对弧长的曲线积分
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高等数学第十章曲线积分
y x
du PdxQd , (yx, y)G—单连域.
四、两类曲线积分之间的联系
L P d Q x d L (P y co Q sco )ds .s
其中, 为有向曲线弧L在点(x, y) 处的切向量的方向角.
五、对坐标的曲线积分的解题方法
解题方法流程图
I LPdxQdy
Yes
积分与路径无关
代入，从而简化被积函数，然后再计算；对于积分L 2xyds,
由于L关于 y轴对称, 函数 2xy关于 x为奇函数, 故有
L 2xyds0.
解：由奇偶对称性可知 L 2xyds 0, 所以
(2xy3x24y2)ds (2xy12)ds
L
L
2L xyds12Lds
01a2 1a2
注：由于被积函数 f(x, y)定义在曲线 L上, 故 x, y满足曲线L
(0t2);
而
1
d sx2y2d t 2 a(1co t)2s d,(t0t2)
1
故
2
I yd sa (1 co t)s 2 a (1 co t)2d st
L
0
4a2
2
s
in3
t
dt8a2
s
in3 ud
u
0
2
0
16a2
2sin3 udu
32
a2.
0
2
【例2】计算曲线积分 L x2 y2 ds,其中L为圆周 x2 y2 ax.
f (x, y)ds f[(t) ,(t)]2 (t) 2 (t)dt
L
（2）直角坐标：若L:y(x)(x0 xX);则
f (x, y)ds Xf[x,(x)]12(x)dx
L
du PdxQd , (yx, y)G—单连域.
四、两类曲线积分之间的联系
L P d Q x d L (P y co Q sco )ds .s
其中, 为有向曲线弧L在点(x, y) 处的切向量的方向角.
五、对坐标的曲线积分的解题方法
解题方法流程图
I LPdxQdy
Yes
积分与路径无关
代入，从而简化被积函数，然后再计算；对于积分L 2xyds,
由于L关于 y轴对称, 函数 2xy关于 x为奇函数, 故有
L 2xyds0.
解：由奇偶对称性可知 L 2xyds 0, 所以
(2xy3x24y2)ds (2xy12)ds
L
L
2L xyds12Lds
01a2 1a2
注：由于被积函数 f(x, y)定义在曲线 L上, 故 x, y满足曲线L
(0t2);
而
1
d sx2y2d t 2 a(1co t)2s d,(t0t2)
1
故
2
I yd sa (1 co t)s 2 a (1 co t)2d st
L
0
4a2
2
s
in3
t
dt8a2
s
in3 ud
u
0
2
0
16a2
2sin3 udu
32
a2.
0
2
【例2】计算曲线积分 L x2 y2 ds,其中L为圆周 x2 y2 ax.
f (x, y)ds f[(t) ,(t)]2 (t) 2 (t)dt
L
（2）直角坐标：若L:y(x)(x0 xX);则
f (x, y)ds Xf[x,(x)]12(x)dx
L
对弧长的曲线积分
0 2
(2) L : x 2, 0 y 3
21 I (2 y) 0 1dy 0 2
3
x R cos (3) L : , 0 y R sin
I ( R cos R sin ) Rd 2 R 2
0
(4) L : y 1 x, 0 x 1
定理
设 f ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连续, x ( t ), L的参数方程为 ( t )其中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数, 且
L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t )dt
则
ds
( 2 sin )
2
( 2 sin ) d 2d
2
9 2 I 2 d 18 2 0
例6. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2 (x2 y2 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下
它在第一象限部分为
y
(0
ab sin t cos t a 2 sin2 t b 2 cos 2 t dt
a ab 2 2 2 2 2 2 u du ( 令 u a sin t b cos t) 2 b a b
2 0
ab(a ab b ) . 3(a b)
2 2
例2.计算
其中(1) L 是抛物线
xds x , ds
L L
yds y . ds
L L
例7. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解: 建立坐标系如图, 则
(2) L : x 2, 0 y 3
21 I (2 y) 0 1dy 0 2
3
x R cos (3) L : , 0 y R sin
I ( R cos R sin ) Rd 2 R 2
0
(4) L : y 1 x, 0 x 1
定理
设 f ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连续, x ( t ), L的参数方程为 ( t )其中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数, 且
L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t )dt
则
ds
( 2 sin )
2
( 2 sin ) d 2d
2
9 2 I 2 d 18 2 0
例6. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2 (x2 y2 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下
它在第一象限部分为
y
(0
ab sin t cos t a 2 sin2 t b 2 cos 2 t dt
a ab 2 2 2 2 2 2 u du ( 令 u a sin t b cos t) 2 b a b
2 0
ab(a ab b ) . 3(a b)
