2020届高考数学总复习4_6正弦定理与余弦定理课时作业文(含解析)新人教A版

4-6 正弦定理与余弦定理
课时作业 A 组——基础对点练
1．(2019·长沙模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c 等于( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
【解析】∵a 2
＝c 2
＋b 2
－2cb cos A ， ∴13＝c 2
＋9－2c ×3×cos 60°， 即c 2
－3c －4＝0，
解得c ＝4或c ＝－1(舍去)． 【答案】C
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝2π3，a ＝2，b ＝23
3
，则
B 等于( )
A.π3
B.5π
6 C.π6或5π6 D.π6
【解析】∵A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，
∴由正弦定理a sin A ＝b
sin B ，可得 sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝1
2.
∵A ＝2π3，∴B ＝π
6.
【答案】D
3．(2019·哈尔滨模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为3
2
，则C 等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
【解析】∵S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝32
，
即12×3×1×sin A ＝32， ∴sin A ＝1，
由A ∈(0°，180°)，∴A ＝90°，∴C ＝60°.故选C. 【答案】C
4．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2
A ＝2
a ，则b
a
等于( )
A ．23
B ．2 2 C.3D. 2
【解析】(边化角)由a sin A sin B ＋b cos 2
A ＝2a 及正弦定理，得 sin A sin A sin
B ＋sin B cos 2
A ＝2sin A ，
即sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin B
sin A
＝ 2.
【答案】D
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为( )
A.14
B.34
C.
24 D.23
【解析】因为sin A ，sin B ，sin C 成等比数列， 所以sin 2
B ＝sin A sin
C ，由正弦定理得b 2
＝ac ，
又c ＝2a ，故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2
＝34
. 【答案】B
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B ＝
a
sin A
，则cos B
等于( )
A ．－12B.1
2
C ．－
32 D.32
【解析】由正弦定理知
sin B 3cos B
＝
sin A
sin A
＝1，即tan B ＝3，由B ∈(0，π)，所以B ＝π3，所以cos B ＝cos π3＝1
2
，故选B.
【答案】B
7．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－1
4
，则b ＝__________．
【解析】在△ABC 中，由b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2
＝4＋(7－b )2
－2×2
×(7－b )×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14， 整理得15b －60＝0，∴b ＝4. 【答案】4
8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2
＋c 2
－b 2
)tan B ＝3ac ，则角
B 的值为________．
【解析】由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝3
2
，
∴sin B ＝
32，又0<B <π，∴B ＝π3或2π
3
. 【答案】π3或2π
3
9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上．
(1)求角C 的值．
(2)若a 2
＋b 2
＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．
【解析】(1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ，得a (a －b )＋b 2＝c 2
， 即a 2
＋b 2
－c 2
＝ab .
由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1
2
，
结合0<C <π，得C ＝π
3
.
(2)由a 2
＋b 2
＝6(a ＋b )－18，得(a －3)2
＋(b －3)2
＝0， 从而a ＝b ＝3.
所以△ABC 的面积S ＝12×32
×sin π3＝934.
10．在△ABC 中，a 2
＋c 2
＝b 2
＋2ac . (1)求B 的大小．
(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．
【解析】(1)由a 2＋c 2＝b 2
＋2ac ， 得a 2
＋c 2
－b 2
＝2ac .
由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝2
2
.
又0＜B ＜π，所以B ＝π
4.
(2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π
4，
所以C ＝3π4－A ，0＜A ＜3π
4.
所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π4－A
＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π
4sin A
＝2cos A －22cos A ＋2
2
sin A ＝
22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π4.
因为0＜A ＜3π4，所以π4＜A ＋π
4＜π，
故当A ＋π4＝π2，即A ＝π
4时，
2cos A ＋cos C 取得最大值1.
B 组——能力提升练
1．(2019·银川模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC
＝23，a ＋b ＝6，
a cos B ＋
b cos A
c
＝2cos C ，则c 等于( )
A ．27
B ．4
C ．23
D ．3 3 【解析】∵
a cos B ＋
b cos A
c
＝2cos C ，
由正弦定理，
得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ， ∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，
由于0<C <π，sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π
3，
∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝3
4
ab ，∴ab ＝8，
又a ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4或⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝4，
b ＝2，
c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12，
∴c ＝23，故选C. 【答案】C
2．(2019·合肥质检)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ．若a ＝3，则b 2
＋c 2
的取值范围是( )
A ．(3，6]
B ．(3，5)
C ．(5，6]
D ．[5，6]
【解析】由正弦定理可得，(a －b )·(a ＋b )＝(c －b )·c ，即b 2
＋c 2
－a 2
＝bc ，cos A ＝
b 2＋
c 2－a 22bc ＝12，又A ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.∵b sin B ＝c sin C ＝
3sin
π3
＝2，∴b 2＋c 2＝4(sin 2
B ＋sin 2
C )＝4[sin 2B ＋sin 2
(A ＋B )]＝4⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫1－cos 2B 2＋ 1－cos[2（A ＋B ）]2＝3sin 2B －cos 2B ＋4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋4.∵△ABC 是锐角三角形，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，即2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，
∴12＜sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2B －π6≤1，∴5＜b 2＋c 2
≤6.故选C.
【答案】C
3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若
a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________．
【解析】由正弦定理
a sin A ＝b
sin B
，
可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π
3
.
由余弦定理得a 2
＝16＝b 2
＋c 2
－2bc cos A
＝(b ＋c )2
－3bc ≥(b ＋c )2
－3⎝ ⎛⎭
⎪
⎫b ＋c 22
，
则(b ＋c )2
≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.
【答案】12
4．在△ABC 中，若AB ＝4，AC ＝7，BC 边的中线AD ＝7
2
，则BC ＝________．
【解析】如图所示，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，EC .因为AD 是BC 边上的中线，所以AE 与BC 互相平分，所以四边形ACEB 是平行四边形，所以BE ＝AC ＝7.又AB ＝4，AE ＝2AD ＝7，所以在△ABE 中，由余弦定理得，AE 2
＝49＝AB 2
＋BE 2
－2AB ·BE ·cos ∠ABE ＝AB 2
＋
AC 2－2AB ·AC ·cos ∠ABE .
在△ABC 中，由余弦定理得，
BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos(π－∠ABE )，
∴49＋BC 2
＝2(AB 2
＋AC 2
)＝2(16＋49)， ∴BC 2
＝81，∴BC ＝9. 【答案】9
5．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，
b ＝2.
(1)求c .
(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 【解析】(1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.
在△ABC 中，由余弦定理，得28＝4＋c 2
－4c ·cos 2π3，
即c 2
＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4. (2)由题设可得∠CAD ＝π
2，
所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝
π6
. 故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为12AB ·AD ·sin π6
1
2AC ·AD ＝1.
又△ABC 的面积为1
2
×4×2sin ∠BAC ＝23，
所以△ABD的面积为 3.。