，BGE=EF：EG，，S，BEF=610×24=，故，错误．综上可知正确的结论的是2个．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．二、填空题11．假期，爸爸带小明去A地旅游．小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1，500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________km.【答案】160 【解析】 【分析】设小明所居住的城市与A 地的实际距离为x km ，根据比例尺的定义列出方程，解方程求得x 的值即可. 【详解】设小明所居住的城市与A 地的实际距离为x km ， 根据题意可列比例式为， 解得x，160.，小明所居住的城市与A 地的实际距离为160km. 故答案为160. 【点睛】本题考查了比例尺的定义，熟知比例尺是图上距离与实际距离的比值是解题的关键. 12．线段32,8,a cm b cm ==那么a 和b 的比例中项等于_____． 【答案】16cm 【解析】 【分析】根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解． 【详解】解：，线段a=32cm ，b=8cm ，，线段a 、b 的比例中项()cm ； 故答案为：16cm本题考查了比例线段，熟记线段比例中项的求解方法是解题的关键，要注意线段的比例中项是正数． 13．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，AB=4厘米，则较短线段AP 的长是______厘米．【答案】6-【解析】 【分析】根据黄金比是计算． 【详解】，点P 是线段AB 的黄金分割点，，较长线段2（厘米），，较短线段AP=4-2，=6-，故答案为6- 【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金分割的概念，熟练记忆黄金比是（约等于0.618）是解题的关键． 14．如图，AB GHCD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，2AB =，3CD =，则GH 的长为______．【答案】1.2 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理，由AB ，GH ，得出，由GH ，CD ，得出，将两个式子相加，即可求出GH 的长．，AB，GH，，，即，，，GH，CD，，，即，，，+，，得，，，解得65 GH ．故答案是：1.2.【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．15．如图，，ABC的中线AD、CE交于点G，点F在边AC上，GF，BC，那么的值是_____．【答案】1 3【解析】【分析】根据三角形的重心和相似三角形的判定和性质解答即可．【详解】解：，，ABC的中线AD、CE交于点G，，G是，ABC的重心，，， ，GF ，BC ， ，＝23， ，DC ＝12BC ， ，，故答案为：13【点睛】此题考查三角形重心问题，关键是根据三角形的重心得出比例关系．16．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点 O ，点 E 在边 BC 上， AE 与 BD 相交于点 G ，若 AG : GE=3 : 1，则 EC : BC=_____．【答案】2：3 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理结合平行四边形的性质求出3BC BE即可解决问题．【详解】解：，四边形ABCD 是平行四边形， ，AD，BC ，AD ＝BC ， ，， ，3BC BE，，EC ：BC ＝2：3， 故答案为：2：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，正确寻找成比例线段是解题的关键．17．如图，在ABC ∆中，6,8AB cm AC cm ==，D 是AB 上一点且AD 2cm =，当AE =________cm 时，使得ADE ∆与ABC ∆相似．【答案】83或1.5 【解析】 【分析】ΔADE 与 ΔABC 相似有两种情况，针对每一种情况，有对应边成比例，据此可列出等式求得AE 的值． 【详解】 解：分两种情况：第一种情况：如图，过D 作DE||AC 于点E ， 则；第二种情况：如图，ΔADEΔACB 则2·6 1.58AD AE AB AC ==⨯=故答案为81.53或．【点睛】本题考查三角形相似的判定，找出对应三角形相似的两种情况是解题关键．18．如图，AD//EF//GH//PQ//BC，AE=EG=GP=PB，AD=2，BC=10，则EF长为____________【答案】4【解析】【分析】过点D作AB的平行线，把线段分在所得的平行四边形和三角形两部分中，利用平行线所夹线段成比例的性质可以求解．【详解】解：过点D作DM，AB，交BC于点M，交EF、GH、PQ分别于点N、K、O，，AD，BC，AB，DM，，ABMD为平行四边形，又AD，EF，GH，PQ，BC，同理得到四边形AEND、AGKD、APOD都为平行四边形，，AD＝BM＝EN＝PO＝2，，CM＝8，，EF，BC，AE＝EG＝GP＝PB，，，，NF＝2，，EF＝EN＋NF＝4，故答案为：4.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，属于比较基础的题目，合理作出辅助线求解即可．19．如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为_____．1【解析】【分析】根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得．【详解】解：根据条件可知：矩形AEFB，矩形ABCD．，＝．设AD＝x，AB＝y，则AE＝12x．则12xy＝，即：12x2＝y2．，22xy＝2．，x：y1．1．1．【点睛】本题考查相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．20．小明和小红在太阳光下行走，小明身高1.5m，他的影长2.0m，小红比小明矮30cm，此刻小红的影长为______m．【答案】1.6【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【详解】解：根据题意知，小红的身高为150-30=120（厘米），设小红的影长为x厘米则，解得：x=160，，小红的影长为1.6米，故答案为1.6【点睛】此题主要考查了平行投影，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想．21．已知P是x轴的正半轴上的点，ADC是由等腰直角三角形EOG以P为位似中心变换得到的，如图，已知1EO =，2OD DC ==，则位似中心P 点的坐标是________， 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的概念，连接AG ，与CE 的交点即是点P ．根据相似三角形的性质求得OP 的长，即可得点P 的坐标.， 【详解】 如图，连接AG，，EO=1，DC=2，，，ACD 与，GOE 的位似比是2，1， ，AD，OG=2，1，，，ADC 是等腰直角三角形， ，AD，x 轴， ，AD，OG， ，，OPG，，DPA ，PD，OP=2，1， ，OD=2， ，OP=23，，位似中心P点的坐标是（23，0，，故答案为（23，0，，【点睛】本题考查了位似的相关知识，熟知位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比是解决问题的关键，22．将三角形纸片(，ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB ＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与，ABC相似，则BF的长度是_________．【答案】2或【解析】【分析】设BF=x，根据折叠的性质用x表示出B′F和FC，然后分两种情况进行讨论（1），B′FC，，ABC和，B′FC，，BAC，最后根据两三角形相似对应边成比例即可求解．【详解】设BF=x，则由折叠的性质可知：B′F=x，FC=4x-，（1）当，B′FC，，ABC时，有，即：434x x-=，解得：127x=；（2）当，B′FC，，BAC时，有，即：433x x-=，解得：2x=；综上所述，可知：若以点B′，F，C为顶点的三角形与，ABC相似，则BF的长度是2或故答案为2或．【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，解本题时，由于题目中没有指明，B′FC 和，ABC 相似时顶点的对应关系，所以根据，C 是两三角形的公共角可知，需分：（1），B′FC，，ABC ；（2），B′FC，，BAC ；两种情况分别进行讨论，不要忽略了其中任何一种．三、解答题23．已知a ，b ，c 是，ABC 的三边，满足，且．（1）求a ，b ，c 的值．（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x ．【答案】（1）5a =，3b =，4c =；（2）x =【解析】【分析】根据，且，根据比例的性质可得a ，b ，c 的值；（2）根据比例中项的性质求解即可．【详解】解：（1），，且，，， ，433a +=，332b ，834c ，，5a =，3b =，4c =，（2），线段x 是线段a 、b 的比例中项，，25315x ab ，，x =【点睛】本题考查了比例的性质和比例中项，熟悉相关性质是解题的关键．24．ABC 中，D 为BC 上的一点，2BD DC =，E 是AD 上一点，，求，AF FC 的值． 【答案】1:6AF FC =，14:1BE EF=． 【解析】【分析】作DG //AC 交BF 于G ，如图，已知把BD，DC=2，1和AE，ED=1，4，通过作平行线建立FC，AF 与DG 的关系，GF 与BF 的关系，EF 与EG 的关系，即可求得答案.【详解】作DG //AC 交BF 于G ，如图， ，BD 2DC=， ，，，DG //CF ，，， ，3FC DG 2=，1GF BF 3=， ，DG //AF ，，，，1AF DG 4=，1EF EG 4=， ，1AF :FC 6=，，【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确添加辅助线、把它们的比转移到同一条线段上． 25．已知，ABC 在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A (0，3)，B (4，5)，C (3，2)．(正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度)（1）画出，ABC 向下平移5个单位长度得到的111A B C △，并直接写出点1C 的坐标；（2）以点B 为位似中心，在网格中画出22A BC ，使22A BC 与ABC 位似，且相似比为2，1，并直接写出22A BC 的面积．【答案】（1）如图，111A B C △ 即为所求，1(3,3)C -；（2）如图，22A BC 即为所求，22A BC 的面积为20 ．【解析】【分析】（1）根据点平移的坐标变换规律写出点111,,A B C 的坐标，然后描点即可；（2）延长BA 到2A 使2BA =2BA ，延长BC 到2C 使2BC =2BC ，从而得到22A BC ；先计算出ABC 的面积，然后把ABC 的面积乘以4得到22A BC 面积．【详解】解：（1）如图，111A B C △ 即为所求，1(3,3)C -．