2 2
例2.计算
其中(1) L 是抛物线
xds x , ds
L L
yds y . ds
L L
例7. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解: 建立坐标系如图, 则
对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分曲线积分是微积分中的一个重要概念，它在物理、工程学以及数学中都有广泛的应用。
本文将重点讨论对弧长的曲线积分，以及其在实际问题中的意义和计算方法。
一、对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分是指在一条曲线上的某个定点到另一定点的路径上，对曲线上的某个物理量在路径上的积分运算。
这个物理量可以是向量场、标量场或者其他更一般的场。
在二维空间中，对弧长的曲线积分可以表示为：∮(Pdx+Qdy)其中，P和Q是曲线上的某个向量场的分量。
在三维空间中，对弧长的曲线积分可以表示为：∮(Pdx+Qdy+Rdz)其中，P、Q和R分别是曲线上的某个向量场的分量。
二、对弧长的曲线积分的意义对弧长的曲线积分可以用于描述物理量在曲线上的累积变化。
例如，在电磁场中，对弧长的曲线积分可以用于计算沿着路径的电场强度变化，从而求解电场对电荷的做功。
此外，对弧长的曲线积分还可以用于计算力场对物体所做的功。
例如，在物体受到重力场作用下沿一条曲线移动时，对弧长的曲线积分可以用于计算重力场对物体的功。
三、对弧长的曲线积分的计算方法对弧长的曲线积分的计算方法与路径的参数化有关。
一般而言，我们需要先将曲线进行参数化，然后根据参数化得到的表达式来计算积分。
在二维空间中，如果曲线的参数化方程为x=t，y=f(t)，那么对弧长的曲线积分可以表示为：∫(P(t)x'(t)+Q(t)y'(t))dt，其中x'(t)和y'(t)分别表示参数化方程的偏导数。
在三维空间中，如果曲线的参数化方程为x=r(t)，y=s(t)，z=g(t)，那么对弧长的曲线积分可以表示为：∫(P(t)r'(t)+Q(t)s'(t)+R(t)g'(t))dt，其中r'(t)，s'(t)和g'(t)分别表示参数化方程的偏导数。
需要注意的是，对弧长的曲线积分的计算过程中，参数化的选取会影响最终的结果。
10.1第一类对弧长的曲线积分
10.1 第一类(对弧长)的曲线积分
例 计算L| y | ds,其中L是右半圆周,即
x2 y2 R2 ( x 0).
解 由曲线L(半圆周A⌒BC如图)的
y
A
方程x2 y2 R2, 得
O
C
ds 1 y2dx
x
2
y2
y
2
dx
|
R y
|
dx
| y | ds ⌒| y | ds ⌒ | y | ds
L1 L2
L1
L2
(对路径具有可加性)
6
10.1 第一类(对弧长)的曲线积分
性质3 设在L上 f ( x, y) g( x, y), 则
L f ( x, y)ds L g( x, y)ds
特别地, 有
L f ( x, y)ds L f ( x, y)ds
性质4(中值定理)若函数 f (x, y)在光滑曲线
或
12
( (
x, x,
y, y,
z) z)
0 0
此时需把它化为参数方程 (选择x, y, z中某一个
为参数), 再按上述方法计算.
18
10.1 第一类(对弧长)的曲线积分
例 求I yds,其中L为y2 2x上自原点到 L
(2,2)的一段.
对x积分?
解 y2 2x x y2 (0 y 2)
10.1 第一类(对弧长)的曲线积分
10.1 第一类(对弧长)的 arc length 曲线积分 line integral
问题的提出 对弧长的曲线积分的概念与性质
对弧长的曲线积分的几何与物理意义 对弧长的曲线积分的计算 小结 思考题 作业
第10章 曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分
n
0 时， (i ，i )si 的极限即为曲线形构件的质量，即 i 1
n
M
lim
0
i 1
(i
，i )si
．
上述例子是通过“分割、近似、求和、取极限”的方法来计算密度不均匀的曲
线形构件质量，对该过程进行提炼，便可得到对弧长的曲线积分的概念．
1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质
2．概念与性质
例，叙述其性质．
1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质
性质 1 设 ， 为常数，则
L[ f (x ，y) g(x ，y)]ds L f (x ，y)ds L g(x ，y)ds ．
性质 2（可加性） 若曲线弧 L 是由两段光滑的曲线弧 L1 和 L2 组成，则
f (x ，y)ds f (x ，y)ds f (x ，y)ds ．
以上定理可推广到空间曲线弧 ．设 的参数方程为
x (t) ，yBiblioteka (t)，(t
)，
z (t) ，
则有
f (x ，y ，z)ds f [(t) ， (t) ，(t)] 2 (t) 2 (t) 2 (t)dt ( ) ．
Γ
这里(t) ， (t) ，(t) 连续且不同时为零．
1.2 对弧长的曲线积分的计算 例 1 计算曲线积分 yds ，其中 L 是抛物线 y x2 上点 O(0 ，0) 与点 B(1，1) 之
L
L1
L2
性质 3 设曲线弧 L 的弧长为 s，则 L ds s ．
性质 4 若在曲线弧 L 上有 f (x ，y) g(x ，y) ，则
L f (x ，y)ds L g(x ，y)ds ，
特别地，有
L f (x ，y)ds L f (x ，y)ds ．
高数下第十一章曲线积分与曲面积分
L:yx2,x从 0变1,到
原式 1(2xx2x22x)dx 0
4 1 x3dx 1. 0
整理课件
y x2
B(1,1)
A(1,0)
23
(2) 化为y的 对积. 分 L:xy2,y从 0变1到 ,
原式 1(2y2y2yy4)dy 0 5 1 y4dx1. 0
( 3 ) 原式 OA2xydxx2dy AB2xydxx2dy
解 记 L所 围 成 的 闭 区 域 为 D,
令 Px2yy2, Qx2 xy2, 则 当 x2y20时 ,有 Q x(x y22 yx22)2 P y.
