高三数学一轮复习第十三篇坐标系与参数方程第1节坐标系课件理
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——坐标系与参数方程 第一课时 坐标系
第1节 坐标系与参数方程第一课时 坐标系考试要求 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x （λ＞0），y ′＝μ·y （μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O (极点)，自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角∠xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ).3.极坐标与直角坐标的互化4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程 圆心在极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ＜2π) 圆心为(r ，0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos__θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ＜π2圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin__θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线①θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R ) ②θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a ，0)，与极轴垂直的直线ρcos__θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin__θ＝a (0＜θ＜π)1.极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以ρ等.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×解析 (1)一般认为ρ≥0，当θ∈[0，2π)时，平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系；(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线.2.(易错题)在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( ) A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝ 3 C.ρcos θ＝1D.ρcos θ＝ 3答案 A解析 先将极坐标化成直角坐标表示，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1， 再化为极坐标为ρsin θ＝1.3.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 答案 A解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.4.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C.(1，0)D.(1，π)答案 B解析 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ， 即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.5.(易错题)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1.6.(2018·北京卷)在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________. 答案 1＋ 2解析 直线的方程为x ＋y －a ＝0，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆心(1，0)，半径r ＝1， 由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1－a |2＝1，又a >0，所以a ＝1＋ 2.考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换1.曲线C ：x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y得到曲线C ′，则曲线C ′的方程为________. 答案 x ′24＋y ′2＝1解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′，代入曲线C 的方程得C ′：x ′24＋y ′2＝1.2.曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为________. 答案 4x 2＋9y 2＝1解析 根据题意，曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则(2x )2＋(3y )2＝1，即4x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为4x 2＋9y 2＝1.3.在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过变换后所得的点A ′的坐标为________. 答案 (1，－1)解析 设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ： ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1， 所以点A ′的坐标为(1，－1).4.双曲线C ：x 2－y 264＝1经过伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y后所得曲线C ′的焦点坐标为________.答案 (－5，0)，(5，0)解析 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，将⎩⎨⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1， 化简得x ′29－y ′216＝1，即为曲线C ′的方程，知C ′仍是双曲线，其焦点坐标分别为(－5，0)，(5，0).感悟提升 1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程.2.解答该类问题应明确两点：一是明确平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解.考点二 极坐标与直角坐标的互化例1 (1)极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0转化成直角坐标方程为( ) A.x 2＋y 2＝0或y ＝1 B.x ＝1C.x 2＋y 2＝0或x ＝1D.y ＝1(2)点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z ) 答案 (1)C (2)C解析 (1)ρ2cos θ－ρ＝0⇒ρ＝x 2＋y 2＝0，或ρcos θ＝1，即x ＝1.(2)∵ρ＝（－1）2＋（3）2＝2，tan θ＝3－1＝－ 3.又点M 在第二象限，∴θ＝2π3， ∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.