电动力学教程 第7章 导行电磁波

对于TEM波，λc=∞，
0 g r r
7.2 矩形波导
矩形波导的结构如图所示，假定其内的填充介质为理想
介质。矩形波导内只能传播TE波或TM波而不能传播TEM波。 7.2.1 矩形波导中的TM波
2 Ez 2 Ez 2 k c Ez 0 2 2 x y
Ez ( x, y ) X ( x)Y ( y )

1 2
m n a b
2
2
截止波长
c

fc

2 m n a b
2 2
式中 v 1/ 为无限大介质中的电磁波的波速。
截止状态
当工作频率低于截止频率时，即 f < fc，γ为正实数，此
3. 横磁波(TM波)
7.1.1 横电磁波(TEM波)
根据纵横关系，横向场分量不为0的条件是
2 γTEM k2 0
即
γTEM jk jω με
定义 ：导行波的波阻抗 Z
导波系统中，沿波的传播方向构成右手螺旋关系的横 向电场和横向磁场之比，即 x
Ey Ex Z Hy Hx
z
y
m n kc k k a b
2 x 2 y
在矩形波导中TE波的传输常数为
2 2 kc2 k 2 k x ky k2
m n 2 a b
2
2
(2) 当y=0时，Ez=0，
Ez c2c3 sin kx x 0
欲使上式对所有 x值都成立，则c3应为零。此时c2不能为零， 因为若c2等于零，则Ez在非边界处也恒为零，这与TM波的 情况不符，因此只能取c3等于零。
Ez c2c4 sin k x x sin k y y Em sin k x x sin k y y
2
2
(m,n 均不为0 )
在矩形波导中TM波的传输常数为
2 2 kc2 k 2 k x ky k2
m n 2 a b
当传输常数γ=0所对应的频率为截止频率fc，且截止频率为
2
2
fc
kc 2
(3) 当x=a时，Ez=0
Ez Em sin kxa sin k y y 0
欲使上式对所有y值都成立，kx必须满足下面关系：
m kx ( m 1,2,3,...) a
这里m不能等于零，否则kx=0，则Ez恒等于 零，这不符合TM波的定义。
m E z Em sin x sin k y y a
截止条件为
f fc或 c
对于TEM波，由于kc=0，即fc=0，λc=∞，因此在任何频率下， TEM都能满足f >fc=0的传输条件，均是传输状态。也就是说 TEM波不存在截止频率。
7.1.5 波导波长 g

2
g
或 g
2

2 c 2
在传输状态下，γ=jβ，
k k k k 1 k
频率的不同，γ2 可能有下述三种情况： (1) γ2<0， 即γ=jβ。此时导行波的场为
j (t z ) E E(x,y)e
“导通状态”
(2) γ2 >0，即γ=α。此时导行波的场为
E E(x, y)eaze jt
显然这不是传输波，而是沿z轴以指数规律衰减的，称其为 截止状态。 (3) γ=0。这是介于传输与截止之间的一种状态，称其为临 界状态， 它是决定电磁波能否在导波系统中传输的分水岭。
TEM波的波阻抗
Ex Z TEM H y j
（利用教材中式7.1.4b或7.1.4d式） 电场与磁场的关系（式7.1.4d、7.1.4e）
H
1 ZTEM
ˆz E e
导波系统中TEM波的传播特性和无界空间中均 匀平面波的传播特性相同。
7.1.2 横磁波(TM波)
2 2 c 2
2
2
或写成
fc k 1 f

v
2
(k )
电磁波在矩形波导中的相速度vp为
vp fc 1 f
2

v 1 c
2
v
波导波长λg为
g
vp f

2



fc 1 f
d2X d 2Y 2 Y X k c XY 2 2 dx dy
上式两边除以XY，得
2 d Y d X 2 2 dy dx kc2 X Y 2
这里的x和y是互不相关的独立变量。欲使上式对任意x和y值
都成立，只有等式左边的两项分别等于常数。因此，可令
1 d2X 2 k x, 2 X dx
第7章 导行电磁波
导波系统
导行波(Guided Waves)
常见的导波系统
光 纤
平 面 光 波 导
导波系统中电磁波的传播问题属于电磁场
边值问题，即在给定导波系统边界条件下求解波动方程， 得到导波系统中的场分布和波的传播特点 。
7.1 导行电磁波概论
讨论“均匀”导波系统。所谓“均匀”是指在垂直于波 的传播方向上，导波系统的横截面一样。令电磁波的传播 方向为z方向(导波系统的纵向)，则波导内的电场和磁场分 布只和横向坐标x、y有关，与纵向坐标z无关，即
且
其解
1 d 2Y 2 k y 2 Y dy
2 c
k k k
2 x 2 y
X c1 cosk x x c2 sin k x x Y c3 cosk y y c4 sin k y y
于是Ez的通解是
Ez (c1 coskx x c2 sin kx x)(c3 cosk y y c4 sin k y y)
2