整理课件
37
y
(1) 当(0,0)D时,
L
xdy ydx
D
由格林公式知 L x2 y2 0 o
x
(2) 当 (0,0) D 时 ,
作 位 于 D 内 圆 周 l:x 2 y 2 r2 , y L
xydx xydx
L
AB
1 y2y(y2)dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
整理课件
B(1,1)
y2 x
A(1,1)
20
例2 计算y2dx,其中 L为 L
(1)半径为 a、圆心为原点、针按方逆向时绕行 的上半圆 ; 周 (2)从点A(a,0)沿x轴到点 B(a,0)的直线. 段
解 (1) L: x y a ascions,
整理课件
28
练习题：
1、 xydx,其中L 为圆周( x a)2 y 2 a 2 (a 0)及 L x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按
逆时针方向绕行)；
2、
(x
L
y)dx ( x x2 y2
对弧长曲线积分课件
对弧长的曲线积分的结果是一个标量， 与积分路径无关，只与起点和终点有 关。
02 对弧长的曲线积分性质
线性性质
总结词
线性性质是指对弧长的曲线积分满足线性运算规则，即对弧长的曲线积分可以按照线性组合进行计算 。
详细描述
对于两个或多个函数的线性组合，其对应的对弧长的曲线积分等于各函数对弧长的曲线积分的线性组 合。即，如果 $f(x) 和 g(x)$ 是定义在同一直线上的函数，那么 $(f(x) + g(x))$ 的对弧长的曲线积分 等于 $f(x)$ 的对弧长的曲线积分加上 $g(x)$ 的对弧长的曲线积分。
要点二
平面曲线的面积
通过计算平面曲线围成的区域的面积，可以利用曲线积分 的方法。这种方法在几何学、物理学等领域有广泛应用。
平面曲线的曲率和挠率
平面曲线的曲率
曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。通过计算弧长曲 线积分，可以得到曲线的曲率。这对于分析曲线的形状 和性质具有重要意义。
平面曲线的挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的变化率，即曲线在某一 点的倾斜程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线 的挠率。这对于研究曲线的全局几何特征具有重要意义 。
积分区间的可加性
总结词
积分区间的可加性是指对弧长的曲线积分可以在不同的区间上分别计算，然后再 相加。
详细描述
如果函数 $f(x)$ 在两个不重叠的区间 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在整个区间 $[a, b] cup [c, d]$ 上的对弧长的曲线积分等于在 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上的对弧长的曲线积分之和。
03 对弧长的曲线积分的应用
平面曲线的长度
总结词
对弧长的曲线积分可以用来计算平面曲线的长度。
02 对弧长的曲线积分性质
线性性质
总结词
线性性质是指对弧长的曲线积分满足线性运算规则，即对弧长的曲线积分可以按照线性组合进行计算 。
详细描述
对于两个或多个函数的线性组合，其对应的对弧长的曲线积分等于各函数对弧长的曲线积分的线性组 合。即，如果 $f(x) 和 g(x)$ 是定义在同一直线上的函数，那么 $(f(x) + g(x))$ 的对弧长的曲线积分 等于 $f(x)$ 的对弧长的曲线积分加上 $g(x)$ 的对弧长的曲线积分。
要点二
平面曲线的面积
通过计算平面曲线围成的区域的面积，可以利用曲线积分 的方法。这种方法在几何学、物理学等领域有广泛应用。
平面曲线的曲率和挠率
平面曲线的曲率
曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。通过计算弧长曲 线积分，可以得到曲线的曲率。这对于分析曲线的形状 和性质具有重要意义。
平面曲线的挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的变化率，即曲线在某一 点的倾斜程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线 的挠率。这对于研究曲线的全局几何特征具有重要意义 。
积分区间的可加性
总结词
积分区间的可加性是指对弧长的曲线积分可以在不同的区间上分别计算，然后再 相加。
详细描述
如果函数 $f(x)$ 在两个不重叠的区间 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在整个区间 $[a, b] cup [c, d]$ 上的对弧长的曲线积分等于在 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上的对弧长的曲线积分之和。
03 对弧长的曲线积分的应用
平面曲线的长度
总结词
对弧长的曲线积分可以用来计算平面曲线的长度。
对弧长和曲线积分
则 f (x, y, z)ds
f ((t) , (t),(t) )
2 (t) 2 (t) 2 (t) d t
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L : y x2 ( 0 x 1)
1
0 x
1
x
1 4x2 dx
0
（k 为常数)
(3) f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds
1
2
( 由
组成)
( l 为曲线弧 的长度)
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4、几何与物理意义
(1) 当( x, y)表示 L的线密度时,
M L ( x, y)ds ;
(2)
o
x
4 4 r cos
r 2 ( ) r2 ( ) d
0
4 4 a2 cos d 0
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例4. 计算曲线积分 线
解: (x2 y2 z2 ) ds
其中为螺旋 的一段弧.
a2 k 2 2 [a2 k 2t 2]d t 0
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 )
解:
d
Fx
k
ds
R2
cos
(x, y)
d
Fy
k
ds
R2
sin
2k sin cos
R
0
Fy
2k R
0
sin
d
2k R
cos
sin
0
故所求引力为 F 4k , 2k
RR
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对弧长的曲线积分
令 v cos u
16a
3
1 1
(1 v 2 ) 2 d v
256 3 a . 15
例
L
( x 2 y 2 ) d s , 其中 L : x 2 y 2 a 2 (a 0) .