感悟提升 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.训练1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.(1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程. 解 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得，ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1， 即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0).当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233. 所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R ). 考点三 求曲线的极坐标方程例2 (2022·西安五校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，如图，将C 1分别绕原点O 逆时针旋转π2，π，3π2得到曲线C 2，C 3，C 4，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)分别写出曲线C 1，C 2，C 3，C 4的极坐标方程；(2)直线l ：θ＝π3(ρ∈R )交曲线C 1，C 3分别于A ，C 两点，直线l ′：θ＝2π3(ρ∈R )交曲线C 2，C 4分别于B ，D 两点，求四边形ABCD 的面积.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1，得C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，设C 1上的点(ρ0，θ0)旋转π2得到曲线C 2上的点(ρ，θ)，则ρ0＝ρ，θ0＝θ－π2，代入C 1的方程得ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ－π2≤π2，所以C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤θ≤π，同理，C 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π≤θ≤3π2，C 4的极坐标方程为ρ＝－2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2≤θ≤2π.(2)结合图形的对称性可知S 四边形ABCD ＝4S △AOB ， 将θ＝π3代入C 1得|OA |＝ρA ＝1，将θ＝2π3代入C 2得|OB |＝ρB ＝3，所以S 四边形ABCD ＝4S △AOB ＝4×12·|OA |·|OB |·sin π3＝3. 感悟提升 求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.训练2 在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4，0)且与OM 垂直，垂足为P . (1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 解 (1)因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上， 当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2. 设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点.在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.考点四 极坐标方程的应用例3 已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 得到曲线C ′，以直角坐标中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C ′的极坐标方程；(2)若A ，B 是曲线C ′上的两个动点，且OA ⊥OB ，求|OA |2＋|OB |2的最小值. 解 (1)曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，转换为普通方程为x 2＋y 2＝4，曲线C经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝12y得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，极坐标方程为ρ＝21＋3sin 2θ.(2)设A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，所以|OA |2＋|OB |2＝ρ21＋ρ22＝41＋3sin 2θ＋41＋3cos 2θ ＝8＋12（sin 2θ＋cos 2θ）（1＋3sin 2θ）（1＋3cos 2θ）＝20（1＋3sin 2θ）（1＋3cos 2θ） ＝201＋3（sin 2θ＋cos 2θ）＋94sin 22θ ＝204＋94sin 22θ≥165. 当sin 2θ＝±1时，|OA |2＋|OB |2取得最小值165.感悟提升 1.若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.2.在极坐标系中，如果P 1(ρ1，θ1)，P 2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式 |P 1P 2|＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.两种特殊情况：(1)当θ1＝θ2＋2k π，k ∈Z 时，|P 1P 2|＝|ρ1－ρ2|； (2)当θ1＝θ2＋π＋2k π，k ∈Z ，|P 1P 2|＝|ρ1＋ρ2|.3.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.训练3 (2021·昆明诊断)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝9＋3t ，y ＝t (t为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝161＋3sin 2θ.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离. 解 (1)由ρ2＝161＋3sin 2θ， 得ρ2＋3ρ2sin 2θ＝16，则曲线C 的直角坐标方程为x 2＋4y 2＝16， 即x 216＋y 24＝1.直线l 的直角坐标方程为x －3y －9＝0.(2)可知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设P (4cos α，2sin α)，α∈[0，2π)，则M (2cos α，sin α)到直线l ：x －3y －9＝0的距离为d ＝|2cos α－3sin α－9|2＝|7sin （θ－α）－9|2≤9＋72，所以线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离为9＋72.1.将直角坐标方程与极坐标方程互化： (1)y 2＝4x ；(2)y 2＋x 2－2x －1＝0； (3)θ＝π3(ρ∈R )；(4)ρcos 2 θ2＝1； (5)ρ2cos 2θ＝4； (6)ρ＝12－cos θ.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0.(3)当x ≠0时，由于tan θ＝y x ，故tan π3＝yx ＝3，化简得y ＝3x (x ≠0)； 当x ＝0时，y ＝0.显然(0，0)在y ＝3x 上，故θ＝π3(ρ∈R )的直角坐标方程为 y ＝3x .