（2）如图，延长BA 到2A 使22BA BA =，延长BC 到2C 使22BC BC =，则22A BC 即为所求，22,ABC A BC ∽22A BC ∴的面积44520,ABC S==⨯=【点睛】 本题考查了平移变换，位似变换的作图，掌握作图时最关键的是确定关键点的对应点，再顺次连接各对应点．26．为了测量某教学楼CD 的高度，小明在教学楼前距楼基点C ，12米的点A 处测得楼顶D 的仰角为50°，小明又沿CA 方向向后退了3米到点B 处，此时测得楼顶D 的仰角为40°（B 、A 、C 在同一水平线上），依据这些数据小明能否求出教学楼的高度？若能求，请你帮小明求出楼高；若不能求，请说明理由．2.24）【答案】能求，13.44米【解析】【分析】根据题意：可得，ACD，，DCB ；可得；进而得到CD 与AC，BC 的关系，代入数据解可得答案．【详解】解：能求．，ACD 与，DCB 中，有，ADC=，DBC=40°，，DAC=，BDC=50°，故有，ACD，，DCB，，，CD 2=AC•BC=12×15=180，，CD=13.44（米）．答：该教学楼的高度约为13.44米．【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．27．如图，在ABC 中，3BC =， 点D 为边AC 边延长线的一点， 使CBD A ∠=∠， 过点D 作//DH AB ，交边BC 的延长线于点H ．（1） 求证：~HCD HDB △△（2）若1CH =，则DH 的长为 ．【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质得到HDC A ∠=∠，再结合CBD A ∠=∠可得，然后根据两内角对应相等的两三角形相似即可解答；（2）根据//DH AB ，AC=3CD ，由相似三角形对应线段成比例可得CH=1，再结合（1）~HCD HDB△△即可求得DH 的长度．【详解】解：（1）//DH ABCBD A在HCD ∆和HDB ∆中；（2），DH//AB ，，，AC=3CD ，3BC =，，即CH=1，BH=BC+CH=3+1=4，由（1）知，则，DH 2=4×1=4，，DH=2（负值舍去）．答：DH 的长度为2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键在于灵活运用相似三角形的判定与性质解决问题． 28．如图，，ABD ＝，BCD ＝90°，DB 平分，ADC ，过点B 作BM ，CD 交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ．（1）求证：BD 2＝AD •CD ；（2）若CD ＝6，AD ＝8，求MC 的长．【答案】（1）见解析；（2）MC=【解析】【分析】（1）通过证明，ABD ，，BCD ，可得，可得结论；（2）由平行线的性质可证，MBD ＝，BDC ，即可证AM ＝MD ＝MB ＝4，由BD 2＝AD •CD 和勾股定理可求MC 的长．【详解】（1）证明： DB 平分，ADC ，，ADB=，CDB ，，ABD ＝，BCD ＝90°，，ABD ，，BCD ，，即2BD AD CD ＝；（2）解：由（1）可得：BM ，CD ，，MBD =，BDC =，ADB ，MB=MD ，，ABD ＝，BCD ＝90°，，MBD+，MBA=90°，，MDB+，MAB=90°，，MBA=，MAB ，MA=MB=MD=4，2BD AD CD ⋅＝，在Rt，BDC 中，222483612BC BD CD =-=-=，在Rt，MBC 中，．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．29．如图1，在正方形ABCD 中，点E 为边AB 上的点，，连结DE 、BD ，过点 作AG DE ⊥，垂足为点F ，与BC 、BD 分别交于点G 、H ，连结EH ．（1），求证：ADE ∆，BAG ∆；，求证：:1DH BH n =+；（2）如图2，当//EH AD 时，求n 的值．【答案】（1），证明见解析；，证明见解析；（2）n = 【解析】【分析】（1），由正方形的性质可得AD=AB ，，DAB=，ABC=90°，由余角的性质可得，BAG=，ADF ，由“ASA”可证G ADE BA ≌，则结论得证； ，由全等三角形的性质可得BG=AE ，通过证明H ADH GB ∽，可得，将BE ：AE=n ，BG=AE ，AD=AB 代入等式可得结论；（2）设BG=AE=k ，则BE=nk ，通过证明AEH ABG △∽△，可得，即可求n 的值．【详解】证明：（1），，四边形ABCD 是正方形，，AD=AB ，，DAB=，ABC=90°，，，DAG+，BAG=90°，，AG，DE ，，，DAG+，ADF=90°，，，BAG=，ADF ，且AD=AB ，，DAB=，ABG ，，G ADE BA ≌（ASA ），，AE=BG ．，，G ADE BA ≌，，BG=AE ，，四边形ABCD 是正方形，，AD，BC ，，H ADH GB ∽,，，，BE ：AE=n ，BG=AE ，AD=AB ，， ．（2）解：设BG=AE=k ，则BE=nk ，，EH，AD ，正方形ABCD ，，，BEH=，BAD=90°，，EHB=，ADB=45°，且，ABD=45°，，，EHB=，ABD ，，BE=EH=nk ，，EH，AD ，，AEH ABG △∽△，，，，，n＞0，，n=．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题是本题的关键．。
九年级数学上册《第四章 图形的相似》单元综合测试(含解析)北师大版(2021学年)
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《第四章图形的相似》一、选择题：1.如图,在平行四边形ＡBCD中，Ｅ为DC的中点，AＥ交ＢD于点Ｆ,S△DＥF=1２ｃm2,则S△ＡＯ的值为（）BＡ．1２cm２ﻩＢ．２４ｃm2 C.36cm2ﻩD．4８cm22．如图，△ＡBC，AB=12,AC＝15，D为ＡB上一点，且AＤ＝AB，在AＣ上取一点E,使以Ａ、D、Ｅ为顶点的三角形与ABC相似,则AE等于( ）A.ﻩB.1０C.或10ﻩD.以上答案都不对３．（3分）在直角三角形中,两直角边分别为3和４,则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为( )A.ﻩB.ﻩC．D．4．点P是△ABC中AＢ边上的一点，过点P作直线（不与直线AＢ重合)截△ＡＢC，使截得的三角形与原三角形相似,满足这样条件的直线最多有( )A．2条ﻩB.3条C．4条ﻩD．5条５．如图,小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分）与△AＢC相似的是( )A.ﻩB．ﻩC.ﻩD．6．正方形ABＣＤ的对角线AC、BD相交于点Ｏ，E是BC中点,DE交AC于F，若DＥ＝1２，则ＥF等于( )Ａ．8ﻩB．6 C．4ﻩD.37．已知正方形AＢＣD，Ｅ是ＣＤ的中点，P是ＢC边上的一点，下列条件中不能推出△AＢP 与△EＣP相似的是( ）A．∠AＰB=∠ＥPCﻩB.∠ＡＰE=90° C.Ｐ是BC的中点Ｄ.BP:BC=2：3８．如图，矩形AＢCD中，ＢＥ⊥ＡC于F,E恰是ＣD的中点,下列式子成立的是( )A．BF２=AF2B．BＦ2=AF2ﻩＣ．BF2＞AF2ﻩD．ＢF2＜AF29．（3分）如图,正方形AＢCＤ的面积为1,M是ＡＢ的中点，连接CM、DＭ、AC，则图中阴影部分的面积为( )A． B.C.ﻩD．10．在坐标系中,已知Ａ（﹣3，0）,B(０,﹣4）,C(0，1),过点C作直线L交ｘ轴于点Ｄ，使得以点D,C，O为顶点的三角形与△AOB相似,这样的直线一共可以作出( )A．6条 B.3条Ｃ．4条 D.5条二、填空题：1１．如图,把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折,要使矩形ＡEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为.12.已知:=＝＝，2ｂ+3d﹣5f=9，则2a+3c﹣5e= .13.如图,在Ｒt△ABＣ中，∠C=9０°，MN⊥ＡB于M，AM=8cｍ，AC=AＢ,BＣ=15ｃｍ,则四边形BCNM的面积为．14．如图，在正方形ABＣD中,点Ｅ是BC边上一点，且BE:EC=2：1,AE与ＢD交于点F，则△AFＤ与四边形DEFC的面积之比是．15.如图，已知梯形AEＣF中,已知点D是AＢ边的中点，AＦ∥BＣ，CＧ＝３，GA=１，若△ＡＥＧ的面积为1，那么四边形ＢＤＧＣ的面积为．16．如图，在平行四边形AＢCD中,M、N为ＡＢ的三等分点,DM、DN分别交AＣ于P、Q 两点,则AP：PQ：QＣ= ．三、解答题：（共36分）17．已知:平行四边形AＢCD，Ｅ是ＢA延长线上一点,CE与AD、ＢＤ交于G、Ｆ．求证：CF2=ＧF•ＥＦ．18.(8分）已知:如图AD•AB＝AＦ•AＣ,求证：△DEＢ∽△FEC.１9.以长为2的线段AB为边作正方形ABＣD，取AＢ的中点Ｐ,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PＦ=ＰD，以AF为边作正方形AMEF,点M在AＤ上．(1）求AM，DM的长;(２）求证：AM2＝AD•DM；(3）根据（2)的结论你能找出图中的黄金分割点吗？20．已知：如图，AD是Rt△ABＣ的角平分线，ＡD的垂直平分线EF交CB的延长线于点Ｆ,求证:FD2＝FB•FＣ.21.已知,如图,在Rt△ABC中，∠ＡCB=９０°,ＡD平分∠CＡＢ交BC于点D,过点C作CＥ⊥AD,垂足为E,CE的延长线交AB于点F，过点E作EＧ∥ＢＣ交ＡＢ于点G，AＥ•AD=１6,.(1)求AC的长;(２)求ＥＧ的长．ﻬ《第四章图形的相似》参考答案与试题解析一、选择题:１．如图，在平行四边形ABCD中,E为ＤC的中点,AE交BＤ于点Ｆ,S△ＤEF=12ｃm2,则S△AOB 的值为( ）A.1２cｍ2ﻩB．24cm2ﻩC.３６cm2Ｄ.４８cm2【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.【分析】根据平行四边形的性质得出AB=DC=2ＤE，ＯD=OB，ＤC∥AB,求出△DFE∽△BＦA，推出===,=()2=,=＝,求出△AFB的面积是４８ｃm2,△AＤF 的面积是２4cm2，求出△ABD的面积即可.【解答】解:∵E为ＤＣ的中点,∴DC=２DE,∵四边形AＢCＤ是平行四边形，∴AＢ=ＤＣ=2DE，ＯD=OＢ,DC∥AB，∴△DＦＥ∽△BFA，∴===,=()2=()２=，=＝，∵S△DEF＝12cｍ2，∴△AFB的面积是４8ｃm2，△ＡＤF的面积是24cm2,∴△ＡＢD的面积是７2cm2,∵ＤO=ＯＢ,∴△ＡDO和△ＡＢO的面积相等,∴S△AOB的值为×7２cm2=36ｃm２，故选C.【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定,平行四边形的性质的应用，解此题的关键是求出△ＡＦB的面积和△ADF的面积．2．如图，△AＢC，AＢ＝12,AC=15，D为AB上一点,且AD=AＢ,在AC上取一点Ｅ,使以A、D、Ｅ为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（）A．ﻩB.10C．或1０ D.以上答案都不对【考点】相似三角形的性质.【专题】分类讨论．【分析】△ADＥ与△ABC相似，则存在两种情况，即△AED∽△AＣＢ,也可能是△AＥD∽△ＡBC，应分类讨论,求解.【解答】解：如图（1)当∠AＥD=∠C时,即DE∥BC则AE=AC＝１0(2)当∠AED=∠Ｂ时，△AEＤ∽△ABＣ∴，即ＡE＝综合(1），（2）,故选Ｃ．【点评】会利用相似三角形求解一些简单的计算问题．3．