新北师大版高一数学必修一期末测试卷一(含详细解析)

新北师大版高一必修一期末测试卷（共2套 附解析）
综合测试题(一)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·全国卷Ⅰ理，1)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝
( )
A ．(－3，－32)
B ．(－3，3
2)
C ．(1，3
2
)
D ．(3
2
，3)
2．(2015·湖北高考)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6
x －3 的定义域( )
A ．(2,3)
B ．(2,4]
C ．(2,3)∪(3,4]
D ．(－1,3)∪(3,6]
3．下列各组函数，在同一直角坐标中，f (x )与g (x )有相同图像的一组是
( )
A ．f (x )＝(x 2)1
2
，g (x )＝(x 1
2 )2
B ．f (x )＝x 2－9
x ＋3
，g (x )＝x －3
C ．f (x )＝(x 1
2 )2，g (x )＝2log 2x
D ．f (x )＝x ，g (x )＝lg10x
4．函数y ＝ln x ＋2x －6的零点，必定位于如下哪一个区间( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4)
D ．(4,5)
5．已知f (x )是定义域在(0，＋∞)上的单调增函数，若f (x )>f (2－x )，则x 的取值范围是
( )
A ．x >1
B ．x <1
C ．0<x <2
D ．1<x <2
6．已知x 12 ＋x －12
＝5，则x 2＋1
x
的值为( )
A ．5
B ．23
C ．25
D ．27
7．(2014·山东高考)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图，则下列结论成立的是( )
A ．a >1，c >1
B ．a >1,0<c <1
C ．0<a <1，c >1
D ．0<a <1,0<c <1
8．若函数f (x )＝3x ＋3－
x 与g (x )＝3x －3－
x 的定义域均为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数 B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数 C ．f (x )与g (x )均为奇函数 D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数
9．(23)2
3 ，(25)23 ，(23)1
3 的大小关系为 ( )
A ．(23)13 >(25)23 >(23)23
B ．(25)23 >(23)13 >(23
)2
3 C ．(23)23 >(23)13 >(25
)23
D ．(23)13 >(23)23 >(25
)23
10．已知函数f (x )＝log 12 x ，则方程(1
2)|x |＝|f (x )|的实根个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2006
11．若偶函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中，成立的是
( )
A ．f (－3
2)<f (－1)<f (2)
B ．f (－1)<f (－3
2)<f (2)
C ．f (2)<f (－1)<f (－3
2)
D ．f (2)<f (－3
2
)<f (－1)
12．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点
为“好点”，在下面的五个点M (1,1)，N (1,2)，P (2,1)，Q (2,2)，G (2，1
2)中，“好点”的个
数为（ )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．若已知A ∩{－1,0,1}＝{0,1}，且A ∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}，则满足上述条件的集合A 共有________个．
14．(2014·浙江高考)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x >0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.
15．用二分法求方程x 3＋4＝6x 2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
16．函数y ＝log 13
(x 2－3x )的单调递减区间是________
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设全集U 为R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，求A ∪B . 18．(本小题满分12分)
(1)不用计算器计算：log 327＋lg25＋lg4＋7log 72＋(－9.8)0 (2)如果f (x －1x )＝(x ＋1
x
)2，求f (x ＋1)．
19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－3x 2＋2x －m ＋1. (1)当m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点； (2)若函数恰有一个零点在原点处，求m 的值．
20．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，并且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x .
(1)求f (log 21
3)的值；
(2)求f (x )的解析式．
21．(本小题满分12分)(2015·上海高考)已知函数f (x )＝ax 2＋1
x ，其中a 为常数
(1)根据a 的不同取值，判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)若a ∈(1,3)，判断函数f (x )在[1,2]上的单调性，并说明理由．
22．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝a x －1.其中
a >0且a ≠1.
23．(1)求f (2)＋f (－2)的值； (2)求f (x )的解析式；
(3)解关于x 的不等式－1<f (x －1)<4，结果用集合或区间表示．
一．选择题 1.[答案] D
[解析] A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2x －3>0}＝{x |x >3
2}．
故A ∩B ＝{x |3
2<x <3}．故选D.