解
L 的参数方程为 x a cos t , y a sin t , 0 t 2 .
2 ) L OA AB , 在 OA 上 : y 0 , d s d x ; 在 AB 上 : x 1 , d s d y ,
3 故 x d s x d s x d s x d x 1d y . L OA AB 0 0 2
1 1
例
求
L
| y | d s , 其中 L 为右半单位圆 .
y B(0, 1)
C (1, 0)
O
解 由题意, L : x 2 y 2 1 , x 0 .
由隐函数求导法, 得
x y , y
故
从而,
x
A(0, 1)
ds
x2 y 2 1 1 y d x dx d x. 2 y | y|
x y z . 3 2 1
线段 AO 参数方程为 x 3 t , y 2 t , z t , 0 t 1 .
( x y z ) d s ((3 t )3 (2 t ) 2 t ) 32 22 12 d t
3 2 0
1
31 31 14 t d t 14 . 0 4
化为定积分后, 积分下限小于积分上限 .
例
计算
L
y 2 d s , 其中 L 为摆线 x a (t sin t ) , y a (1 cos t )
第十章 第1节 对弧长的曲线积分
α
β
(α < β )
8
∫
L
f ( x , y )ds = ∫ f [ϕ ( t ),ψ ( t )] ϕ ′2 ( t ) + ψ ′2 ( t )dt
α
β
(α < β )
说明: 说明
y
ds = (dx) +(dy)
2
2 2
2
= φ′ (t ) +ψ′ (t ) dt
o
ds d y dx x x
9
注意: 注意:
1. 定积分的下限 α 一定要小于上限 β ; 2. f ( x , y )中 x , y 不彼此独立 , 而是相互有关的 .
特殊情形
x = x ⇒ y = ψ ( x)
(1) L : y = ψ ( x )
2
a ≤ x ≤ b.
2
′2(x) d x ds = (dx) +(dy) = 1+ψ
α
− α
3
o α
L R x
= ∫ R2 sin2θ (−Rsinθ)2 +(Rcosθ )2 dθ
= R3(α −sinαcosα )
θ θ sin2 = R ∫ sin θdθ = 2R − α − 2 4 0
α
2
3
α
25
五、小结
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
π 2 0
= ab ∫ sin t cos t a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t dt
a ab u 2du (令 = a2 sin2 t +b2 cos2 t ) = 2 u 2 ∫b a −b
β
(α < β )
8
∫
L
f ( x , y )ds = ∫ f [ϕ ( t ),ψ ( t )] ϕ ′2 ( t ) + ψ ′2 ( t )dt
α
β
(α < β )
说明: 说明
y
ds = (dx) +(dy)
2
2 2
2
= φ′ (t ) +ψ′ (t ) dt
o
ds d y dx x x
9
注意: 注意:
1. 定积分的下限 α 一定要小于上限 β ; 2. f ( x , y )中 x , y 不彼此独立 , 而是相互有关的 .
特殊情形
x = x ⇒ y = ψ ( x)
(1) L : y = ψ ( x )
2
a ≤ x ≤ b.
2
′2(x) d x ds = (dx) +(dy) = 1+ψ
α
− α
3
o α
L R x
= ∫ R2 sin2θ (−Rsinθ)2 +(Rcosθ )2 dθ
= R3(α −sinαcosα )
θ θ sin2 = R ∫ sin θdθ = 2R − α − 2 4 0
α
2
3
α
25
五、小结
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
π 2 0
= ab ∫ sin t cos t a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t dt
a ab u 2du (令 = a2 sin2 t +b2 cos2 t ) = 2 u 2 ∫b a −b
对弧长的曲线积分
§10.1 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算
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一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上, 已知曲线形构件在点(x, y)处的线密度为µ(x, y). •把曲线弧L分成n个小段: ∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn(∆si也表示弧长); •任取(ξi, ηi)∈∆si, 得第i小段质量的近似值µ(ξi , ηi)∆si;
∑ f (ξi ,ηi )∆si ;
如果当λ=max{∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn}→0时, 这和的极限总存在, 则 称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分, 记作
i=1 i =1
n
∫L f (x, y)ds ,
即
lim ∫L f (x, y)ds = λ →0 ∑ f (ξi ,ηi )∆si , i =1
M = lim ∑ µ (ξi ,ηi )∆si .