(3分)在直角三角形中,两直角边分别为3和４,则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为( ）A． B. C.D.【考点】勾股定理．【分析】本题主要利用勾股定理和面积法求高即可.【解答】解：∵在直角三角形中，两直角边分别为3和4,∴斜边为5,∴斜边上的高为＝．（由直角三角形的面积可求得)∴这个三角形的斜边与斜边上的高的比为５:=.故选A.【点评】此题考查了勾股定理和利用面积法求高，此题考查了学生对直角三角形的掌握程度．４．点P是△ＡＢC中AB边上的一点,过点P作直线（不与直线AＢ重合）截△ＡBC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（）Ａ.2条 B．3条Ｃ．４条 D.5条【考点】相似三角形的判定.【专题】常规题型;压轴题.【分析】根据已知及相似三角形的判定作辅助线即可求得这样的直线有几条.【解答】解：（１)作∠ＡPＤ=∠C∵∠A=∠Ａ∴△APD∽△ABC（2）作PE∥ＢC∴△AＰE∽△AＢＣ(3)作∠ＢPF=∠C∵∠B=∠Ｂ∴△FＢP∽△ABＣ(４)作ＰＧ∥AC∴△PBG∽△ＡBC所以共4条故选C．【点评】本题考查相似三角形的判定的运用．5.如图,小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△AＢC相似的是( )Ａ．B．C．ﻩＤ.【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型.【分析】根据网格中的数据求出AＢ，ＡC，BC的长，求出三边之比,利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可.【解答】解:根据题意得:AB==，ＡC＝，BC=2,∴AC:BC:AＢ=：2：=1::,A、三边之比为1：:２,图中的三角形（阴影部分)与△ABC不相似；B、三边之比为：:3,图中的三角形（阴影部分)与△ABＣ不相似;C、三边之比为1:：,图中的三角形(阴影部分)与△ＡBC相似;D、三边之比为2::,图中的三角形(阴影部分）与△ＡBC不相似.故选C.【点评】此题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键.6．正方形AＢCD的对角线AC、BD相交于点Ｏ，E是BC中点，DＥ交AC于F，若ＤE=1２，则EF等于( )A．8ﻩＢ．6ﻩＣ．4 Ｄ.3【考点】相似三角形的判定与性质;正方形的性质．【专题】压轴题;探究型．【分析】先根据题意画出图形，因为四边形ABCＤ是正方形,E是ＢC中点，所以CＥ=AD,由相似三角形的判定定理得出△ＣＥＦ∽△ADF,再根据相似三角形的对应边成比例可得出=＝，再根据DF=ＤE﹣EF即可得出EF的长.【解答】解:如图所示:∵四边形ABCD是正方形，E是ＢＣ中点,∴CE=AＤ,∵AD∥BC，∴∠ＡDF=∠DEC，∠AFD＝∠EFC，∴△ＣＥF∽△AＤF,∴＝＝,=，即=，解得EF=４.故选C.【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出△CEＦ∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键．7．已知正方形ＡBCD，E是ＣＤ的中点，P是BＣ边上的一点,下列条件中不能推出△ABP与△ＥＣP相似的是( )Ａ．∠AＰB=∠EＰC B．∠AＰE=9０°Ｃ．P是BC的中点Ｄ.BP：ＢC=２:3【考点】相似三角形的判定;正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】利用两三角形相似的判定定理,做题即可．【解答】解:利用三角形相似的判定方法逐一进行判断．A、B可用两角对应相等的两个三角形相似;Ｄ可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断．只有C中P是BＣ的中点不可推断．故选C.【点评】考查相似三角形的判定定理:(1)两角对应相等的两个三角形相似．(２)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．(3)三边对应成比例的两个三角形相似.(4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.8.如图，矩形ABCD中，BＥ⊥AC于F,E恰是CD的中点，下列式子成立的是( )A．BF2=ＡF2ﻩB．BＦ2=AF2 C.BF2>AＦ2ﻩD．ＢF２＜AF２【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质;射影定理．【分析】此题即是探求BF2与AF2之间的关系．利用△ABＦ∽△CEF所得比例线段探究求解．【解答】解:根据射影定理可得BF2=AF×ＣF;∵△ABF∽△CＥF,∴CF：AＦ=CE:ＡB=１：2∴BF２＝ＡF×AF=AF2．故选A．【点评】本题主要考查了射影定理及三角形的相似的性质.９．(3分)如图,正方形ABＣD的面积为1，Ｍ是ＡＢ的中点,连接ＣM、DＭ、AC,则图中阴影部分的面积为( )Ａ.ﻩB. C.D．【考点】相似三角形的判定与性质;正方形的性质．【分析】根据正方形的性质可得到△AME∽△ＣＤＥ，根据相似三角形的边对应边成比例，求得EＨ,EF的长,从而即可求得阴影部分的面积.【解答】解:如图，过点Ｅ作ＨF⊥AB∵AM∥CＤ,∴∠DCE=∠ＥAM，∠CDＥ＝∠EＭＡ，∴△AMＥ∽△ＣDE∴AM:ＤC=EH:EF=1:2,FH=AＤ＝１∴EH=,EF=.∴阴影部分的面积=Ｓ正﹣S△AＭE﹣S△ＣDE﹣S△ＭBＣ＝1﹣﹣﹣=.故选B.【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质,找出各线段之间的比例关系是本题解题的关键．1０.在坐标系中,已知A(﹣3，0)，B(0,﹣4）,C（0，1),过点C作直线Ｌ交x轴于点D,使得以点D,C,O为顶点的三角形与△ＡOB相似，这样的直线一共可以作出( ）A.6条B.3条ﻩＣ．4条ﻩD．5条【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质.【专题】常规题型；分类讨论.【分析】△AOＢ是直角三角形，所作的以点D,C,O为顶点的三角形中∠ＣＯＤ=９0度，ＯＣ与AD可能是对应边,这样就可以求出CD的长度,以C为圆心,以所求的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条．同理,当OＣ与BD是对应边时,又有两条满足条件的直线,共有四条．【解答】解:以点D,C，Ｏ为顶点的三角形中∠COD=9０度，当ＯC与AＯ是对应边,以Ｃ为圆心,以CD的长度为半径作圆，圆与ｘ轴有两个交点，因而这样的直线就是两条.同理,当OC与OB是对应边时,又有两条满足条件的直线,所以共有四条．故选C．【点评】本题主要考查了三角形的相似,注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．二、填空题：１1.如图,把一个矩形纸片ABCD沿AD和ＢＣ的中点连线EF对折，要使矩形ＡEＦB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为．【考点】相似多边形的性质.【分析】根据相似多边形对应边的比相等,设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得．【解答】解:根据条件可知:矩形AEFＢ∽矩形ＡＢCＤ．∴＝．设AD=x,AB=y，则AE=x．则=,即：ｘ２=y2.∴＝2.∴x:ｙ=：１．即原矩形长与宽的比为:1．故答案为：:1.【点评】本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边,以及正确解方程是解决本题的关键.12.已知:=＝＝,2b+3d﹣5f=9,则2ａ+3ｃ﹣５e= .【考点】比例的性质．【分析】根据等比性质解答即可．【解答】解:∵===,∴=,∵2ｂ+3d﹣5ｆ=９，∴2ａ+3c﹣5ｅ=×9=６.故答案为：6．【点评】本题考查了比例的性质,熟记并理解等比性质是解题的关键.1３．如图，在Rt△ABＣ中,∠C＝9０°，MＮ⊥AB于Ｍ,AM＝8cｍ，AＣ＝AB,BC=１5ｃm，则四边形BCNM的面积为 .【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】由△AMN∽△AＣB,推出==，由ＡC:ＡＢ＝4：5，设ＡＣ=４k,ＡＢ=5k,则ＢC=３ｋ,由BＣ＝15，推出k＝５，AＣ＝20,AB=25,根据四边形BCNM的面积=Ｓ△ABＣ﹣S△AMN 即可解决问题．【解答】解：∵MN⊥ＡB，∴∠ＡMN=∠C＝90°,∵∠A＝∠A,∴△AMN∽△ACB,∴＝=,∵ＡC：AB=4：5,设AC＝4k，AB＝5k,则BＣ=3ｋ,∵BC＝１5,∴3k=15,∴k=5，ＡC=20,AB＝25,∴MN=6，AN=8,∴四边形BＣNM的面积=S△ＡBC﹣S△AMN=×20×15﹣×８×6=12６．故答案为１26．【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．14.如图，在正方形AＢCD中,点Ｅ是ＢＣ边上一点,且BE：ＥC=2：１，ＡE与ＢＤ交于点F，则△AFD与四边形ＤEＦC的面积之比是 .【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意，先设CＥ=x，S△BEF＝a,再求出S△ADF的表达式,利用四部分的面积和等于正方形的面积，得到x与a的关系,那么两部分的面积比就可以求出来.【解答】解:设CE=ｘ,S△BＥF＝a,∵CE=x，BＥ：CE＝２：1,∴ＢＥ=2x,AD=BC＝CＤ＝AD=3x;∵BＣ∥ＡＤ∴∠ＥＢＦ=∠ADＦ，又∵∠BFE=∠DFA；∴△EBF∽△ADF∴S△ＢEF：S△ＡDF===,那么S△ＡDF＝ a.∵S△BCD﹣S△BEF＝Ｓ四边形EFＤC=S正方形ＡBCD﹣S△ＡBＥ﹣S△ADF，∴x２﹣a=9x２﹣×3x•2ｘ﹣,化简可求出ｘ２=;∴S△ＡFD:S四边形ＤEFC=:=:=９：11,故答案为9:11．【点评】此题运用了相似三角形的判定和性质,还用到了相似三角形的面积比等于相似比的平方．1５．如图,已知梯形AＥCＦ中,已知点D是AB边的中点，AＦ∥BC,CＧ＝3,GＡ=1，若△AEG 的面积为1,那么四边形BＤGC的面积为 .【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【分析】先求出△AFＧ的面积,然后找出S△CＥG＝9S△AＦG=3,再求出S△AFD＝2S△AFＣ＝2×=,S△=S△AFD＝,最后用面积差即可.DＥB【解答】解:ＡＦ∥BC，CＧ=3,GＡ=1，∴,∴FＧ=ＥF，∵AF∥BC，∴,∵D是AB的中点，∴ＡＤ＝BＤ,∴ED=FＤ，∴FD=EF，∵=，∴S△ＡFG=Ｓ△ＡＥG=,∵ＡF∥BＣ，∴△ＣEG∽△ＡＦG,∴,∴S△CEG=9S△AＦＧ=3,∵FG=EF,FD=EF，∴FＤ=２ＦＧ，∴DG＝FG,∴Ｓ△AFD＝2Ｓ△AFＣ=2×=,∵△BED≌△AFD,∴S△DＥB=S△AFD＝,∴S四边形BDGC的面积=S△CGE﹣S△BＥD=3﹣=．【点评】此题是相似三角形的性质和判定,主要考查了相似三角形的性质，面积比等于相似比的平分,等底的两三角形面积的比等于高的比，解本题的关键是求出△ＡＦＧ的面积．１6．如图，在平行四边形ＡＢCD中，M、N为ＡB的三等分点,DM、DN分别交AC于P、Ｑ两点,则AP：PQ:QC＝．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据题意,可得出△ＡMP∽△CDP和△ANQ∽△CDQ,可分别得到AP、PQ、ＱC的关系式,进而求出AＰ、PＱ、ＱC的比值.