点线面PPT课件

k●
平投影积聚成一个点，故
a
●1(2) c 交点K的水平投影也积聚在
n
该点上。
b
作图
k
m(n●2)
c
① 求交点
用面上取点法
●
a
1
② 判别可见性
点Ⅰ位于平面上，在前；
点Ⅱ位于MN上，在后。
故k2为不可见。
51
2) 两平面相交
两平面相交其交线为直线，交线是两平面 的共有线，同时交线上的点都是两平面的共 有点。
解法一：
b
解法二：
d
b
m●
n
●
c
c
a
a
m● a
b n● c
b d
a c
有多少解？
有无数解！
38
例：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距离为10mm。
a
有多少解？
m
n
c
唯一解！
b
ห้องสมุดไป่ตู้
10
b
c
n
m
a
39
2) 平面上取点
面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面上的一条直线作为辅 助线，然后再在该直线上确定点的位置。
O
Y
ay
V a
●
X ax
Z
az
A
●
O
●a W
a●
Y ay
点的投影规律:
a●
H
ay
Y
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴 ② aax= aaz =y=Aa（A到V面的距离）
aay= aaz =x=Aa（A到W面的距离） aax= aay =z=Aa（A到H面的距离） 6
7
8
重影点：
空间两点在某一 投影面上的投影重 合为一点时，则称 此两点为该投影面 的重影点。
被挡住的投 影加( )
a●
●a
c●
●c
a ●(c )
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
9
10
3.2 直线的投影
两点确定一条直线，将两 点的同名投影用直线连接，
a● b
●
●a ●b
就得到直线的同名投影。
1. 直线的投影特性
a●
1) 直线对一个投影面的投影特性 b●
A●
B
●B
●
M●
A●
A●
B●
●
a≡b≡m
又因 BC∥bc 故 bc ⊥ABba平面
因此 bc⊥ab 即 ∠abc为直角
b
.
a
c
直线在H面上的
27
投影互相垂直
例：过C点作直线与AB垂直相交。
a . d
c●
AB为正平线, 正 面投影反映直角。
b
c●
a
d
b
28
29
3.3 平面的投影
1. 平面的表示法
c
●
c
●
c
●
●c
c
●
a●
a●
a●
d a●
●
解决办法？
采用多面投影。
2
2. 点的三面投影
投影面
◈ 正面投影面（V 面） V ◈ 水平投影面（H 面） X ◈ 侧面投影面（W 面）
投影轴
◈ OX轴 V 面与H 面的交线 ◈ OY轴 H 面与W 面的交线 ◈ OZ轴 V 面与W 面的交线
Z
OW
H
Y
三个投影面
互相垂直
3
空间点A在三个投影面上的投影
相互平行，则它们具 有积聚性的那组投影 必相互平行。
a c
e
d ac b e
e
f
f e
f
h
h f
47
例：判断平面ABDC与平面EFHM是否平行， 已知AB∥CD∥EF∥MH
a
c
m
e
k
b X
b
a c
d f
h
由于ek不 O 平行于ac,
d
f
故两平面 h 不平行。
k
e
m
48
2. 相交问题
直线与平面相交 平面与平面相交 1)直线与平面相交
●b a●
●b a●
直线垂直于投影面 直线平行于投影面 直线倾斜于投影面
投影重合为一点 投影反映线段实长 投影比空间线段短
积聚性
ab=AB
ab=ABcos11
2) 直线在三个投影面中的投影特性
其投影特性取决于直线与三个投影面间的相 对位置。
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
正平线（平行于Ｖ面）
直线与平面相交，其交点是直线与平面
的共有点。
要讨论的问题：
●
●
● 求直线与平面的交点。
● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。
我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊49 位置的情况。
例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
⑴ 平面为特殊位置
空间及投影分析
b
n 平面ABC是一铅垂面，
a 点A的正面投影 V
Z
a 点A的水平投影
a●
A
X
●
a 点A的侧面投影
● a
OW
a●
H
Y
注意：
空间点用大写字母
表示，点的投影用
小写字母表示。
4
投影面展开
V a
●
X ax
a●
H
Z
W
az
a
●
不动
V
a●
Z 向右翻
az
O
ay
A Y X ax ●
●a
OW
ay
a●
ay
Y
H
Y
向下翻
5
a●
X ax
Z az a ●
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的
投影轴平行的直线。
34
⑶ 一般位置平面
b b
c
c
a
a
b
a c
投影特性： 三个投影都类似。
35
例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水 平投影及顶点B的正面投影，求△ABC的正
面投影及侧面投影。
c
c
a
a
b● 45°
b
a
c a A
B
D
C a
c
b
d
H
d b
c a
X
O
a
c
b
d
空间两直线平行，则其各同名投影必相 20 互平行，反之亦然。
例：判断图中两条直线是否平行。
① b
d
a c
ac
②
b c
d
a
d b c
b
da
b d a c
c a
d b
AB与CD平行。
对于一般位置直线， 只要有两组同名投影互 相平行，空间两直线就 平行。
要讨论的问题：
(1) 求两平面的交线 方法：① 确定两平面的两个共有点。 ② 确定一个共有点及交线的方向。
(2) 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。
只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的 52
情况。
例：求两平面的交线
MN并判别可见性。
⑴ a
b
m(n)
●
e
f c
d
a d 如何判别？ b
V
b
B b
a
βγ
W
Ab
a
aH
Z
b
b
a
a
X
O
Y
b
a
Y
投影特性：