λ →0 i =1
n
n
i =1
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对弧长的曲线积分 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧, 函数f(x, y)在L上有界. 将L任意分成n个小弧段: >>>光滑曲线 ∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn(∆si也表示第i个小弧段的长度); 在每个小弧段∆si上任取一点(ξi, ηi), 作和
L
(3) 当 f ( x, y )表示立于L上的 柱面在点 ( x, y )处的高时,
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算
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一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上, 已知曲线形构件在点(x, y)处的线密度为µ(x, y). •把曲线弧L分成n个小段: ∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn(∆si也表示弧长); •任取(ξi, ηi)∈∆si, 得第i小段质量的近似值µ(ξi , ηi)∆si;
∑ f (ξi ,ηi )∆si ;
如果当λ=max{∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn}→0时, 这和的极限总存在, 则 称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分, 记作
i=1 i =1
n
∫L f (x, y)ds ,
即
lim ∫L f (x, y)ds = λ →0 ∑ f (ξi ,ηi )∆si , i =1
M = lim ∑ µ (ξi ,ηi )∆si .
λ →0 i =1
n
n
i =1
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对弧长的曲线积分 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧, 函数f(x, y)在L上有界. 将L任意分成n个小弧段: >>>光滑曲线 ∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn(∆si也表示第i个小弧段的长度); 在每个小弧段∆si上任取一点(ξi, ηi), 作和
L
(3) 当 f ( x, y )表示立于L上的 柱面在点 ( x, y )处的高时,
对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分
弧长积分，也叫弧长积分法，是一种数学方法，用于计算曲线的积分。
弧长法的基本
思想是将曲线段等分成多个小段，而每个段的弧长都是可以精确计算出来的；经过一定计算，每一小段的弧长就可累计起来，从而计算出和弧线曲线对应的曲线积分值。
弧长法在计算曲线积分时，与定积分法一样，都是要求求解曲线上每个点的弧长。
其原理
是根据曲线函数及其对应的函数曲线上的点，采用数学原理进行连续分段，并求解出两点
之间的弧长，最后把这些离散的曲线弧长相加起来，得出曲线的总弧长，即曲线积分的值。
弧长法作为一种数学计算方法，在很多场合发挥着重要作用，如物流运输中，比如计算公
路交通流量、高速公路环境考察等。
而且，由于可以近似曲线，弧长法还可以计算图形的
积分，应用较为广泛。
归纳起来，弧长法介于定积分法和椭圆曲线积分法之间，可以满足特殊的曲线的积分要求，并且弧长的计算简单而精确，是高等数学中应用最多的方法之一。
高等数学-第一节-对弧长的曲线积分知识讲解
n
mlim 0 i1
f
i,i si,
y •B
• M n1
(i,i)•• M i
• M i1 L
•M2
• M1 •A
o
x
图9-1
定义2 设L为xOy平面内的一条光滑曲线, z = f (x, y)
为L上的连续函数, 用分点M1, M2, …, Mn-1, 把L分成n
小段, 在 Mi-1Mi 上任意取一点(i, i), si表示 Mi-1Mi
的长度, 记 = max{s1, s2, , sn}, 如果
n
mlim 0 i1
f
i,i si,
存在, 则将此极限值称为函数f (x, y)在L上对弧长的曲
线积分, 记为 L f x, yds,
其中, f (x, y)称为被积函数, L称为积分弧段.
定理1 当 f(x, y)在光滑曲线或分段光滑曲线弧L上
1.
线密度为连续函数z = f (x, y),
L
利用分割作和、取极限的方法求
该构件的质量.
o
x
图9-1
在L上取点M1, M2, …, Mn-1 , 把L分成n小段, 在 Mi-1Mi上任
意取一点(i, i), 弧段 Mi-1Mi
的长度为si, 记
= max{s1, s2, , sn}
则该构件的质量为
性质3 将L分成L1 与L2, 则
L fx ,y d s L 1fx ,y d s L 2fx ,y d s 性质4 L ds L0 , 其中L0表示L的长度
性质5 f (x, y) g (x, y), 则
Lfx,ydsLfx,yds
性质6 在L上若设m f (x) M, 则
对弧长的曲线积分
f ( x, y, z)ds f [ (t), (t), (t)] 2(t) 2(t) 2(t)dt
( )
例1 求 L x2 y2 ds, L:x2 y2 4x
解法1 分析：因曲线L的方程关系
y
可直接用来化简被积函数,而
(x, y) r
x2 y2 4x ，
o 2 4x
故可将积分化为对x的定积分.
24 3( 2 sin2 t dt 2 sin4 t dt)
0
0
24 3(1 3 1 ) 3 3 .
22 422 2
五、小结
1.对弧长曲线积分的概念 2.对弧长曲线积分的计算
计算关键：选择合适的参数方程化为定积分,
计算步骤：(1)画弧L (2)将 L 用参数式表示
yx((tt)),. t
24
22
令
x 2 R cost, y x 1 Rsin t,
3
22
则 x 2 R sin t, 3
y 1 R cost x 1 R cost 2 R 1 sin t,
2
22
32
z x y, z2 x2 y2 2xy ,
x2 y2 z2 2(x2 y2 xy) 将x, y代入化简 R2
由 x2 y2 4x 对x求导得
yx
2x y
，
ds
1 yx2 dx
2 y2
dx，利用对称性,即L关于x轴对称,
4
2
I 2 4x dx
0
y2
而被积函数关于y为偶函数 若不用对称性 , 就要分段积分
4
8
x dx
0 4x x2
后再求和 .因L位于 x轴上方的 方程为y 4x x2 ,而下方一
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都有 f (x, y) K.