1 c
2
其中 λ v f 是无限大介质空间中的波长。
7.2.2 矩形波导中的TE波
H z Hm coskx x cosk y yeγz
Hx Hy

k
kc
2 c
z k H sin k x cos k ye m x y 2 x z
k y H m cosk x x sin k y ye
解之可得波导内场的横向分量和纵向分量之间的关系：
1 H z E z Hx 2 γ jω ε kc x y 1 H z E z Hy 2 γ jωε kc y x
其中
1 E z H z Ex 2 γ jωμ kc x y 1 E z H z Ey 2 γ jωμ kc y x
这时由
所决定的频率 ( fc ) 和波长(λc)分别称为截止 kc2 k2
频率和截止波长，并且
fc
kc 2
,
2 c f c kc

其中 v 1/ 为无限大介质中电磁波的 相速，而kc称为截止波数，并有
kc
2
c
这样导波系统传输TE波和TM波的条件为
f fc或 c
γz E r E x,ye H r H x,yeγz
（ 复传播常数）
因此只要求出横截面上场的分布E(x,y)、 H(x,y)和传播常数，就可以得到波导内的场 分布。 波导内一般无源，则其场分布满足 麦氏方程
H jE E jH
截止频率为
fc
kc 2

1 2
m n a b
2 2 c
将 kc=2π/λc，k=2π/λ=2π/λ0
2
r r 代入上式得
2
2 k 1 1 c c
所以可得
g

1 c
2

其中
0
r r
是无限大介质中的电磁波波长。
时e- z表示衰减因子，电磁波衰减很快，不可能在波导中传输。
导通状态
当工作频率高于截止频率时，即f > fc， γ 为纯虚数，γ
=jβ，电磁波才可能在波导中沿+z方向传输。这时相位常数 为
m n k k a b
(4) 当y=b时，Ez=0，
m Ez Em sin x sin k y b 0 a
n ky (n 1,2,3,...) b m n E z Em sin x sin y 这样Ez的表示式为 a b
欲使上式对所有x值都成立，ky必须满足下面关系：
m n γz jt Ex 2 x sin ye e Em cos kc a a b n m n γz jt Ey 2 x cos ye e Em sin kc b a b m n γz jt E z Em sin x sin ye e a b m n γz jt Hx j 2 x cos ye e Em sin kc b a b m m n γz jt Hy j 2 x sin ye e Em cos kc a a b
思 考 ： 横 电 波 或 横 磁 波 的 波
7.1.4 截止波长与传输条件
导行波的场量都有因子e-γz(沿+z轴方向传输)，γ=α+jβ 为
传播常数。由前面的推导可知
k k
2 2 c
2
对于理想导波系统， k
为实数，而kc是由导波
系统横截面的边界条件决定的，也是实数。这样随着工作
m n 源自分 布 形 成 驻 波 场
波 导 横 截 面 上 的 场
模指数(m,n)的 物理意义？ m 矩形波导宽边 上的半波数目； n 窄边上的半波数 目。
式中截止波数：
m n k c k k a b
2 x 2 y
E、H 与波传 播方向 彼此正 交且构 成右手 关系？
Z TM
Ex H y j
均 可 由 纵 横 关 系 得 到
1 ˆz E H e ZTM
Ex j Hy
7.1.3 横电波(TE波)
Z TM
ˆz H E ZTE e
阻 抗 等 于 介 质 的 本 征 阻 抗 ？
----- 纵横关系
kc2 γ2 k 2
导行电磁波的纵向场分量Ez和Hz可由亥 姆霍兹方程
2 Ez k 2 Ez 0 2 H z k 2 H z 0
及边界条件确定。
导行波波型的分类
1. 横电磁波(TEM波) 2. 横电波(TE波)
E z 0, H z 0 E z 0, H z 0 E z 0, H z 0
Ex j

kc2
k y H m cosk x x sin k y yez k x H m sin k x x cosk y yez
Ey j

kc2
其中：
(m,n不同时为0 )
m kx , a
n ky , b
m,n 0,1,2 ,...
2 2
截止波数kc为
利用边界面上电场的切向分量连续的边界条件可以确定c1~ c4以及kx、ky。 (1) 当x=0时，Ez=0 (理想导体表面切向场为零)
Ez c1(c3 cosk y y c4 sin k y y) 0
欲使上式对所有y值都成立，则c１应等于零。
Ez c2 sin kx x(c3 cosk y y c4 sin k y y)