(4)因为ρcos 2θ2＝1，所以ρ·1＋cos θ2＝1，而ρ＋ρcos θ＝2，所以x 2＋y 2＋x ＝2.化简得y 2＝－4(x －1).(5)因为ρ2cos 2θ＝4，所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x 2－y 2＝4. (6)因为ρ＝12－cos θ，所以2ρ－ρcos θ＝1，因此2x 2＋y 2－x ＝1，化简得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.2.在极坐标系中，已知两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3.(1)求A ，B 两点间的距离； (2)求点B 到直线l 的距离.解 (1)设极点为O .在△OAB 中，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，由余弦定理，得 |AB |＝32＋（2）2－2×3×2×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝ 5.(2)因为直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3，所以直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π2，倾斜角为3π4.又B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2， 所以点B 到直线l 的距离为(32－2)×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π2＝2.3.以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 解 (1)因为ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，所以曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )， 根据题意21－sin θ0＝3·21－sin （θ0＋π），解得θ0＝π6或θ0＝5π6，所以直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R ).4.(2022·南宁调研)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 1，C 2的极坐标方程；(2)设A ，B 分别为C 1，C 2上的点，若△OAB 为等边三角形，求|AB |. 解 (1)因为圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1， 圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4，所以C 1：x 2＋y 2＝2x ，C 2：x 2＋y 2＝－4x ， 因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ， 所以C 1：ρ＝2cos θ，C 2：ρ＝－4cos θ.(2)因为C 1，C 2都关于x 轴对称，△OAB 为等边三角形， 所以不妨设A (ρA ，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρB ，θ＋π3，0＜θ＜π2.依题意可得，ρA ＝2cos θ，ρB ＝－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.从而2cos θ＝－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，整理得，2cos θ＝3sin θ，所以tan θ＝233，又因为0＜θ＜π2，所以cos θ＝217，|AB |＝|OA |＝ρA ＝2217.5.(2021·成都诊断)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，直线l 的方程为x ＋3y －6＝0.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程；(2)若点P (x ，y )在直线l 上且y >0，射线OP 与曲线C 相交于异于点O 的点Q ，求|OP ||OQ |的最小值.解 (1)由极坐标与直角坐标的互化公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得 曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 由题意得直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－6＝0，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝3.(2)设点P 的极坐标为(ρ1，θ)，点Q 的极坐标为(ρ2，θ)，其中0<θ<π2. 由(1)知|OP |＝ρ1＝6cos θ＋3sin θ，|OQ |＝ρ2＝2cos θ. ∴|OP ||OQ |＝ρ1ρ2＝62cos 2θ＋23sin θcos θ＝61＋cos 2θ＋3sin 2θ＝61＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6.∵0<θ<π2，∴π6<2θ＋π6<7π6，∴－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6≤1. ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝1，即θ＝π6时，|OP ||OQ |取得最小值2.6.已知曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9，A 是曲线C 1上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90°得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线C 2. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点，定点M (－4，0)，求△MPQ的面积.解 (1)曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9， 即x 2＋y 2－6y ＝0. 从而ρ2＝6ρsin θ.所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6sin θ. 设B (ρ，θ)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2，则有ρ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝－6cos θ.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝－6cos θ. (2)M 到射线θ＝5π6(ρ＞0)的距离为d ＝4sin 5π6＝2，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 1的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρP ，5π6，其中，ρP ＝6sin 5π6＝3，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 2的交点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρQ ，5π6，其中，ρQ ＝－6cos 5π6＝33，则|PQ |＝|ρP －ρQ |＝33－3， 则S △MPQ ＝12|PQ |d ＝33－3.。