函数f (x, y)在L上连续： ＞０，＞０，当点(x, y), (x0 , y0 ) L,且 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，总有 f (x, y) f (x0 , y0 ) . (5)可积性．若函数 f (x, y)在有限长光滑曲线 L上连续，则
B,
第i段弧M
i
1
M
的长度记为
i
si
,
(i
1,, n).
n
任取点(i ,i ) M i1M i ,作积分和 I n f (i ,i )si ,并令
max
1in
si
.如果无论如何分割，无论如何i取1 点，极限
n
lim
0
i 1
f (i ,i )si
存在，则称此极限值为 函数f (x, y)在曲线L上的对弧长的曲线
圆关于平面z y对称，关于平面 z x对称,关于平面y x对称,
故 x2ds y 2ds z 2ds 1 (x2 y 2 z 2 )ds 1 a2ds
L
L
L
3L
3L
2 a3.
3
例28.4 计算I L xds,其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
L
L
a
(4)若光滑曲线 L : x x( y), y [c, d], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x( y), x)ds
d
f (x( y), y)
1 x2 ( y)dy.
L
L
c
(5)若光滑曲线 L : r r( ), [, ], f (x, y)在L上连续，则
其中, i [ti1, ti ], i 1,2,, n.
n
L
f (x, y)ds
lim
0
i 1
f (( i ), ( i ))
2 ( i) 2 ( i)ti
一致连续性
n
lim
0
i 1
f (( i ), ( i ))
2 ( i ) 2 ( i )ti
f ((t), (t))
2 (t) 2 (t)dt.
sin 2 cos 2
2
d
2
2a 2 .
例28.5 计算
其中为球面与平面的交线
解: 令X x 1,Y y 1, Z z,则
x2ds (X 1)2ds X 2ds 2 Xds ds
利用例28.3，及对称性，得
四. 小结
1. 概念
n
•
f (x, y)d f (x, y)ds存在．
对空间曲线上的曲线积分有类似的说明．
(6)曲线型构件的质量
（平面曲线L）：质量M L (x, y)ds. （空间曲线）：质量M (x, y, z)ds.
(7)L f (x, y)ds的几何意义．
设f (x, y)在有限长光滑曲线弧 L上连续且非负，以 L为准线，作
,
t
[0,
2
],
ds
x2 y2 dt 3cost sin tdt,
yds
2
sin 3
t
3cost
sin
tdt
3.
L
0
5
2
2
(3)L : x 3 y 3 1对称于x轴，函数 f (x, y) y关于自变量 y是奇
函数，故由对称性，得L yds 0.
(4)L OA AB BO,其中OA : y 0, x [0,1];
注: (1)计算公式中的三个 "迭代": (i) f (x, y) f ((t), (t)),
(ii) ds 2 (t) 2 (t)dt,
(iii) L .
x (t)
(2)对于空间有限长光滑曲 线
:
y
(t),
t
[
,
]
z (t)
上的连续函数 f (x, y, z), 有下列计算公式：
对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算方法
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.光滑可求长曲线
平面曲线L
:
x y
(t)
,
(t)
t
[ ,
],其中函数(t),
(t)
具有连续导数，并且 ２(t) 2 (t) 0.
x (t)
空间曲线
:
y
(t ), t
[
,
z
母线平行于z轴的柱面H，则集合
L~
W (x, y, z) z f (x, y),(x, y) L
o
y
x
的图形是柱面H上位于xoy面上方的一段连续弧L~, 而
L
f (x, y)ds
L
表示柱面 H上介于曲线 L与L~之间的柱面段的面积．
4.性质
设L为平面有限长光滑曲线 弧，f (x, y), g(x, y)在L上都连续．
或 f (x, y, z)ds.
(3)如果L是分段光滑曲线，即 L是由若干段光滑
曲线弧连接成的连续曲 线，例如L L1 L2 ,则规定
A
f (x, y)ds f (x, y)ds f (x, y)ds.
L
L1
L2
Mk Mskk1
(4)函数f (x, y)在L上有界：存在正的常数 K,使对任意的(x, y) L,
函数，则L f (x, y)ds 0.
例如: (i)若L关于x轴对称,且f (x, y) f (x, y),则L f (x, y)ds 0. (ii)若L关于y轴对称,且f (x, y) f (x, y),则L f (x, y)ds 0. (iii)若L关于原点对称,且f (x, y) f (x, y),则L f (x, y)ds 0. (iv)若L关于直线y x对称,则L f (x, y)ds L f ( y, x)ds. 若还有f ( y, x) f (x, y),则L f (x, y)ds 0.
f (x, y, z)ds
f ((t), (t),(t))
2 (t) 2 (t) 2 (t)dt.
