机械振动(复习1)2010

m
x k
取物块及建立坐标如图
(坐标原点取物块静平衡的位置) 坐标原点取物块静平衡的位置)
F
x
m
m x = mg F = mg k ( x + δ st ) m x = kx 2 + ω n x = 0 x
弹簧振子放置于倾角为 α 的光滑斜面上 的光滑斜面上, 试求其振动方程. 试求其振动方程
δ st
解: 由材料力学的挠度公式
mgl 3 δ st = 3 EI
k 3EI = m ml 3
∴ k=
y
mg
δ st
3 EI = 3 l
2 ωn =
建立坐标如图 振动微分方程为: 振动微分方程为
2 + ω n y = 0 y
+ y
3 EI y=0 3 ml
9
圆盘的中心固结一扭转刚度为GI 圆轴长为l 端固定. 例3. 圆盘的中心固结一扭转刚度为 p = 常数的圆轴 , 圆轴长为 , 其A端固定 已 端固定 知圆盘绕中心的转动惯量为J 圆轴的质量可忽略不计. 试求扭转振动的方程. 知圆盘绕中心的转动惯量为 , 圆轴的质量可忽略不计 试求扭转振动的方程 解: 由材料力学的扭转公式
mgl 3 mg ∴δ = = 48 EI k
k= 48EI l3
mgl 3 δ= 48 EI
l/2
l/2
2 ωn =
k 48 EI = m ml 3
如果δ 如果δ 为已知量
mg =δ k
g k = = ω2 n m δ
14
等效刚度法) 3. 刚度折算法 (等效刚度法)
( a ) 弹簧的串并联
k1δ 0 + k 2 δ 0 = mg Kδ 0 = mg
∵ Tmax = Vmax
∴
1 1 1 2 2 J 0 Φ 2 ω n + m Φ 2 ω n b 2 = k 1b 2 Φ 2 + k 2 c 2 Φ 2 2 2 2
(
)
k1 b 2 + k 2 c 2 ω = J 0 + mb 2
1 1 1 1 2 + m 2 b 2 V = k1b 2 2 + k 2 c 2 2 T = J 0 2 2 2 2 1 1 1 Tmax = J 0 Φ 2 + m Φ 2 b 2 = J 0Φ 2ω 2 + m Φ 2ω 2 b 2 n n 2 2 2
(
)
V max =
1 1 k 1b 2 Φ 2 + k 2 c 2 Φ 2 2 2
2
[
]
δ0 x k
由系统在运动过程的机械能守恒
T +V = C
1 (2m + M )x 2 + 1 kx 2 = C 4 2
mg
两边对时间t求导数 两边对时间 求导数: 求导数
1 (2m + M )xx + kxx = 0 2 2k + x x=0 (2m + M )
2 ωn =
2k 2m + M
1. 建立系统动力学微分方程的标准形式 a.牛顿第二定律及动力学普遍定理 ; b. 达朗伯原理 3. 拉格朗日方程 . 牛顿第二定律及动力学普遍定理 达朗伯原理; 例1. 均质杆 均质杆OA = 3R , 质量为 m , 弹簧的刚度系数为 k , OB = a . 年交通科技大试题) 求: 系统振动的固有频率 . ( 97 年交通科技大试题 解: 选静平衡位置为θ 角的起始位置 选静平衡位置为θ a O k B
ml 2 = mgl ka 2
l
ml + ka + mgl = 0
2 2
ka 2 + mgl + =0 ml 2
ka 2 + mgl ω = ml 2
2 n
注意: 这里, 注意 这里 在静平 衡的位置时, 衡的位置时 弹簧 没有静伸长
a O
k
ml 2 = ka 2
ka 2 + =0 ml 2
x = A sin(ω n t + )
最大势能为
Vmax = 1 KA 2 2
xmax = A
x = Aω n cos(ω n t + ) xmax = Aω n
最大动能为
Tmax = 1 1 2 2 Mx max = MA2ω n 2 2
最大速度(速度振幅 为 最大速度 速度振幅)为 速度振幅
= θ0 , θ
t =0
= θ0
则可求得: 则可求得:
θ02 Θ = θ 02 + 2 ωn
θ 0ω n tg = θ0
或者有: 或者有
θ0 θ = θ 0 cos ω n t + sin ω n t ωn
7
一弹簧振子的物块重量为P, 已知在静力平衡时, 弹簧的伸长为δ 例1. 一弹簧振子的物块重量为 已知在静力平衡时 弹簧的伸长为δst . 试写出 系统的振动微分方程. 系统的振动微分方程 解: 由静力平衡可得