2018高考数学大一轮复习坐标系与参数方程第一节坐标系课件文
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4．常见曲线的极坐标方程 圆心在极点， 半径为 r 的圆的极 坐标方程 π 圆心为r，2 ，半径为 r 的圆的 极坐标方程
过极点，倾斜角为 α 的直线的 极坐标方程 过点(a,0)， 与极轴垂直的直线的 极坐标方程 π 过点a，2 ，与极轴平行的直线 的极坐标方程
π l：ρsinθ－4 ＝
2 (ρ≥0,0≤θ＜2π)． 2
(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； (2)当 θ∈(0，π)时，求直线 l 与圆 O 的公共点的极坐标．
π 2，－ ． 3 π 答案：2，－3
π 2．在极坐标系中，圆 ρ＝4sin θ 的圆心到直线 θ＝ (θ∈R) 3 的距离是________．
π 解析：设圆心到直线 θ＝ (θ∈R)的距离 3 为 d， π 因为圆的半径为 2, d＝2· sin ＝1． 6
答案：1
ρ＝r(0≤θ<2π) ρ＝2rsin θ(0≤θ<π) θ＝α(ρ∈R)或 θ＝π＋α (ρ∈R) ρcos
π π θ＝a－2<θ<2
ρsin θ＝a(0<θ<π)
[小题体验]
1． 点 P 的直角坐标为(1， － 3)， 则点 P 的极坐标为________．
解析：因为点 P(1，－ 3)在第四象限，与原点的距离为 π 2，且 OP 与 x 轴所成的角为－ ，所以点 P 的极坐标为 3
整理得
π y＝sin2x＋6 ，故
2π 所以 y＝f(x)的最小正周期为 ＝π． 2
[谨记通法] 伸缩变换公式应用时的 2 个注意点 (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变 换实现的，解题时一定要区分变换前的点 P 的坐标(x，y)与变换 后 的 点 P′ 的 坐 标 (x′ ， y′) ， 再 利 用 伸 缩 变 换 公 式
18高考数学大一轮复习坐标系与参数方程第一节坐标系课件理
2 x′＝3x， y 2 3．求双曲线 C：x －64＝1 经过 φ： 变换后所得曲线 2y′＝y
C′的焦点坐标．
解：设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)， 1 2 x＝ x ′ ， y 3 由题意，将 代入 x2－64＝1 y＝2y′ x′2 4y′2 得 9 － 64 ＝1， x′2 y′2 化简得 9 － 16 ＝1，
，θ)(θ∈R) ，和直角坐标不 点，特别地，极点 O 的坐标为(0 ____________
同，平面内一个点的极坐标有无数种表示． 如果规定 ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可 用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也 是唯一确定的．
2．极坐标与直角坐标的互化
3． [考点二]在极坐标系中， 直线 ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线 ρ＝2cos θ－4sin θ 相交于 A，B 两点，若|AB|＝2 3，求实数 a 的值．
解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 x－y＋a＝0， 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5， 所以圆心 C 的坐标为(1，－2)，半径 r＝ 5，所以圆心 C 到 |1＋2＋a| 直线的距离为 ＝ 2 r
点M 互化公式 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
2 2 2 ρ ＝ x ＋ y ， y tan θ＝xx≠0
ρcos θ x＝_______， ρsin θ y＝_________
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
极坐标与直角坐标的互化
1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
x′＝3x， φ： 2y′＝y.
1． 在同一平面直角坐标系中， 已知伸缩变换 点
大高考2020版高考数学一轮总复习第13章坐标系与参数方程课件理
(2)设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫
作 点 M 的 极 径 ， 记 为 ρ ； 以 极 轴 Ox 为 始 边 ， 射 线
OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为θ，有序
数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记为(ρ，θ).
2.极坐标与直角坐标的互化
设 M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).
二、同步听课法
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记 下来，到课后再慢慢弄懂它。
为(1，0)，而点2，π3 在直角坐标系中的坐标为(1， 3)， 所以两点间的距离为 3. 答案 D
高考AB卷
学法大视野
[点评] 在极坐标系中研究曲线的形状、性质时，最常用的 方法是化极坐标方程为直角坐标方程，转化为熟悉的问题， 对一些简单的直线或圆的有关问题，也可以直接用极坐标知 识解决.
x＝2pt2， y＝2pt (t
为参数).
高考AB卷
学法大视野
2.参数方程与普通方程的互化 (1)化参数方程为普通方程 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消 去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘 除消元法；④三角恒等式消元法. (2)化普通方程为参数方程 只要适当选取参数 t，确定 x＝φ(t)，再代入普通方程，求 得 y＝φ(t)， 即可化为参数方程xy＝ ＝φφ（ （tt） ），.
高考数学大一轮复习坐标系与参数方程第一节坐标系课件理
2．极坐标与直角坐标的互化
点M
直角坐标(x，y)
互化公式
x＝_ρ_c_o_s_θ__， y＝_ρ__si_n_θ____
极坐标(ρ，θ)
ρ2＝x2＋y2，
tan
θ＝xyx≠0
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
极坐标与直角坐标的互化
1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤
判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，
第一步 且极轴与 x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合， 则极坐标方程与直角坐标方程可以互化
通过极坐标方程的两边同乘 ρ 或同时平方构造 ρcos 第二步 θ，ρsin θ，ρ2 的形式，一定要注意变形过程中方程
要保持同解，不要出现增解或漏解
根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式
第三步
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ
圆 C 的极坐标方程为 ρ2＋2 2ρ 22sin θ－ 22cos θ－4＝0，化 简，得 ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.
由坐标变换公式，得圆 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＋2y
－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，
所以圆 C 的半径为 6.