(3)若光滑曲线 L : y y(x), x [a,b], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x, y(x))ds
b
f (x, y(x))
1 y2 (x)dx.
L
n
证明:
按定义, 有
f (x, y)ds
L
lim
0
i 1
f (i ,i )si
设第i个分点对应的参数值为 ti , (i 1,2,, n).
点(i ,i )对应的参数值为 i [ti1, ti ], 则
s ti
i
ti 1
积分中值定理
2 (t) 2 (t)dt 2 (ｉ) 2 (ｉ)ti
2
2
(3)L是星形线 x 3 y 3 1;
(4)L是由点A(1,0), O(0,0), B(0,1)构成的三角形．
解:
(1)L
:
x
y
cost ,
sin t
t
[0,
2
], ds
x2 y2 dt dt,
yds 2 sin tdt 1.
L
0
(2)
L
:
x y
c os3 sin 3
t t
],其中函数
(t),
(t
),
z (t)
(t)具有连续导数，并且 ２(t) 2 (t) 2 (t) 0.
2.引例 曲线型构件的质量
设有一曲线型细长构件在平面上所占连续弧段为
L AB,其线密度为 (x, y). 问：该构件的质量为多少？
解决方法: 微积分思想 大化小,常代变,近似和,取极限.
z t
(x, y, z)为该点到z轴距离平方的倒数，求 (1)构件的质量；(2)构件的长度；(3)构件对z轴的转动惯量；
(4)构件的质心；(5)构件对位于点 A(0, )处单位质量的质点的引 力．
解: 采用微元法.
任取上一小弧段 ds，其质量元为
dm
ds
x2
ds y2
,
则
(1)质量M
2
ds
积分，或第一类曲线积分，记作Ｌ f (x, y)ds.并称f (x, y)为被积
函数，称L为积分弧段，ds为弧长元素．
说明:
(1)类似定义空间有限长光 滑曲线弧 AB上的对弧长的曲线积
分
n
lim
0
k 1
f (k ,k , k )sk
f (x, y, z) ds
(k ,k , k )
B
(2)如果L或是封闭曲线，则曲线积分记作L f (x, y)ds
ML
2 2 0
y 1 yds 1
2
sin t 2dt 0,
ML
2 2 0
z 1 zds 1
2
t 2dt 2.
ML
2 2 0
(5)引力F (Fx , Fy , Fz ),其中
Gxdm
Gxds
dFx
r3
,
3
[x2 y2 (z )2]2
dFy
Gydm r3
[x2
Gyds
3
y2 (z )2]2
1
(sin t)2 cos2 t 1dt
L
0 cos2 sin 2 t
2 2 .
(2)长度l ds 2 2dt 2 2 .
L
0
(3)转动惯量I z
(x2 y 2 )ds
L
ds 2
L
2 .
(4)质心(x, y, z), 其中
函数f (x, y)在L上连续： ＞０，＞０，当点(x, y), (x0 , y0 ) L,且 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，总有 f (x, y) f (x0 , y0 ) . (5)可积性．若函数 f (x, y)在有限长光滑曲线 L上连续，则
B,
第i段弧M
i
1
M
的长度记为
i
si
,
(i
1,, n).
n
任取点(i ,i ) M i1M i ,作积分和 I n f (i ,i )si ,并令
max
1in
si
.如果无论如何分割，无论如何i取1 点，极限
n
lim
0
i 1
f (i ,i )si
存在，则称此极限值为 函数f (x, y)在曲线L上的对弧长的曲线
圆关于平面z y对称，关于平面 z x对称,关于平面y x对称,
故 x2ds y 2ds z 2ds 1 (x2 y 2 z 2 )ds 1 a2ds
L
L
L
3L
3L
2 a3.
3
例28.4 计算I L xds,其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
L
L
a
(4)若光滑曲线 L : x x( y), y [c, d], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x( y), x)ds
d
f (x( y), y)
1 x2 ( y)dy.
L
L
c
(5)若光滑曲线 L : r r( ), [, ], f (x, y)在L上连续，则
其中, i [ti1, ti ], i 1,2,, n.
n
L
f (x, y)ds
lim
0
i 1
f (( i ), ( i ))
2 ( i) 2 ( i)ti
一致连续性
n
lim
0
i 1
f (( i ), ( i ))
2 ( i ) 2 ( i )ti
f ((t), (t))
2 (t) 2 (t)dt.
sin 2 cos 2
2
d
2
2a 2 .
例28.5 计算
其中为球面与平面的交线
解: 令X x 1,Y y 1, Z z,则
x2ds (X 1)2ds X 2ds 2 Xds ds
利用例28.3，及对称性，得
四. 小结
1. 概念
n
•
f (x, y)d f (x, y)ds存在．
对空间曲线上的曲线积分有类似的说明．
(6)曲线型构件的质量
（平面曲线L）：质量M L (x, y)ds. （空间曲线）：质量M (x, y, z)ds.
(7)L f (x, y)ds的几何意义．
设f (x, y)在有限长光滑曲线弧 L上连续且非负，以 L为准线，作
,
t
[0,
2
],
ds
x2 y2 dt 3cost sin tdt,
yds
2
sin 3
t
3cost
sin
tdt
3.