【解答】解:由已知得:△AMP∽△ＣＤP，∴AM：CD＝ＡP:PC=AＰ:(ＰＱ+QC)＝,即:３AP＝ＰＱ+ＱC，①△ANQ∽△CDQ，∴AN：CＤ=AＱ:QC＝(ＡＰ+ＰＱ)：QC=，即2QＣ＝３(AP＋PQ），②解①、②得:AＱ=ＡC，PQ＝AQ﹣AP＝AＣ，QＣ=AC﹣AＱ=AC,∴AP：PQ：ＱC=5：３：12．【点评】主要考查了三角形相似的性质和平行四边形的性质,要熟练掌握灵活运用.三、解答题:（共３６分)17．已知：平行四边形ABCＤ,E是ＢA延长线上一点，CE与AD、BD交于Ｇ、F.求证：ＣF2＝GF•EF.【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，ＡB∥CD,再根据平行线分线段成比例定理得=,＝，利用等量代换得到=，然后根据比例的性质即可得到结论.【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥ＢC，AB∥CD，∴=，＝,∴=,即ＣＦ２=GF•ＥF．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质.１８．(８分)已知：如图ＡD•AB=AF•AC,求证:△DEＢ∽△ＦＥC．【考点】相似三角形的判定.【专题】证明题.【分析】利用两边对应比值相等,且夹角相等的两三角形相似,进而得出即可.【解答】证明:∵AD•AB=AF•ＡC,∴=，又∵∠A=∠Ａ，∴△DEB∽△FＥC．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定,熟练掌握判定定理是解题关键.19.以长为2的线段AB为边作正方形ABＣD,取AB的中点Ｐ,连接PＤ，在BA的延长线上取点F,使ＰF=PD,以ＡF为边作正方形ＡMＥF,点M在AＤ上.(1）求AM,ＤＭ的长；(2)求证：AM2=ＡD•DＭ;(3）根据（2)的结论你能找出图中的黄金分割点吗？【考点】黄金分割;勾股定理；正方形的性质.【分析】（１)由勾股定理求PD,根据AM＝ＡF＝PＦ﹣PA=ＰD﹣PＡ，DＭ＝AD﹣AM求解; (２)由（1）计算的数据进行证明;(3）根据（2)的结论得:=,根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点.【解答】（１)解:在Rt△APＤ中,PA＝ＡＢ=１,ＡＤ=２，∴PD＝=,∴AＭ＝AF=PF﹣PＡ=PＤ﹣PA=﹣１,ＤM=AD﹣ＡM＝2﹣(﹣１)=3﹣；（2）证明:∵AM2=(﹣1)2=6﹣２,AＤ•DM=２（３﹣）=6﹣2,∴AM２=AＤ•DM;（3)点Ｍ是ＡD的黄金分割点.理由如下:∵AＭ2=AD•ＤM，∴═=,∴点Ｍ是ＡD的黄金分割点．【点评】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM 的长，然后求得线段AM和AD,DM和ＡM之间的比,根据黄金分割的概念进行判断.20.已知:如图，AD是Rt△AＢＣ的角平分线,AD的垂直平分线EF交CＢ的延长线于点F，求证：ＦD2=FB•FC.【考点】相似三角形的判定与性质.【专题】证明题．【分析】首先连接AF，可证得△AＦC∽△BＦＡ,然后由相似三角形的对应边成比例证得FA2=FB•FC,则可得FＤ2=ＦB•ＦC.【解答】证明：连接ＡF,∵ＥF是ＡＤ的垂直平分线,∴AF=DＦ,∴∠FAE＝∠ＦDE，∵∠FＡE=∠FAB+∠ＢAＤ,∠FDE＝∠C+∠CAD,且∠BＡD=∠ＣAD，∴∠FAＢ＝∠C,∵∠AFB是公共角,∴△AＦB∽△CＦA,∴，∴ＦA2=FB•ＦC，即ＦD2=FB•FC．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．21.已知,如图，在Rｔ△ＡBC中,∠ＡCB=9０°,AD平分∠CAＢ交ＢC于点D，过点C作ＣＥ⊥AD，垂足为E，ＣE的延长线交AＢ于点F，过点E作EＧ∥BＣ交AB于点Ｇ,AE•ＡD＝１6，.(1)求AC的长；（2）求EG的长．【考点】相似三角形的判定与性质;角平分线的性质;勾股定理;三角形中位线定理．【专题】几何图形问题．【分析】(1)∠CAD是公共角,∠ACB＝∠AＥＣ＝9０°，所以△ACＥ和△ＡDC相似,根据相似三角形对应边成比例,列出比例式整理即可得到AC2=AE•ＡD，代入数据计算即可；（2）根据勾股定理求出BC的长度为８,再根据AＤ平分∠CAB交BC于点D,ＣＥ⊥AＤ证明△ＡＣE和△AFE全等，根据全等三角形对应边相等,CE=ＥＦ,最后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半ＥG=ＢＣ．【解答】解:（1）∵ＣE⊥ＡＤ，∴∠AEＣ＝９0°,∵∠ＡCB=90°,∴∠ＡEC=∠ACＢ,又∠CAE＝∠ＣAＥ,∴△ＡCＥ∽△ADＣ,∴,即AC２＝ＡＥ•AD,∵AE•ＡＤ＝1６，∴AC2=１6，∴ＡC=４;(2）在△ＡＢC中，ＢC=＝=８,∵ＡD平分∠CAB交BC于点D，∴∠ＣＡE=∠FAE，∵CE⊥AD,∴∠AEＣ=∠AEF＝９０°，在△ＡCＥ和△ＡFE中,，∴△AＣE≌△AFE(ASA）,∴CE=EF，∵EG∥BC，∴EG=BC=×8＝４．【点评】本题主要考查两角对应相等,两三角形相似,相似三角形对应边成比例,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键，难度适中.以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。
北师大版2020-2021学年九年级数学上册第4章 图形的相似 单元检测题(含答案)
北师版九年级数学上册 第四章图形的相似测试卷题号 一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共10小题，3*10=30）1．如果mn ＝ab ，那么下列比例式中错误的是( ) A.a m ＝n b B.a n ＝m b C.m a ＝n b D.m a ＝b n2．如图，△ABC ∽△DEF ，相似比为12，若BC ＝1，则EF 的长是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，DE ⊥BC ，那么与△ABC 相似的三角形的个数有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论一定正确的是( ) A.AD AB ＝AE AC B.DF FC ＝AE EC C.AD DB ＝DE BC D.DF BF ＝EF FC5．某人要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm 的矩形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他应付广告费( ) A ．540元 B ．1080元 C ．1620元 D ．1800元6．如图，点E ，F 的坐标分别为E(－4，2)，F(－1，－1)，以原点O 为位似中心，按相似比12把△EFO 缩小，则E 点的对应点E′的坐标为( ) A ．(2，1) B ．(12，12) C ．(2，－1) D ．(2，－12)7．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为( ) A ．1.25尺 B ．57.5尺 C ．6.25尺 D ．56.5尺8．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是( ) A ．∠ABD ＝∠C B ．∠ADB ＝∠ABC C.AB BD ＝CB CD D.AD AB ＝AB AC9．如图，在△ABC 中，A 、B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是( ) A ．－12a B ．－12(a ＋1) C ．－12(a －1) D ．－12(a ＋3)10．如图所示的是一张等腰三角形纸片，底边长18 cm ，底边上的高长18 cm ，现沿底边依次由下往上裁剪宽度均为3 cm 的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( ) A ．第4张 B ．第5张 C ．第6张 D ．第7张第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11．若x ∶y ＝1∶2，则x －yx ＋y＝__________．12. 如图，已知AB ∥CD ，若AB CD ＝14，则OAOC＝__________．13．如图，AE ，BD 交于点C ，BA ⊥AE 于点A ，ED ⊥BD 于点D ，若AC ＝4，AB ＝3，CD ＝2，则CE ＝__________．14．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为10 cm ，AC 被分为60等份．如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE ∥AB)，那么小玻璃管口径DE 是__________m.15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为(4，0)，(8，2)，(6，4)．已知△A 1B 1C 1的两个顶点的坐标为(1，3)，(2，5)．若△ABC 与△A 1B 1C 1位似，则△A 1B 1C 1的第三个顶点的坐标为______________．16如图，E 为▱ABCD 的边AB 延长线上的一点，且BE ∶AB ＝2∶3，连接DE 交BC 于点F ，则CF ∶AD ＝____________．17．如图，在▱ABCD 中，点E 是边BC 上的黄金分割点，且BE ＞CE ，AE 与BD 相交于点F ，那么BF ∶FD 的值为________________．18．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A 点，则FH＝____________里．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，求BC，BE的长．20. (6分) 如图，一油桶高1 m，桶内有油，一根木棒长1.2 m，从桶盖的小口处斜插入桶内，一端插到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长为0.48 m，求桶内油面的高度h′.21. (6分)如图，▱ABCD中，AE∶EB＝2∶3，DE交AC于点F.(1)求证：△AEF∽△CDF；(2)求△AEF与△CDF周长之比；22．(6分)九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，则旗杆AB的高度．23．(6分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点G在AD上，过G作BC的平行线分别与AB，AC交于P，Q两点，过点P作PE⊥BC于点E，过点Q作QF⊥BC于点F，设AD＝80，BC＝120，当四边形PEFQ为正方形时，试求出正方形的边长．24．(8分)如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F.(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)当AE＝2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．25．(8分)晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．(结果精确到0.01米)参考答案 1-5 CBDAC 6-10CBCDB 11. －1312. 1413. 5214.20315. (3，4)或(0，4) 16. 3∶5 17.5－1218. 1.0519. 