3．[考点二]在极坐标系中，直线 ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线 ρ＝2cos θ－4sin θ 相交于 A，B 两点，若|AB|＝2 3，求实数 a 的值．
点 A13，－2经过 φ 变换所得的点 A′的坐标． 解：设 A′(x′，y′)，由伸缩变换 φ：x2′ y′＝＝3yx，， 得到
x′＝3x， y′＝12y，
由于点 A 的坐标为13，－2，
于是 x′＝3×13＝1，y′＝12×(－2)＝－1， 所以 A′(1，－1)为所求．
全国通用2018高考数学一轮复习坐标系与参数方程第1节坐标系课件文
∴y－x＝1. 由
A 2
7π 2， ，得点 A 的直角坐标为(2，－2)． 4
|2＋2＋1| 5 2 ∴点 A 到直线 l 的距离 d＝ ＝ .] 2 2
不妨设 P1(1,0)，P2(0,2)，则线段 1 k＝ ，8 分 2
1 P1P2 的中点坐标为2，1 ，所求直线斜率为
1 1 于是所求直线方程为 y－1＝ x－2 ， 2 化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 3 故所求直线的极坐标方程为 ρ＝ .10 分 4sin θ－2cos θ
x′ x＝ ， 3 得 8分 y＝2y′，
x′ 代入 y＝6x，得 2y′＝6· ＝2x′， 3 ∴y′＝x′为所求直线 l′的方程.10 分
极坐标与直角坐标的互化
(2015· 全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x －1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求 C1，C2 的极坐标方程； π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝ (ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求 4 △C2MN 的面积．
x′＝3x， φ： 2y′＝y，
x′＝3x， 得 2分 y y′＝ ， 2
－2 1 ∴x′＝ ×3＝1，y′＝ ＝－1.∴点 A′的坐标为(1，－1).5 分 3 2
(2)设 P′(x′，y′)是直线 l′上任意一点． 由伸缩变换
x′＝3x， φ： 2y′＝y，
逆时针 方向)，这样就建 度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取_______
(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习-坐标系和参数方程 第1节 坐标系课件 新人教A版
解析 ∵y＝1－x(0≤x≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)；
∴ρ＝sin
1 θ＋cos
θ0≤θ≤π2.
答案 A
3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极 轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线 C的直角坐标方程为________. 解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C的直角坐标 方程为x2＋y2－2y＝0. 答案 x2＋y2－2y＝0
【训练 2】 (1)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系.已知点 A 的极坐标为
2，π4，直线的极坐标方程为 ρcosθ－π4＝a，且
点 A 在直线上，求 a 的值及直线的直角坐标方程.
(2)把曲线 C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0 化为极坐标方程.
解
(1)∵点
规律方法 1.平面上的曲线 y＝f(x)在变换 φ：xy′′＝＝λμxy（（λμ>>00）），的作用下的变换方程 的求法是将xy＝＝xyμλ′′，代入 y＝f(x)，整理得 y′＝h(x′)为所求. 2.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与 作用；二是明确变换前的点 P(x，y)与变换后的点 P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想 求解.
A
2，π4在直线 ρcosθ－π4＝a 上，∴a＝
2cosπ4－π4＝
2，
所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，
从而直线的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)将xy＝＝ρρcsions
θ， 代入
θ
x2＋y2－8x－10y＋16＝0，
(全国版)高考数学一轮复习坐标系与参数方程1坐标系课件理选修44
(1)求曲线C2的极坐标方程.
(2)求曲线C2上的点到直线ρcos
距离的最大值.
(θ π ) 2 4
第四十一页，共52页。
【解题导引】(1)设出M,P的极坐标,由|OP|·|OM|=4,即M,P 的极径之积等于(děngyú)4得到两点的极坐标的关系,把M的 极坐标用P的极坐标表示,代入直线C1的极坐标方程即可得到 曲线C2的极坐标方程.
θ
π， 4
所以交θ点的π4，极坐标为 (2 2, π)(或(2 2, 5π)).
4
4
第三十页，共52页。
2.本例条件不变,求圆C2关于极点的对称圆的方程. 【解析(jiě xī)】因为点(ρ,θ)与(-ρ,θ)关于极点对称,所 以由C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0得 圆C2关于极点的对称圆方程是ρ2+2ρcosθ+4ρsinθ +4=0.
第七页，共52页。
(2)互化公式:设M是平面内的任意(rènyì)一点,它的直角
坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则 x __c_o_s__,
2 _x_2___y_2 ,
y __s_i_n__,
tan
y (x 0)
_x_______
.