L
0
5
2
2
(3)L : x 3 y 3 1对称于x轴，函数 f (x, y) y关于自变量 y是奇
函数，故由对称性，得L yds 0.
(4)L OA AB BO,其中OA : y 0, x [0,1];
注: (1)计算公式中的三个 "迭代": (i) f (x, y) f ((t), (t)),
(ii) ds 2 (t) 2 (t)dt,
(iii) L .
x (t)
(2)对于空间有限长光滑曲 线
:
y
(t),
t
[
,
]
z (t)
上的连续函数 f (x, y, z), 有下列计算公式：
对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算方法
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.光滑可求长曲线
平面曲线L
:
x y
(t)
,
(t)
t
[ ,
],其中函数(t),
(t)
具有连续导数，并且 ２(t) 2 (t) 0.
x (t)
空间曲线
:
y
(t ), t
[
,
z
母线平行于z轴的柱面H，则集合
L~
W (x, y, z) z f (x, y),(x, y) L
o
y
x
的图形是柱面H上位于xoy面上方的一段连续弧L~, 而
L
f (x, y)ds
L
表示柱面 H上介于曲线 L与L~之间的柱面段的面积．
4.性质
设L为平面有限长光滑曲线 弧，f (x, y), g(x, y)在L上都连续．
或 f (x, y, z)ds.
(3)如果L是分段光滑曲线，即 L是由若干段光滑
曲线弧连接成的连续曲 线，例如L L1 L2 ,则规定
A
f (x, y)ds f (x, y)ds f (x, y)ds.
L
L1
L2
Mk Mskk1
(4)函数f (x, y)在L上有界：存在正的常数 K,使对任意的(x, y) L,
函数，则L f (x, y)ds 0.
例如: (i)若L关于x轴对称,且f (x, y) f (x, y),则L f (x, y)ds 0. (ii)若L关于y轴对称,且f (x, y) f (x, y),则L f (x, y)ds 0. (iii)若L关于原点对称,且f (x, y) f (x, y),则L f (x, y)ds 0. (iv)若L关于直线y x对称,则L f (x, y)ds L f ( y, x)ds. 若还有f ( y, x) f (x, y),则L f (x, y)ds 0.
f (x, y, z)ds
f ((t), (t),(t))
2 (t) 2 (t) 2 (t)dt.
(3)若光滑曲线 L : y y(x), x [a,b], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x, y(x))ds
b
f (x, y(x))
1 y2 (x)dx.
L
n
证明:
按定义, 有
f (x, y)ds
L
lim
0
i 1
f (i ,i )si
设第i个分点对应的参数值为 ti , (i 1,2,, n).
点(i ,i )对应的参数值为 i [ti1, ti ], 则
s ti
i
ti 1
积分中值定理
2 (t) 2 (t)dt 2 (ｉ) 2 (ｉ)ti
2
2
(3)L是星形线 x 3 y 3 1;
(4)L是由点A(1,0), O(0,0), B(0,1)构成的三角形．
解:
(1)L
:
x
y
cost ,
sin t
t
[0,
2
], ds
x2 y2 dt dt,
yds 2 sin tdt 1.
L
0
(2)
L
:
x y
c os3 sin 3
t t
],其中函数
(t),
(t
),
z (t)
(t)具有连续导数，并且 ２(t) 2 (t) 2 (t) 0.
2.引例 曲线型构件的质量
设有一曲线型细长构件在平面上所占连续弧段为
L AB,其线密度为 (x, y). 问：该构件的质量为多少？
解决方法: 微积分思想 大化小,常代变,近似和,取极限.
z t
(x, y, z)为该点到z轴距离平方的倒数，求 (1)构件的质量；(2)构件的长度；(3)构件对z轴的转动惯量；
(4)构件的质心；(5)构件对位于点 A(0, )处单位质量的质点的引 力．
解: 采用微元法.
任取上一小弧段 ds，其质量元为
dm
ds
x2
ds y2
,
则
(1)质量M
2
ds
积分，或第一类曲线积分，记作Ｌ f (x, y)ds.并称f (x, y)为被积
函数，称L为积分弧段，ds为弧长元素．
说明:
(1)类似定义空间有限长光 滑曲线弧 AB上的对弧长的曲线积
分
n
lim
0
k 1
f (k ,k , k )sk
f (x, y, z) ds
(k ,k , k )
B
(2)如果L或是封闭曲线，则曲线积分记作L f (x, y)ds
ML
2 2 0
y 1 yds 1
2
sin t 2dt 0,
ML
2 2 0
z 1 zds 1
2
t 2dt 2.
ML
2 2 0
(5)引力F (Fx , Fy , Fz ),其中
Gxdm
Gxds
dFx
r3
,
3
[x2 y2 (z )2]2
dFy
Gydm r3
[x2
Gyds
3
y2 (z )2]2
1
(sin t)2 cos2 t 1dt
L
0 cos2 sin 2 t
2 2 .
(2)长度l ds 2 2dt 2 2 .
L
0
(3)转动惯量I z
(x2 y 2 )ds
L
ds 2
L
2 .
(4)质心(x, y, z), 其中