2.[答案] C
[解析] 由函数y ＝f (x )的表达式可知，函数f (x )的定义域应满足条件：⎩⎪⎨⎪
⎧
4－|x |≥0，x 2
－5x ＋6x －3
>0
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
－4≤x ≤x
x >2且x ≠3
.即函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3,4]，故应选C.
3.[答案] D
[解析] 选项A 中，f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为[0，＋∞)；选项B 中，f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(－3，＋∞)，g (x )的定义域为R ；选项C
中，f (x )＝(x 1
2 )2＝x ，x ∈[0，
＋∞)，g (x )＝2log 2x ，x ∈(0，＋∞)，定义域和对应关系都不同；选项D 中，g (x )＝lg10x ＝x lg10＝x ，故选D.
4.[答案] B
[解析] 令f (x )＝ln x ＋2x －6，设f (x 0)＝0， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0， 又f (2)＝ln2－2<0，f (2)·f (3)<0， ∴x 0∈(2,3)． 5.[答案] D
[解析] 由已知得⎩⎨⎧
x >0
2－x >0
x >2－x
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
x >0x <2x >1
，
∴x ∈(1,2)，故选D.
6.[答案] B
[解析] x 2＋1x ＝x ＋1
x
＝x ＋x －1
＝(x 1
2
＋x －1
2
)2－2
＝52－2＝23. 故选B. 7.[答案] D
[解析] 本题考查对数函数的图像以及图像的平移．
由单调性知0<a <1.又图像向左平移，没有超过1个单位长度．故0<c <1，∴选D. 8.[答案] B
[解析] f (x )＝3x ＋3－x 且定义域为R ，则f (－x )＝3－x ＋3x ，∴f (x )＝f (－x )，∴f (x )为偶函数． 同理得g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数．故选B. 9.[答案] D
[解析] ∵y ＝(23)x 为减函数，13<23
，
∴(23)13 >(23)2
3 . 又∵y ＝x 23
在(0，＋∞)上为增函数，且23>2
5
，
∴(23)23 >(25
)23 ， ∴(23)13 >(23)23 >(2
5
)23 .故选D. 10.[答案] B
[解析] 在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝(1
2)|x |及y ＝|log 12
x |的图像如图所示，易得
B.
11.[答案] D
[解析] ∵f (x )为偶函数，∴f (2)＝f (－2)．
又∵－2<－3
2<－1，且f (x )在(－∞，－1)上是增函数，
∴f (2)<f (－3
2)<f (－1)．
12.[答案] C
[解析] ∵指数函数过定点(0,1)，对数函数过定点(1,0)且都与y ＝x 没有交点， ∴指数函数不过(1,1)，(2,1)点，对数函数不过点(1,2)，∴点M 、N 、P 一定不是好点．可验证：点Q (2,2)是指数函数y ＝(2)x 和对数函数y ＝log 2x 的交点，点G (2，1
2)在指数函数y
＝(
22
)x
上，且在对数函数y ＝log 4x 上．故选C. 二．填空题 13.[答案] 4
[解析] ∵A ∩{－1,0,1}＝{0,1}， ∴0,1∈A 且－1∉A .
又∵A ∪{－2,0,2}＝{－2,0,1,2}， ∴1∈A 且至多－2,0,2∈A . 故0,1∈A 且至多－2,2∈A .
∴满足条件的A 只能为：{0,1}，{0,1,2}，{0,1，－2}，{0,1，－2,2}，共有4个． 14.[答案]
2
[解析] 此题考查分段函数、复合函数，已知函数值求自变量． 令f (a )＝t ，则f (t )＝2. ∵t >0时，－t 2<0≠2，∴t ≤0. 即t 2＋2t ＋2＝2，∴t ＝0或－2.