解：∵l 1∥l 2∥l 3，∴FB BE ＝AB BC ＝ADDE ，即BF BE ＝3BC ＝24，∴BC ＝6，BF ＝12BE ， ∴EF ＝12BE ＋BE ＝7.5，∴BE ＝520. 解：∵CD ∥BE ，∴△ACD ∽△ABE ， ∴AC AB ＝ADAE ，∴1.2－0.481.2＝1－h′1， ∴h′＝0.4 m答：桶内油面的高度是0.4 m.21. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ， ∴∠CDF ＝∠FEA ，∠DCA ＝∠FAE ，∴△AEF ∽△CDF (2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ＝AB. 又∵AE ∶EB ＝2∶3，∴可设AE ＝2λ，则BE ＝3λ，DC ＝5λ. ∵△AEF ∽△CDF ，∴C △AEF C △CDF ＝AE DC ＝2λ5λ＝2522. 解：∵CD ⊥FB ，∴AB ⊥FB ，∴CD ∥AB ， ∴△CGE ∽△AHE ，∴CG AH ＝EG EH， 即：CD －EF AH ＝FD FD ＋BD ，∴3－1.6AH ＝22＋15， ∴AH ＝11.9，∴AB ＝AH ＋HB ＝AH ＋EF ＝11.9＋1.6＝13.5(m) 答：旗杆AB 的高度是13.5m.23. 解：设正方形的边长为x ，则PQ ＝PE ＝x. ∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°.∵PQ ∥BC ，∴∠AGP ＝90°，∴AG ⊥PQ.又∵PQ ∥BC ，PE ⊥BC ，∴GD ＝PE ＝x ，AG ＝AD －GD ＝80－x. ∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴PQ BC ＝AG AD ，∴x 120＝80－x 80， 解得x ＝48，答：正方形的边长为4824. (1)证明：易证△ABE ≌△CBE ，∴AB ＝BC ，∴四边形ABCD 是正方形 (2)解：当AE ＝2EF 时，FG ＝3EF.证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴△ABE ∽△FDE ，△ADE ∽△GBE. ∵AE ＝2EF ，∴BE ∶DE ＝AE ∶EF ＝2.∴BG ∶AD ＝BE ∶DE ＝2，即BG ＝2AD. ∵BC ＝AD ，∴CG ＝AD.易证△ADF ∽△GCF ，∴FG ＝AF ，即FG ＝AF ＝AE ＋EF ＝3EF 25. 解：由题意得：∠CAD ＝∠MND ＝90°，∠CDA ＝∠MDN ，∴△CAD∽△MND，∴CAMN＝ADND，∴1.6MN＝1×0.8（5＋1）×0.8，∴MN＝9.6，又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，∴△EFB∽△MFN，∴EBMN＝BFNF，∴EB9.6＝2×0.8（2＋9）×0.8，∴EB≈1.75，答：小军身高约为1.75米1、人生如逆旅，我亦是行人。
2020--2021学年北师大版九年级上册数学 第四章 图形的相似 练习三(附答案)
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似习题练习三（附答案）一、选择题1.如图，小亮同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现他的身影顶部正好接触路灯B的底部，这时他离路灯A 25米，离路灯B 5米，如果小亮的身高为1.6米，那么路灯高度为（）A． 6.4米B． 8米 C． 9.6米D． 11.2米2.如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE：CF的值为（）A． B．C．D．3.已知，则的值是（）A． B．C．D．4.如图，在中，，是斜边上的高，则图中相似三角形有（）A ．对B．对 C．对D．对5.如图，点F，G分别在直线AB，CE上，AE∥FG∥BC，若AB＝3FB，EG＝6，则GC长为（）A． 3 B． C． 2 D．6.如图．位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为（）A． 8cm B． 20cm C． 3.2cm D． 10cm7.如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（）A．（√5+1）aB．（√5﹣1）aC．（3﹣√5）aD．（√5﹣2）a8.下列说法中正确的是（）A．两个平行四边形一定相似B．两个菱形一定相似C．两个矩形一定相似D．两个等腰直角三角形一定相似二、填空题9.在中，AD是BC边上的高，，正方形EFGH的顶点E、F分别在AB、AC 上，H、G在BC上．那么正方形EFGH的边长是______．10.在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实际距离是______千米．11.如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为_____12.如图，l1∥l2∥l3，AB=AC，DF=10，那么DE=_________________.13.如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为_____．14.如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a cm，宽BC＝b cm，E、F分别是AB，CD的中点．将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比．则a∶b等于________．15.已知（x、y、z均不为零），则_____________．三、解答题16.如图，在中，=8，=4,=6,,是的平分线，交于点,求的长.17.已知△ABC的面积为20cm2，AD为BC边上的高，且AD＝8cm，CD＝2cm，求BD的长度．18.如果，且x＋y＋z＝18，求x，y，z的值．19.方格图中的每个小方格都是边长为1小正方形，我们把小正方形的顶点称为格点，格点连线为边的四边形称为“格点四边形”，图1中的四边形ABCD就是一个格点四边形.（1）小彬在图2的方格图中画了一个格点四边形EFGH.借助方格图回答：四边形ABCD与四边形EFGH相似吗？若相似，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的相似比；若不相似说明理由；（2）请在图3的方格图中画一个格点四边形，使它与四边形ABCD相似，但与四边形ABCD、四边形EFGH都不全等.20.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．答案解析1.【答案】C【解析】本题考查的投影，相应用相似三角形的知识相似三角形对应边成比你来解决。
北师大新版九年级数学上册《第4章 图形的相似》单元练习卷 含解析
第4章图形的相似一．选择题（共15小题）1．下面四组图形中，必是相似三角形的为（）A．两个直角三角形B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形C．有一个角为40°的两个等腰三角形D．有一个角为100°的两个等腰三角形2．若＝，则＝（）A．B．C．D．3．下列变型，错误的是（）A．若x＝y，则x+5＝y+5 B．若﹣3a＝﹣3b，则a＝bC．由﹣8＝+3，得﹣＝3+8 D．由2x＝﹣3，得x＝﹣4．已知2x＝3y，那么下列结论中不正确的是（）A．B．C．D．5．如果线段a＝2，c＝8，那么线段a和c的比例中项b是（）A．4 B．16 C．±4 D．±166．在比例尺为1：8000000地图上，量得甲、乙两地间的距离为4厘米，则甲、乙两地的实际距离为是（）千米．A．320 B．32 C．3200 D．3200007．下列说法中，正确的个数是（）①如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线一定平行于三角形的第三边；②邻边相等的两个平行四边形一定相似；③相似三角形的中线的比等于相似比；④一般来说，一条线段的黄金分割点有两个；⑤两条直线被三条直线所截，所截得的线段对应成比例，则这三条直线一定平行；A．1个B．2个C．3个D．4个8．下列结论中，错误的有：（）①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形；⑤所有的矩形不一定相似．A．1个B．2个C．3个D．4个9．如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN 的面积之比是（）A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：410．如图，把矩形ABCD中的AB边向上翻折到AD边上，当点B与点F重合时，折痕与BC 边交于点E，连接EF，若四边形EFDC与矩形ABCD恰好相似，若AB＝1时，AD的长为（）A．B．C．3﹣D．﹣111．已知两个相似三角形的面积比为4：9，则周长的比为（）A．2：3 B．4：9 C．3：2 D．12．如图，已知在△ABC中，AB＝14，BC＝12，AC＝10，D是AC上一点，过点D画一条直线l，把△ABC分成两部分，使其中的一个三角形与△ABC相似，这样的直线有几条（）A．2 B．3 C．3或4 D．413．如图，直线a∥b∥c，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3．BC＝5，DF＝12，则DE的值为（）A．B．4 C．D．14．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若AC ＝8，CE＝12，BD＝6，则BF的值是（）A．14 B．15 C．16 D．1715．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝2，则BC的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6二．解答题（共10小题）16．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C 都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．（1）△ABC外接圆圆心的坐标为，半径是；（2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，位似中心M的坐标是，△ABC与△DEF位似比为．17．如图，在平面直角坐标系中，△AOC的顶点坐标分别为A（2，2）、O（0，0）、C（，0），以原点O为位似中心．（1）在第一象限内，相似比为，将△AOC缩小，不用画图，请直接写出缩小后的△A1OC1的两个顶点坐标：A1，C1（2）相似比为2，将△AOC放大在第一象限画出放大后的△A2OC2，直接写出两个顶点的坐标：A2，C2；在第三象限画出放大后的△A3OC3，直接写出两个顶点的坐标：A3，C3（3）相似比为k，将△AOC放大，若△AOC边上有任意一点P的坐标为（x，y），则放大后的图形上，点P的对应点Q的坐标为．（用含k、x和y的式子表示）（建议：先用铅笔画图，确定无误后用黑色水性笔画在答题卡上）18．如图，在矩形ABCD中，连接BD，作DE⊥BD，交BC的延长线于点E．求证：AB2＝BC•CE．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB上一点，作∠CDE＝∠A，过点C 作CE⊥CD交DE于E，连接BE．（1）求证：△DCE∽△ACB；（2）求证：AB⊥BE．20．如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．