第八页，共52页。
4.直线的极坐标方程 (1)一般(yībān)位置: 若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的 极坐标方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
因此,经过变换 y 4y后,直线x-2y=2变成直线2x′-
y′=4.
第二十页，共52页。
【加固训练(xùnliàn)】
1.在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:
全国通用高考数学一轮复习坐标系与参数方程第1节坐标系课件文新人教A版041402216
ρ＝r(0≤θ＜2π) _______________
π π ρ ＝ 2 r cos θ ____________－2≤θ≤2
圆心为(r,0)，半径为 r 的圆
π 圆心为r，2，半径为
r 的圆
ρ＝2rsin θ (0≤0＜π) ___________
5.直线的极坐标方程 (1)直线 l 过极点，且极轴到此直线的角为 α，则直线 l 的极坐标方程是
1 π B．ρ＝ ，0≤θ≤ 4 cos θ＋sin θ π D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ 4
∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，
π 1 0 ≤ θ ≤ ∴ρ＝ .] 2 sin θ＋cos θ
3．(教材改编)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系．若曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2sin θ，则曲线 C 的直角坐标方 程为________．
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
λx ___，λ＞0， x′＝ 设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点， 在变换 φ： μy ___，μ＞0 y′＝
的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标 伸缩变换．
2．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图 1 所示，在平面内取一个定点 O(极点)， 自极点 O 引一条射线 Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角
)
(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( (4)极坐标方程 θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(
) )
[ 答案]
(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2． (教材改编)若以直角坐标系的原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极 坐标系，则线段 y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( 1 π A．ρ＝ ，0≤θ≤ 2 cos θ＋sin θ π C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ 2 A [∵y＝1－x(0≤x≤1)， )
18高考数学大一轮复习坐标系与参数方程第一节坐标系课件理
x2 y2 即 9 －16＝1 为曲线 C′的方程， 可见经变换后的曲线仍是双曲线， 则所求焦点坐标为 F1(－5,0)，F2(5,0)．
2 2 x y 4．将圆 x2＋y2＝1 变换为椭圆 9 ＋ 4 ＝1 的一个伸缩变换公式
为
X＝axa>0， φ： Y＝byb>0，
求 a，b 的值．
角度单位 (通常取弧度)及 极轴；再选定一个长度单位 、一个__________
其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标
一般地，没有特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实数．
(3)点与极坐标的关系
(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z) 表示同一个 一般地，极坐标(ρ，θ)与__________________
，θ)(θ∈R) ，和直角坐标不 点，特别地，极点 O 的坐标为(0 ____________
同，平面内一个点的极坐标有无数种表示． 如果规定 ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可 用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也 是唯一确定的．
2．极坐标与直角坐标的互化
判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合， 第一步 且极轴与 x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合， 则极坐标方程与直角坐标方程可以互化 通过极坐标方程的两边同乘 ρ 或同时平方构造 ρcos 第二步 θ，ρsin θ，ρ2 的形式，一定要注意变形过程中方程 要保持同解，不要出现增解或漏解 根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式 x＝ρcos θ， 第三步 及 ρ2＝x2＋y2 将极坐标方程转化为直 y＝ρsin θ 角坐标方程
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
x′＝3x， φ： 2y′＝y.
高考数学一轮总复习坐标系与参数方程1坐标系课件理
解 (1)ρ2 － 2 2ρcos θ＋4π － 2 ＝ 0 ， 即 ρ2 － 2ρcosθ＋ 2ρsinθ－2＝0，将xy＝ ＝ρρcsionsθθ， 代入，得曲线 C 的直角坐标 方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，
圆心 C(1，－1)，若直线 l 被曲线 C 截得的弦长最小， 则直线 l 与 OC 垂直，即 kl·kOC＝－1，因而 kl＝1，故直线 l 的直角坐标方程为 y＝x.
(1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的极坐标方程； (2)若射线 θ＝π6(ρ>0)与曲线 C1，C2 分别交于 A，B 两点， 求|AB|.