当t ＝0时，f (a )＝0，a ≤0时，a 2＋2a ＋2＝0无解． a >0时，－a 2＝0，a ＝0无解．
当t ＝－2时，a ≤0，a 2＋2a ＋2＝－2无解 a >0时－a 2＝－2，a ＝ 2. 15.[答案] (1
2
，1)
[解析] 设f (x )＝x 3－6x 2＋4， 显然f (0)>0，f (1)<0， 又f (12)＝(12)3－6×(1
2
)2＋4>0，
∴下一步可断定方程的根所在的区间为(1
2，1)．
16. [答案] (3，＋∞)
[解析] 先求定义域，∵x 2－3x >0，∴x >3或x <0， 又∵y ＝log 13
u 是减函数，且u ＝x 2－3x .
即求u 的增区间．∴所求区间为(3，＋∞)． 三．解答题
17.[解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}， ∴2∈B,2∉A,4∈A,4∉B ，根据元素与集合的关系，
可得⎩⎪⎨⎪⎧ 42＋4p ＋12＝022－10＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
p ＝－7，q ＝6.
∴A ＝{x |x 2－7x ＋12＝0}＝{3,4}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，经检验符合题意． ∴A ∪B ＝{2,3,4}．
18.[解析] (1)原式＝log 333
2 ＋lg(25×4)＋2＋1
＝32＋2＋3＝132. (2)∵f (x －1x )＝(x ＋1x
)2
＝x 2＋1x 2＋2＝(x 2＋1x 2－2)＋4＝(x －1
x )2＋4
∴f (x )＝x 2＋4，∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋4＝x 2＋2x ＋5.
19.[解析] (1)函数有两个零点，则对应方程－3x 2＋2x －m ＋1＝0有两个根，易知Δ>0， 即Δ＝4＋12(1－m )>0，可解得m <43；
Δ＝0，可解得m ＝43；Δ<0，可解得m >4
3.
故m <4
3
时，函数有两个零点；
m ＝43时，函数有一个零点；m >4
3时，函数无零点．
(2)因为0是对应方程的根，有1－m ＝0，可解得m ＝1.
20.[解析] (1)因为f (x )为奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x ， 所以f (log 21
3)＝f (－log 23)＝－f (log 23)
＝－2log 23＝－3.
(2)设任意的x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)， 因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x ，所以f (－x )＝2－x ， 又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x ， 即当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－2－x ； 又因为f (0)＝－f (0)，所以f (0)＝0，
综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ，x >0
0，x ＝0
－2－x
，x <0
.
21.[解析] (1)f (x )的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，关于原点对称， f (－x )＝a (－x )2＋1－x ＝ax 2－1
x ，
当a ＝0时，f (－x )＝－f (x )为奇函数，
当a ≠0时，由f (1)＝a ＋1，f (－1)＝a －1，知f (－1)≠－f (1)，故f (x )即不是奇函数也不是偶函数．
(2)设1≤x 1<x 2≤2，则
f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 2
1－1x 1＝(x 2－x 1)[a (x 1＋x 2)－1x 1x 2]， 由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4,1＜x 1x 2＜4， －1<－1x 1x 2<－14，又1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，
得a (x 1＋x 2)－1
x 1x 2
＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，
即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增． 23.[解析] (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－2)＝－f (2)，即f (2)＋f (－2)＝0. (2)当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝a －x －1.
由f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )， ∵f (－x )＝a －x －1，∴f (x )＝－a －x ＋1(x <0)．
∴所求的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
a x －1(x ≥0)
－a －x ＋1(x <0)
.
(3)不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧
x －1<0
－1<－a －x ＋1＋1<4
或⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0
－1<a x －1
－1<4
，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x －1<0－3<a －x ＋1<2或⎩⎪⎨⎪⎧
x －1≥00<a x －1
<5
.
当a >1时，有⎩⎨⎧ x <1x >1－log a 2或⎩
⎨⎧
x ≥1x <1＋log a 5
注意此时log a 2>0，log a 5>0，
可得此时不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)． 同理可得，当0<a <1时，不等式的解集为R . 综上所述，当a >1时，
不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)； 当0<a <1时，不等式的解集为R .。