2 x + ωn x = 0
x = A sin(ω n t + )
x = Aω n cos(ω n t + )
x t = 0 = x0 , x t = 0 = x0
x +
2 0 2 ωn
则可求得: 则可求得:
A=
2 x0
x0ω n tg = x0
或者有: 或者有
x = A sin cos ω n t + A cos sin ω n t
x = x0 cos ω n t +
ωn
x0
sin ω n t
6
对于振动微分方程 它的解称为振动方程, 形为: 它的解称为振动方程 形为 速度方程为: 速度方程为 由初始条件
2 θ + ω nθ = 0
θ = Θ sin(ω n t + )
θ = Θω n cos(ω n t + )
θ
t =0
2
1 1 1 1 2 2 x T = m x + MR = (2 m + M ) x 2 2 2 2 4 R
选静平衡的位置为重力和弹力的势能零点. 选静平衡的位置为重力和弹力的势能零点
δ0 x k
1 2 V = mgx + k ( x + δ 0 ) δ 02 2 1 = mgx + kx 2 + kδ 0 x 2
[
]
mg
也可选圆盘转动的角 度为广义坐标. 度为广义坐标. 此题也可用动量矩定理或动 能定理,机械能守恒等来解. 能定理,机械能守恒等来解.
1 2 ∵ 静平衡时 , mg = kδ 0 ∴ V = kx 2
1 (2m + M )x 2 1 kx 2 4 2 d L L 2k + x x=0 由 = 0 可得 dt x x 2m + M L = T V =
mg
静平衡位置
δ st
mx = mg sin α F
mx = mg sin α k ( x + δ st )
x
mg
α
m = mg sin α kx kδ st = kx x
α
2 + ω n x = 0 x
5
对于振动微分方程 它的解称为振动方程, 形为: 它的解称为振动方程 形为 速度方程为: 速度方程为 由初始条件
2 2 l ml = mg 2kl 2 3 2
3 ml 2 = mg l 3kl 2 4 +( 3k 3 g ) = 0 m 4l
解: 由对 B 点的动量矩定理
l l J B = mg + mg kl 2 kl 2 ( + 0 ) 2 2
4
δ st
如果结构为倒置
静平衡位置
由机械能守恒
Tmax = Vmax
1 1 2 MA2ω n = KA 2 2 2
K ω = M
2 n
这里的 K和M 应理解为当量刚度和当量质量 和
16
测振仪的结构简图中, 其下端以弹簧支持, 例6. 测振仪的结构简图中 惯性体质量为 m . 其下端以弹簧支持 弹簧常数为 k1, 杠杆与外壳间以一弹簧相连, 上端铰接在杠杆 AOB 的 B 点, 杠杆与外壳间以一弹簧相连 弹簧常数为 k2. 已知 试求系统的固有频率. 杠杆对 O 点的转动惯量为 J0 . 试求系统的固有频率 单自由度, 解: 单自由度 选广义坐标 k2 B m k1 b A c O 振动方程应为 = Φ sin(ω n t + α )
x
2 ωn =
a
k m
k
O l
θ
mg A
ka 2 + =0 2 ml
ka 2 ω = 2 ml
2 n
2
在铅垂平面内运动. 例2 . 小球的质量为 m , 在铅垂平面内运动 弹簧刚度为 k , 无重杆长为 l . 年交通科技大试题) 求: 系统微幅振动方程 ( 99年交通科技大试题 年交通科技大试题 解: 由对 O 点的动量矩定理 O a k A A mg
15
4. 能量法 能量法:
能量法是从机械能守恒定律出发, 能量法是从机械能守恒定律出发,对于计算较复杂的振动系统的固有频率来 得更为简便的一种方法. 求出ω 得更为简便的一种方法.由 Tmax = Vmax 求出ωn . 用线坐标x表示的自由振动方程是 表示的自由振动方程是: 如: 用线坐标 表示的自由振动方程是 最大位移(振幅 为 最大位移 振幅)为 振幅 速度方程为: 速度方程为
=
∴ kr =
l
Tl GI p
= GI p l
T == k r
T
选广义坐标即是 选广义坐标即是 固有频率为: 固有频率为