解 (1)由xy＝ ＝2＋ 7cos7αs， inα， 得xy＝ －2＝ 7cos7αs， inα， 所以曲线 C1 的普通方程为 x2＋(y－2)2＝7. 把 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代入(x－1)2＋y2＝1， 得(ρcosθ－1)2＋(ρsinθ)2＝1， 化简得曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ.
例1
求椭圆x42＋y2＝1，经过伸缩变换xy′ ′＝ ＝12y x，
后
的曲线方程．
[解]
由 x′＝12x， y′＝y，
得到yx＝ ＝y2′ x′. ， ①
将①代入x42＋y2＝1，得4x4′2＋y′2＝1，即 x′2＋y′2
＝1.
因此椭圆x42＋y2＝1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2
核心规律
如何解决极坐标问题
(1)解决极坐标系中的一些问题时，主要的思路是将极坐 标化为直角坐标，在直角坐标系下求解后，再转化为极坐标．
(2)极坐标方程与直角坐标方程互化的核心公式：
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ
ρ2＝x2＋y2， ⇒tanθ＝yxx≠0.
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【例 3】 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标 系,设☉C 的极坐标方程为ρ =2sin θ ,点 P 为☉C 上一动点,点 M 的极坐标为
(4, π ),点 Q 为线段 PM 的中点. 2
(1)求点 Q 的轨迹 C1 的方程;
解:(2)由(1)可知,曲线 C1:ρ=2sin θ即圆 x2+(y-1)2=1,如图所示, 过 P(-1,1)被曲线 C1 截得弦长为 2 的直线有两条:
第十三篇 坐标系与参数方程(选修4—4) 第1节 坐标系
3.常用简单曲线的极坐标方程 曲线
圆心在极点,半径为 r 的圆
圆心为(r,0),半径为 r 的圆
圆心为
r
,
π 2
,半径为
r
的圆
过极点,倾斜角为α 的直线
过点(a,0),与极轴垂直的直线
过点
,
π 2
,与极轴平行的直线
(2)过点 P 被曲线 C1截得弦长为 2 的直线的极坐标方程.
解:设伸缩变换为
x ' y '
x 0, y 0,
由题知
2x2 9
+ 2y2
4
=1,即
3
2
x2+
2
2
y2=1.
与
x2+y2=1
比较系数,得
解:(1)由ρ=2cos θ 得ρ2=2ρcos θ . 所以☉O1的直角坐标方程为x2+y2=2x, 即(x-1)2+y2=1. 由ρ=2asin θ 得ρ2=2aρsin θ . 所以☉O2的直角坐标方程为x2+y2=2ay, 即x2+(y-a)2=a2.
解:法一
设点 P(ρ,θ)为所求直线上一点,该点关于θ=
反思归纳(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只要运用公式x=ρcos θ 及y=ρsin θ 直接代入并化简即可;(2)极坐标方程化为直角坐标方程 时常通过变形,构造形如ρcos θ ,ρsin θ ,ρ2的形式,进行整体代换.其 中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法. 但对方程进行变形时,方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.
由
y2 x, y 1,
得
x y
1, 1.
所以 C1与 C2交点的直角坐标为(1,1).
夯基自测
解析:由变换
x ' 3x,
y
'
2y
得
x
y
x', 3 y', 2
代入直线方程,
得 解析3× :由x3'极-2坐×标y2与' +直 1=角 0,得 坐标x′ 的-互 y′化+1公=0式,即 可变 得换 极后 坐的 标直 系线中方点程(为 2,x-πy+)1对=0应. 的直角 3
直线θ= π (ρ∈R)化为直角坐标方程为 y= 3 x. 3
圆心(0,4)到直线
3 x-y=0 的距离 d=
4
=2.
3 2 12
又 5.圆 给的 出半 下径 列为 命题 4,:故圆上的点到直线距离的最大值是 2+4=6.