三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并
不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投
影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的
实长。
16
2. 直线与点的相对位置
V
b′ c′ B
a′
C
b″ c″W
Ac b
a″
aH
b′ Z c′ a′
X
O
例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
①
b
k●
c
a
a
●
k
b
c
利用平面的积聚性求解
②
b d
k
●
c
a
bd
a
●k
c
通过在面内作辅助线求解40
例：已知AC为正平线，补全平行四边 形ABCD的水平投影。
解法一：
b
解法二： b
a
k
c a
c
d
d
d
d
a
k
ca
c
b
b
41
例：在△ABC内取一点M，并使其到H面和 V面的距离均为10mm。
a●
●
● b
● b
● b
●b
●b
●b
●b
●b
●b
●b
a●
a●
a●
●d a●
a●
●c
●c
●c
●c
●c
不在同一 直线上的 三个点
直线及 线外一 点
两平行直 两相交
线
直线
平面 图形
30
2. 平面的投影特性
1) 平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
倾斜
投影特性：
★平面平行投影面——投影就把实形现 ★平面垂直投影面——投影积聚成直线 ★平面倾斜投影面——投影类似原平面
实形性 积聚性
类似性
31
2) 平面在三投影面体系中的投影特性
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
正垂面
投影面垂直面 侧垂面
铅垂面
特殊位置平面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
正平面
投影面平行面 侧平面
水平面
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
32
⑴ 投影面垂直面
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）
统称特殊位置直线
正垂线（垂直于Ｖ面）
垂直于某一投影面 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
与三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线 12
⑴ 投影面平行线
水平线
V
a′ Aβ
b′
γ
a″
B b″W
a βγ b
H
Z a ′ b ′ a ″ b″
c b
思考：此题有几个解？
36
3. 平面上的直线和点
1) 平面上取任意直线
位于平面上的直线应满足的条件：
⑴ 若一直线过平面上的两 点，则此直线必在该平 面上。
N
M
●
●
⑵ 若一直线过平面上的一
点且平行于该平面上的
B
另一直线，则此直线在 该平面上。
A M
●
37
例：已知平面由直线AB、AC所确定，在
平面内任作一条直线。
k
a
1(2) ● ●
m
其水平投影积聚成一条直 线，该直线与mn的交点即
c 为K点的水平投影。
m a
●2
●
●
1
b
k
作图
用线上
c
① 求交点
取点法
② 判别可见性
n
由水平投影可知，K N段在平面前，故正面
投影上kn为可见。 50
还可通过重影点判别可见性。
⑵ 直线为特殊位置
b m
空间及投影分析
直线MN为铅垂线，其水
c●
k
a
b
d
a
k c●
d
b
先作正面投影
23
例：判断直线AB、CD的相对位置。
c′ b′
a′ d′
a
d
b c
相交吗？ 不相交！ 为什么？
交点不符合空 间一个点的投影 特性。
判断方法？ ⒈ 应用定比定理 ⒉ 利用侧面投影24
3) 两直线交叉
b′
c′ d′
a′
X
O
a
d
c
b
V c′ a′ AC a
c
b′ d′
3.1 点的投影
3.2 直线的投影
3.3 平面的投影
3.4 直线与平面及两平面的
相对位置
本章小结
结束放映 1
3.1 点的投影
1. 点在一个投影面上的投影
P
过空间点A的投射线与 投影面P的交点即为点A在 A●
● a
P面上的投影。
点在一个投影面上的 投影不能确定点的空间 位置。
P
B1
B2 ●
B3 ●
● b
e
n
●
c
●m
f
可通过正面投影 直观地进行判别。
空间及投影分析
B D
d bH
两直线相交吗？不相交！
为什么？交点不符合一个点的投影规律！ 25
V
b′
1′
c′
3′(4′) ●
●
●
d′
a′
2′ Ⅳ Ⅰ ●
B
●
A C D ●Ⅲ●Ⅱ
a
●4
d
●
c
●
3
1(2)
b
H
c′
3 ′(4′)
●
1′
● ●
2′
a′
X
a
●4
●
c
●
3
1(2)
b′ d′
O
d b
投影特性：
★ 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空
a
m ●
d
e c
10
b
X
O
a
10
d
●
e
m
b
42
c
43
3.4 直线与平面及两平面的相对位置
相对位置包括平行、相交和垂直。 1. 平行问题
包 括
1) 直线与平面平行
直线与平面平行 平面与平面平行
若平面外的一直线平行于平面内 的某一直线，则该直线与该平面平行。
44
例：过点M作直线MN平行于平面ABC。
X
O
Y
a βγ
实长 b Y
投影特性：
①在其平行的那个投影面 上的投影反映实长，并 反映直线与另两投影面 倾角的实大。
②另两个投影面上的投影 平行于相应的投影轴， 其到相应投影轴距离反 映直线与它所平行的投 影面之间的距离。
13
判断下列直线是什么位置的直线？
正平线
侧平线
实长 a
a
a
a 实长
γ
β
b
b
类似性
b
b
类似性
c c
a
a
积聚性
βc
b
γ
a
铅垂面
投影特性： 在它垂直的投影是平为面什面什么？上么位的置？投的影积聚成直线。该
直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投
影面夹角的大小。 33 另外两个投影面上的投影为类似形。
⑵ 投影面平行面
积聚性
a b
c a c b 积聚性
a
实形性
c
b
投影特性：
水平面
b
b
a
b
a
b
直线与投影面夹角的表示法：
与H面的夹角: 与V面的角:β