（1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．21．如图，点E、F分别为正方形ABCD边AB和BC的中点，DE与AF交于点G，求证：AD2＝DG•DE．22．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离AE长为20cm，幻灯片到屏幕的距离EC长为40cm，且幻灯片中的图形ED的高度为6cm，求屏幕上图形BC的高度．23．“今有井径五尺，不知其深，立五尺于井上，从木末望水岸，入径2尺，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，请你求出井深BD．24．为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？25．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．下面四组图形中，必是相似三角形的为（）A．两个直角三角形B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形C．有一个角为40°的两个等腰三角形D．有一个角为100°的两个等腰三角形【分析】根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定方法得出A、B、C不一定相似，D 一定相似；即可得出结果．【解答】解：两个直角三角形不一定相似；因为只有一个直角相等，∴A不一定相似；两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；因为这个对应角不一定是夹角；∴B不一定相似；有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似；因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，∴C不一定相似；有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似；因为100°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴D一定相似；故选：D．2．若＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】内项之积等于外项之积．依据比例的性质即可得出结果．【解答】解：∵＝，∴x+y＝2（2x﹣3y），∴3x＝7y，∴＝，故选：B．3．下列变型，错误的是（）A．若x＝y，则x+5＝y+5 B．若﹣3a＝﹣3b，则a＝bC．由﹣8＝+3，得﹣＝3+8 D．由2x＝﹣3，得x＝﹣【分析】根据等式的性质分别对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵x＝y，∴x+5＝y+5，故本选项正确；B、∵﹣3a＝﹣3b，∴a＝b，故本选项正确；C、由﹣8＝+3，得﹣＝3+8，故本选项正确；D、∵2x＝﹣3，得x＝﹣，故本选项错误．故选：D．4．已知2x＝3y，那么下列结论中不正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：、∵＝，∴2x＝3y，故本选项正确；B、∵＝，∴2x＝3y，故本选项正确；C、∵＝，∴3x＝2y，故本选项错误；D、∵＝，∴2（x+y）＝5y，解得2x＝3y，故本选项正确．故选：C．5．如果线段a＝2，c＝8，那么线段a和c的比例中项b是（）A．4 B．16 C．±4 D．±16【分析】根据比例中项的定义可得b2＝ac，从而易求b．【解答】解：∵b是a、c的比例中项，∴b2＝ac，即b2＝2×8＝16，b＝4（负数舍去）．故选：A．6．在比例尺为1：8000000地图上，量得甲、乙两地间的距离为4厘米，则甲、乙两地的实际距离为是（）千米．A．320 B．32 C．3200 D．320000【分析】根据比例尺＝代入数据计算即可．【解答】解：设甲、乙两地的实际距离为xcm，∵比例尺＝，∴1：8000000＝4：x，∴x＝32000000，∴甲、乙两地的实际距离为是320km，故选：A．7．下列说法中，正确的个数是（）①如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线一定平行于三角形的第三边；②邻边相等的两个平行四边形一定相似；③相似三角形的中线的比等于相似比；④一般来说，一条线段的黄金分割点有两个；⑤两条直线被三条直线所截，所截得的线段对应成比例，则这三条直线一定平行；A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】本题可根据相似三角形的判定定理及其推论进行解答．【解答】解：①如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线不一定平行于三角形的第三边，不符合题意；②邻边相等的两个平行四边形不一定相似，不符合题意；③相似三角形的中线的比等于相似比；符合题意，④一般来说，一条线段的黄金分割点有两个，符合题意；⑤两条直线被三条直线所截，所截得的线段对应成比例，则这三条直线一定平行，符合题意，故选：C．8．下列结论中，错误的有：（）①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形；⑤所有的矩形不一定相似．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用相似的定义逐一的对五个选项进行判定．【解答】解：①：菱形的两组对角不一定分别对应相等，故所有的菱形不一定都相似；即：选项①错误．②：放大镜下的图形与原图形只是大小不相等，但形状相同，所以它们一定相似；即：选项②错误．③：等边三角形的三个内角相等，三条边都相等，故所有的等边三角形都相似；即：选项③正确④：有一个角为110度的两个等腰三角形一定相似．因为它们的顶角均为110°，两锐角均为35°，根据“两内角对应相等的两个三角形相似”即可判定．故：选项④正确．⑤：只有长与宽对应成比例的两个矩形相似，故选项⑤正确故选：B．9．如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN 的面积之比是（）A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：4【分析】根据相似多边形的对应高之比等于相似比、面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，∴相似比为3：2，∴五边形ABCDE和五边形FGHIJ的面积比是9：4，故选：D．10．如图，把矩形ABCD中的AB边向上翻折到AD边上，当点B与点F重合时，折痕与BC 边交于点E，连接EF，若四边形EFDC与矩形ABCD恰好相似，若AB＝1时，AD的长为（）A．B．C．3﹣D．﹣1【分析】可设AD＝x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．【解答】解：∵AB＝1，设AD＝x，则FD＝x﹣1，FE＝1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴＝，，解得x1＝，x2＝（不合题意舍去），经检验x1＝是原方程的解．故选：A．11．已知两个相似三角形的面积比为4：9，则周长的比为（）A．2：3 B．4：9 C．3：2 D．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比求解．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为4：9，∴它们的相似比为2：3，∴它们的周长比为2：3．故选：A．12．如图，已知在△ABC中，AB＝14，BC＝12，AC＝10，D是AC上一点，过点D画一条直线l，把△ABC分成两部分，使其中的一个三角形与△ABC相似，这样的直线有几条（）A．2 B．3 C．3或4 D．4【分析】分别利用当DF∥BC时，当∠ADE＝∠B时，当DN∥AB时，当∠CDM＝∠B时求出相似三角形，进而得出答案．【解答】解：如图所示：当DF∥BC时，则△AFD∽△ABC，当∠ADE＝∠B时，则△ADE∽△ABC，当DN∥AB时，则△CDN∽△CAB，当∠CDM＝∠B时，则△CDM∽△CBA．这样的直线可以画4条．故选：D．13．如图，直线a∥b∥c，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3．BC＝5，DF＝12，则DE的值为（）A．B．4 C．D．【分析】由平行线的性质得出＝，即＝，解方程即可得出结果．【解答】解：∵DF＝12，∴EF＝12﹣DE，∵a∥b∥c，即：＝，解得：DE＝，故选：C．14．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若AC ＝8，CE＝12，BD＝6，则BF的值是（）A．14 B．15 C．16 D．17【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【解答】解：∵a∥b∥c，AC＝8，CE＝12，BD＝6，∴＝，即＝，解得BF＝15．故选：B．15．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝2，则BC的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由DE∥BC可证△ADE∽△ABC，得到，即可求BC的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵，∴BC＝6．故选：D．二．解答题（共10小题）16．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C 都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．（1）△ABC外接圆圆心的坐标为（2，6），半径是；（2）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，位似中心M的坐标是（3，6），△ABC与△DEF位似比为．【分析】（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心；利用两点间距离公式计算即可；（2）如图2中，由△ABC∽△DEF，推出点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求；【解答】解：（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC 的外接圆的圆心，O′（2，6）．故答案为（2，6）；（2）连接CO′．CO′＝＝，∴△ABC外接圆的半径是，故答案为；（3）如图2中，∵△ABC∽△DEF，∴点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求．观察图象可知M（3，6），△ABC与△DEF位似比为＝＝，故答案为（3，6），．17．如图，在平面直角坐标系中，△AOC的顶点坐标分别为A（2，2）、O（0，0）、C（，0），以原点O为位似中心．（1）在第一象限内，相似比为，将△AOC缩小，不用画图，请直接写出缩小后的△A1OC1的两个顶点坐标：A1（1，1），C1（，0）（2）相似比为2，将△AOC放大在第一象限画出放大后的△A2OC2，直接写出两个顶点的坐标：A2（4，4），C2（5，0）；在第三象限画出放大后的△A3OC3，直接写出两个顶点的坐标：A3（﹣4，﹣4），C3（﹣5，0）（3）相似比为k，将△AOC放大，若△AOC边上有任意一点P的坐标为（x，y），则放大后的图形上，点P的对应点Q的坐标为（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．