①点(3,2)经过伸缩变换
:
3x ' x, 2 y ' y
(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作
为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设 M 是平面内任意一点,它的直
角坐标是(x,y),极坐标为(ρ ,θ ),则它们之间的关系为 x=
,
y=
,由此得ρ 2=
,tan θ = y x 0 .
x
【即时训练】 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐
一条过原点 O,倾斜角为 3π ,直线的直角坐标方 4
程为 y=-x,极坐标方程为θ= 3π (ρ∈R); 4
另一条过点 A(0,2),倾斜角为 π ,直线的直角坐标方程为 y=x+2,极坐 4
标方程为ρ(sin θ-cos θ)=2,即ρsin (θ- π )= 2 . 4
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
坐标为(1, 3 ),直线ρ(cos θ+ 3 sin θ)=6 对应的直角坐标方程为 x+ 3 y
1 3 3 6
=6,由点到直线距离公式可得,所求距离为
=1.
2
12 3
答案:x-y+1=0
解析:圆ρ=8sin θ化为直角坐标方程为 x2+y2=8y,即 x2+(y-4)2=16,
解:由题意,把变换公式代入曲线 y′=3sin(x′+ π )得 6
3y=3sin(2x+ π ),整理得 y=sin(2x+ π ),故 f(x)=sin(2x+ π )ρ. cos θ
ρ
sin
6 θ
6 x2+y2
6
所以 y=f(x)的最小正周期为 2π =π.
2
解析:C1的方程可化为ρ2sin2θ=ρcos θ,即 y2=x, C2的方程可化为 y=1,
解:(1)因为x=ρcos θ ,y=ρsin θ ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ =-2, C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ -4ρsin θ +4=0.
【例 1】 在同一平面直角坐标系中,求一个伸缩变换,使得圆 x2+y2=1 变换为椭
圆 x2 + y2 =1.
9 4 解:(1)由公式
解:(2)M
点的直角坐标为(2,0).N
点的直角坐标为
0,
2
3 3
.
所以
P
点的直角坐标为
1,
3 3
,则
P
点的极坐标为
23 3
,
π 6
,
所以直线 OP 的极坐标方程为θ= π (ρ∈R). 6
【即时训练】 已知☉O1 和☉O2 的极坐标方程分别是ρ =2cos θ 和ρ =2asin θ (a 是非零常数). (1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程;
称点为
P0 (ρ0 ,θ0 ),则
0 ,
π
所以
0
,
π
2
0,
0
2
.
π 4
(ρ∈R)的对
又 P0(ρ0,θ0)在已知直线上,所以ρ=
3 cos
π 2
5
2 sin
π 2
= 3 sin
答案:6
4.(2014高考广东卷)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρ sin2θ =cos θ 和 ρ sin θ =1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直
角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为
.
2.(2015
高考北京卷)在极坐标系中,点
2,
π 3
(2)若两圆的圆心距为 5 ,求 a 的值.
【例1】求直线ρ = 5 关于θ =π (ρ ∈R)对称的直线方程. 3cos2sin 4
反思归纳(1)求曲线的极坐标方程,就是找出动点M的坐标ρ与θ 之间 的关系,然后列出方程f(ρ,θ )=0,再化简并检验特殊点. (2)极坐标方程涉及的是长度与角度,因此列方程的实质是解三角形. (3)极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解,然后再转化为极坐标 方程,注意方程的等价性.
y=sin[2( 1 x)]=sin x 的图象; 2
③正确.极坐标系中,点(2, π )与(2, π +2kπ) (k∈Z)为同一点.
3
3
④错误.极坐标系中,方程ρcos θ=1 表示垂直于极轴的直线.
解:(1)曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,曲线 C3的直角坐标方程为
3
x2+y2-2
图形
极坐标方程 ρ =r
ρ =2rcos θ (- π <θ ≤ π )
2
2
ρ =2rsin θ (0≤θ <π )
θ =α (ρ ∈R) 或θ =π +α (ρ ∈R)
ρ cos θ =a
ρ sin θ =a
知识链条完善 考点专项突破 经典考题研析
知识链条完善 把散落的知识连起来
知识梳理
1.直线
标系.曲线
C 的极坐标方程为ρ
cos
π 3
=1(0≤θ
<2π
),M,N
分别为
C
与
x
轴、y 轴的交点.
(1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M、N 的极坐标;
考点二 极坐标与直角坐标的互化
【例2】 (2015高考新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程;
以
x0 y0
2x, 2y
4,
代入(*)得轨迹
C1 的方程为
x2+
y
5 2 2
=
1 4
.
考点三 简单曲线的极坐标方程及应用