（用含k、x 和y的式子表示）（建议：先用铅笔画图，确定无误后用黑色水性笔画在答题卡上）【分析】（1）直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标；（2）直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标；（3）直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标．【解答】解：（1）A1（1，1），C1（，0）；故答案为：（1，1），（，0）；（2）如图所示：A2（4，4），C2（5，0）；A3（﹣4，﹣4），C3（﹣5，0）；故答案为：（4，4），（5，0），（﹣4，﹣4），（﹣5，0）；（3）相似比为k，将△AOC放大，若△AOC边上有任意一点P的坐标为（x，y），则放大后的图形上，点P的对应点Q的坐标为：（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．故答案为：（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．18．如图，在矩形ABCD中，连接BD，作DE⊥BD，交BC的延长线于点E．求证：AB2＝BC•CE．【分析】根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC，AB＝CD，∴∠ADB+∠BDC＝90°，∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴∠ADB＝∠CDE，∵∠A＝∠DCE＝90°，∴△ABD∽△CED，∴＝，∴＝，∴AB2＝BC•CE．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB上一点，作∠CDE＝∠A，过点C 作CE⊥CD交DE于E，连接BE．（1）求证：△DCE∽△ACB；（2）求证：AB⊥BE．【分析】（1）利用两组角对应相等的两个三角形相似，得到△DCE∽△ACB；（2）根据相似三角形的判定，得到△BCE∽△ACD，根据已知及相似三角形的对应角相等，即可求得结论．【解答】证明：（1）∵CE⊥CD，∴∠DCE＝∠ACB＝90°又∵∠CDE＝∠A∴△DCE∽△ACB；（2）∵△DCE∽△ACB，＝，∴＝，∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE∽△ACD，∴∠CBE＝∠A，∵∠A+∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABC＝90°，∴∠ABE＝90°，∴AB⊥BE．20．如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．（1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．【分析】（1）先证明∠ACP＝∠PDB＝120°，然后由∠A+∠B＝60°，∠DPB+∠B＝60°可证明∠A＝∠DPB，从而可证明△ACP∽△PDB．（2）由相似三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到PC＝PD＝CD，等量代换得到，即可得到答案．【解答】（1）证明：∵△PCD为等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°．∴∠ACP＝∠PDB＝120°．∵∠APB＝120°，∴∠A+∠B＝60°．∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠B＝60°．∴∠A＝∠DPB．∴△ACP∽△PDB．（2）解：由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．∵AC＝4，BD＝9，∴CD＝6．21．如图，点E、F分别为正方形ABCD边AB和BC的中点，DE与AF交于点G，求证：AD2＝DG•DE．【分析】由“SAS”可证△ADE≌△BAF，可得∠BAF＝∠ADE，通过证明△ADE∽△GDA，可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD，∠DAB＝∠ABF，∵点E，点F是AB，BC中点，∴BF＝AE，且AB＝AD，∠ABF＝∠DAE，∴△ADE≌△BAF（SAS）∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAG＝90°，∴∠ADE+∠DAG＝90°，∴∠AGD＝90°＝∠DAE，且∠ADG＝∠ADE，∴△ADE∽△GDA∴，∴AD2＝DG•DE．22．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离AE长为20cm，幻灯片到屏幕的距离EC长为40cm，且幻灯片中的图形ED的高度为6cm，求屏幕上图形BC的高度．【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．【解答】解：∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴＝，∵AE＝20cm，EC＝40cm，∴AC＝60cm，设屏幕上的图形高是xcm，则＝，解得：x＝18cm，答：屏幕上图形BC的高度为18cm．23．“今有井径五尺，不知其深，立五尺于井上，从木末望水岸，入径2尺，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，请你求出井深BD．【分析】根据题意可知△ABF∽△ADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深．【解答】解：依题意可得：△ABF∽△ADE，∴AB：AD＝BF：DE，即5：AD＝2：5，解得：AD＝12.5，BD＝AD﹣AB＝12.5﹣5＝7.5尺．所以井深BD为7.5尺．24．为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？【分析】根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．【解答】解：设宽度AB为x米，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴＝，又∵BC＝24，BD＝12，DE＝40代入得∴＝，解得x＝18，答：河的宽度为18米．25．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高．【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．【解答】解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB∴＝，∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，∴＝，∴CB＝4（m），∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）．答：树高为5.5米．。
第四章 图形的相似 单元测试卷-2021-2022学年数学九年级上册-北师大版(含答案)
第四章图形的相似单元测试卷-2021-2022学年数学九年级上册-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、下列阴影三角形分别在小正方形组成的网格中，则与左图中的三角形相似的是（）A. B. C. D.2、如图正方形网格上的三角形（1）（2）（3）中与△ABC相似的是（）A.（1）B.（2）C.（3）D.都不与△ABC相似3、下列命题中的真命题是（）A.两边和一角分别相等的两个三角形全等B.正方形不是中心对称图形 C.圆内接四边形的对角互补 D.相似三角形的面积比等于相似比4、如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF∶S△AOB的值为( )A.1∶3B.1∶5C.1∶6D.1∶115、“差之毫厘，失之千里”是一句描述开始时虽然相差很微小，结果会造成很大的误差或错误的成语.现实中就有这样的实例，如步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，眼睛距离目标为200m，步枪上准星宽度AB为2mm，若射击时，由于抖动导致视线偏离了准星1mm，则目标偏离的距离为（）cm．A.25B.50C.75D.1006、如果线段b是线段a，c的比例中项，，那么下列结论中正确的是（）A. B. C. D.7、如图，己知在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动．连接BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连接口，交BD于点G，交BC于点旭连接CF．给出下列结论：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③=；④GH的值为定值；上述结论中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.48、如图，在中，，，，点在边上，且，点E为射线上一动点，连接．将沿直线折叠，使点C落在点P处，连接，，则的面积最小值为（）A.3B.6C.D.129、如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是AB上一点，将△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，且在AD上，BE交PC于点F，则下列结论，其中正确的结论有（）①BP＝BF；②若点E是AD的中点，那么△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE ＝16；④在③的条件下，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．A.2个B.3个C.4个D.5个10、如图，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB=11，AC=15，则FC的长为（）A.11B.12C.13D.1411、下列说法正确的是（）A.所有的矩形都是相似形B.有一个角等于100°的两个等腰三角形相似 C.对应角相等的两个多边形相似 D.对应边成比例的两个多边形相似12、如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连结EB，CA交于点F，则的值为（）A. B. C. D.13、如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A.60 mmB. mmC.20 mmD. mm14、如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E 从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（）A.3秒或4．8秒B.3秒C.4．5秒D.4．5秒或4．8秒15、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE．下列结论：①∠ACD=30°；②S▱ABCD=AC•BC；③OE：AC= ：6；④S△OCF=2S△OEF成立的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB：AC=8：5，则CD：BD=________．17、一把剪刀如图所示，，当手握的地方张开时，剪刀的尖端，两点的距离为________18、已知，则=________。
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2020-2021学年北师大版初三数学上册单元训练卷第4章图形的相似一、选择题(每小题3分，共30分)1. 已知线段a，b，c，d成比例，其中a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，则d为( B)A. 1cmB. 10cmC. 52cm D.85cm2. 如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F.若ABBC＝23，DE＝4，则EF的长是( C)A. 83B.203C. 6D. 103. 下列几组图形：∥两个等腰三角形；∥两个直角三角形；∥两个正方形；∥两个矩形；∥两个菱形；∥两个正五边形.其中一定相似的有( A)A. 2组B. 3组C. 4组D. 5组4. 乐器上的一根琴弦AB＝60厘米，两个端点A，B固定在乐器版面上，支撑点C，D在AB的黄金分割点上，则CD长为( B)A. 30＋55－120 530 D. 90－55. 如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为( A)A. (2，1)B. (2，0)C. (3，3)D. (3，1)6. 如图，在∥ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，下列说法中不正确的是( D)A. DE＝12BC B.ADAB＝AEACC. ∥ADE∥∥ABCD. S∥ADE∥S∥ABC＝1∥27. 如图，在∥ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E，F在AB上，直线AG分别交DE，BC 于M，N两点.若∥B＝90°，AB＝4，BC＝3，EF＝1，则BN的长度为( D)A. 43B.32C.85D.1278. 如图，P是Rt∥ABC斜边BC上一点，不与B，C重合，过点P作直线截∥ABC，使截得的三角形与∥ABC相似，满足这样的直线共有( C)A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条9. 如图，∥ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在∥ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为( D)A. 1B. 2 2－6 2－610. 如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE∥EF，下列结论：∥∥BAE＝30°；∥CE2＝AB﹒CF；∥CF＝13FD；∥∥ABE∥∥AEF；∥S∥AEF＝5S∥ECF. 其中正确的有( C)A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题(每小题3分，共24分)11. 若ab＝cd＝ef＝3，且b＋d＋f＝4，则a＋c＋e＝12.12. 若∥ABC与∥DEF相似且面积之比为25∥16，则∥ABC与∥DEF的周长之比为5∥4.13. 如图，∥ABC与∥A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是(9，0).14. 如图，∥ACB＝∥ABD＝90°，BC＝a，AC＝b，当Rt∥ABD斜边上的高h＝a或b时，图中的两个直角三角形相似.15. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是6017步.16. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∥ABC交CD于E，且BE∥CD，CE∥ED＝2∥1.如果∥BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是74.17. 如图，小明在墙上挂了一面镜子AB ，调整好标杆CD ，正好通过标杆顶部在镜子上边缘A 处看到旗杆的顶端E 的影子，已知AB ＝2m ，CD ＝1.5m ，BD ＝2m ，BF ＝20m ，则旗杆EF 的高度为 7 m.18. 如图，在∥ABC 中，分别以AC ，BC 为边作等边∥ACD 和等边∥BCE .设∥ACD ，∥BCE ，∥ABC 的面积分别是S 1，S 2，S 3，现有如下结论：∥S 1∥S 2＝AC 2∥BC 2；∥连接AE ，BD ，则∥BCD ∥∥ECA ；∥若AC ∥BC ，则S 1﹒S 2＝3423S . 其中结论正确的序号是 ∥∥∥ .三、解答题(共66分)19. (8分)已知5a ＝7b ＝8c，且3a －2b ＋c ＝9，求2a ＋4b －3c 的值. 解：设5a ＝7b ＝8c＝k (k ≠0)，则a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k . 由3a －2b ＋c ＝9，得15k －14k ＋8k ＝9，解得k ＝1. ∥a ＝5，b ＝7，c ＝8. 故2a ＋4b －3c ＝2×5＋4×7－3×8＝14.20. (8分)如图，在平面直角坐标系中，∥ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，4)，C(－3，2).(1)画出∥ABC关于y轴对称的图形∥A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；(2)以原点O为位似中心，相似比为1∥2，在y轴的左侧，画出∥ABC放大后的图形∥A2B2C2，并直接写出点C2的坐标；(3)如果点D(a，b)在线段AB上，请直接写出经过(2)的变化后D的对应点D2的坐标.解：(1)如图所示，点C1的坐标是(3，2).(2)如图所示，点C2的坐标是(－6，4).(3)点D2的坐标是(2a，2b).21. (9分)如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的竹竿竖直放置时影长1.5m，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为21m ，留在墙上的影高为2m ，求旗杆的高度.解：过点C 作CE ∥AB 于点E . ∥CD ∥BD ，AB ∥BD ，∥∥EBD ＝∥CDB ＝∥CEB ＝90°. ∥四边形CDBE 为矩形. ∥BD ＝CE ＝21，CD ＝BE ＝2. 设AE ＝x ，则1∥1.5＝x ∥21，解得x ＝14. ∥旗杆的高AB ＝AE ＋BE ＝14＋2＝16(m).22. (9分)如图，在∥ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AD ＝AC ，DE ∥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：∥ABC ∥∥FCD ；(2)若S ∥FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长.(1)证明：∥AD ＝AC ，∥∥ADC ＝∥ACD . 又∥D 是BC 边中点，DE ∥BC ，∥BE ＝CE ，∥EBC ＝∥ECB . ∥∥ABC ∥∥FCD .(2)解：作AM ∥BC 于点M ，则DM ＝MC . ∥∥ABC ∥∥FCD ，BC ＝2CD ，∥S ∥FCD ∥S ∥ABC ＝(CD ∥CB )2＝1∥4. ∥S ∥FCD ＝5，∥S ∥ABC ＝20. 又∥BC ＝10，∥AM ＝4. 又∥DE ∥BC ，AM ∥BC ，∥∥BED ∥∥BAM . ∥DE MA ＝BDBM，即4DE ＝57.5. ∥DE ＝83.23. (10分)已知∥ABC 和∥DEF 是两个等腰直角三角形，∥A ＝∥D ＝90°，E 是BC 边的中点.(1)如图∥，DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：∥BEM∥∥CNE；(2)如图∥，将∥DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，除(1)中的一对相似三角形外，你能否再找出一对相似三角形?试证明你的结论.图∥ 图∥(1)证明：∥∥ABC和∥DEF是两个等腰直角三角形，∥∥B＝∥C＝∥DEF. 又∥∥B＋∥BME＋∥MEB＝∥MEB ＋∥MEN＋∥NEC，∥∥BME＝∥NEC. ∥∥BEM∥∥CNE.(2)解：∥ECN∥∥MEN. 证明如下：与(1)同理可证，∥BEM∥∥CNE，∥BECN＝EMNE. 又∥BE＝EC，∥ECCN＝MEEN. 又∥∥MEN＝∥ECN＝45°，∥∥ECN∥∥MEN.24. (10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝12x＋2与x轴、y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作矩形ABCD，使AD5(1)求点A，B的坐标，并求边AB的长；(2)过点D作DH∥x轴，垂足为H，求证：∥ADH∥∥BAO；(3)求点D的坐标.(1)解：∥y ＝12x ＋2，∥当x ＝0，y ＝2，B (0，2)；当y ＝0，x ＝－4，∥A (－4，0). 在Rt∥AOB 中，42＋22＝AB 2，∥AB ＝5(2)证明：∥∥BAD ＝90°，设∥DAH ＝∥1，∥BAO ＝∥2，∥ADH ＝∥3，∥∥1＋∥2＝90°.又∥∥1＋∥3＝90°，∥∥2＝∥3.又∥∥AHD ＝∥AOB ＝90°，∥∥ADH ∥∥BAO .(3)解：∥∥ADH ∥∥BAO ，∥AD BA ＝DH AO ＝AH BO 525＝4DH ＝2AH. ∥DH ＝2，∥AH ＝1.∥D (－5，2).25. (12分)如图∥，在Rt∥ABC 中，∥ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm. 动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒3cm 的速度向定点A 运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒2cm 的速度向点B 运动，运动时间为t 秒(0＜t ＜103)，连接MN . (1)若∥BMN 与∥ABC 相似，求t 的值；(2)如图∥，连接AN ，CM ，若AN ∥CM ，求t 的值.图∥ 图∥ 解：由题意知，BM ＝3t ，CN ＝2t .∥∥ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∥AB ＝10.∥BN ＝8－2t .(1)当∥BMN ∥∥BAC 时，BM BA ＝BN BC ，∥310t ＝882t －，解得t ＝2011；当∥BMN ∥∥BCA 时，BM BC ＝BNBA，∥38t ＝8021t －，解得t ＝3223. 综合以上，当t ＝2011或t ＝3223时，∥BMN 与∥ABC 相似. (2)过M 作MP ∥BC 于点P .∥∥MPB ＝∥ACB ＝90°，∥B ＝∥B ，∥∥BPM ∥∥BCA . ∥PM CA ＝BP BC ＝BM BA ，即6PM＝8BP ＝310t . ∥MP ＝95t ，BP ＝125t. 又∥∥PCM ＋∥ACM ＝90°，∥ACM ＋∥CAN ＝90°，∥∥PCM ＝CP AC ＝MPCN. ∥12856t＝952tt，解得t＝1312.∥CAN.∥∥CAN∥∥PCM. ∥。