广东省汕头市高三数学教学质量测评理(汕头一模)试题新人教A版

绝密＊启用前试尝类型：A
汕头市2013年普通高中高三教学质量测评试题
理科数学
本试卷共4页，21小题、满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
I答春前，考生务必用葱色字迹的钢笔或签字笔将自己的性名和考生号、试室号、座位号镇写在答题卡上，并拈贴好条形码。

认真核准条形码上的牲名、考生号、试室号和座位号。

2选择赶每小题选出答案后，用2B铅笔把答月卡上汁应题目选项的答案信息点涂又．如需改动，用株皮挤干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上
3非选择超必须用从色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位I上；如雷改动，先划摔原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效
4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号叶应的信级点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的．答案无效
5考生必须保持答超卡的整洁。

考试结未后，将试卷和答题卡一并交回
一、选择题：（40分）
1、设x，y∈R，则“x＝0”是“复数x+yi为纯虚数”的（）
A充分而不必要条件B、必要而不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2集合A＝{x｜2012＜x＜2013}，B＝{x｜x＞a}可满足A∩B＝φ．则实数a的取值范围（）
A、{a｜a≥2012 }
B、{a｜a≤2012 }
C、{a｜a≥2013}
D、{a｜a≤2013 }
3采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2 ...
960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落人区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则
抽到的人中，做问卷C的人数为（）
A. 15
B. 10
C. 9
D. 7
4把函数y=cos2x＋l的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变），然后向左平移l个单位长度．再向下平移1个单位长度．得到的图像是
5.执行右面的程序框图，如果输入m=72，n=30，则输出的n 是（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 12
6.在等差数列｛n a }中，首项a 1=0，公差d ≠0 若1210k a a a a =++
+，则k ＝（ ）
A ．45 B. 46 C. 47 D. 48
7.设O 是空间一点，a,b,c 是空间三条直线，,αβ是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ）
A. 当a ∩b ＝O 且a ⊂α，b ⊂α时，若c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥α
B. 当a ∩b ＝O 且a ⊂α，b ⊂α时，若a ∥β，b ∥β，则α∥β
C. 当b ⊂α时，若b ⊥β，则α⊥β
D. 当b ⊂α时，且c α⊄时，若c ∥α，则b ∥c
8.给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色（红、黄、绿、兰），
要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法（涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法（ ） A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 48种 二、填空题：（30分） （一）必做题（9-13题）
9.函数y ＝lnx 在点A(1,0)处的切线方程为_______．
10.已知变量x,y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≥-⎩
，则目标函Rz=3x －y 的取值范围是＿＿＿＿
11.
若曲线y =
与直线x=a ，y=0所围成封闭图形的面积为a 2．则正实数a ＝＿＿＿＿
12.已知动点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么使得点P 到定点Q （2,，－1）的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和最小的点P 的坐标为＿＿＿
13.已知在三角形ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝θ，若D 为BC 的三等分点〔靠近 点B 一侧）．则的取值范围为＿＿＿＿．
（二）选做题 14.已知直线l 方程是22
x t
y t =+⎧⎨
=-⎩学科网（t 为参数），以坐标原点
为极点．x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是＿＿＿ 15
ΘO 中，AB 是直径，MN 是过点A 的圆O 的切线，AC ，BD 相交于点P ，且∠DAN ＝30°，CP ＝2, PA ＝6，又PD ＞PB ，则线段
PD
的长为＿＿＿
三、解答题（满分80分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分12分）△ABC 中内角A,B,C 的对边分别为a ，b ，c, 向量(2sin
2
A
m =，
2
(cos ,2cos 1)4
A
n A =-，且m n 。

（I ）求角A 的大小；
（II ）若a =且△ABC ，求b 十c 的值。

17.〔本小题满分12分）广东省汕头市日前提出，要提升市民素质和城市文明程度，促进 经济发展有大的提速，努力实现“幸福汕头”的共建共享。

现随机抽取50位市民，对他们 的幸福指数进行统计分析，得到如下分布表：
（I ）求这50位市民幸福指数的数学期望（即平均值）；
（11）以这50人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数，若从全市市民（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数．求ξ的分布列； （III ）从这50位市民中，先随机选一个人．记他的幸福指数为m ，然后再随机选另一个人，记他的幸福指数为n ，求n ＜m+60的概率P ．
18（本小腼溯分14分）在三棱锥P-ABC 中．
侧梭长均为4.底边AC ＝4. AB ＝2，BC ＝ D. E 分别为PC. BC 的中点．
〔I ）求证：平面PAC ⊥平面ABC. （II ）求三棱锥P －ABC 的体积； （III ）求二面角C-AD-E 的余弦值．
19.〔本小题满分14分）如图．已知椭圆
22
22
1(0)x y a b a b +=>>的长轴为AB ，
过点B 的直线l 与x
轴垂直，椭圆的离心率e =
，F 为椭圆的左焦点且11AF F B ＝1 。

（I ）求椭圆的标准方程；
（II ）设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP ＝PQ 。

连接AQ 并延长交直线l 于点M 。

N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．
20.、〔本小题满分14分），数列{n a }的前n 项和为n S ，213
1(*)22
n n S a n n n N +=--+∈ （I ）设n n b a n =+，证明：数列｛n b ｝是等比数列； （II ）求数列｛n n b ｝的前n 项和n T ； （III ）若
求不超过P 的最大整数的值。

21．（本小题满分14分）已知函数||12(),()x a bx f x e f x e -==学科网．
（I)若122()()()()f x f x f x bf x =+--，是否存在a ，b ∈R ，y ＝f （x ）为偶函数．如果存 在．请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；
〔II ）若a ＝2，b ＝1．求函数12()()()g x f x f x =+在R 上的单调区间； （III )对于给定的实数成立．求a 的取
值范围．
汕头市2013年普通高中高三教学质量测评理数参考答案及评分标准
一、选择题：BCDAC BCA
二、填空题：9、1-=x y 10、]6,23[-
11、94
=a 12、)1,4
1(-
13、⎪⎭
⎫
⎝⎛-
37,35 14、222- 15、 4 部分解析：8、理解一：
理解二：由于涂色过程中，要保证满足条件（用四种颜色，相邻的面不同色），正方体的三对面，必然有两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”，因此，只需从四种颜色中选择2种涂在其中一对面上，剩下的两种颜色涂在另外两个面即可。

因此共有2
4C =6种不同的涂法。

15题的答案探讨：
15题是一个错题，因为里面要同时满足条件CP=2, PA=6, ∠B=30º，AC 与BD 相交于P 的弦AC 是不存在的。

由此，可能会获得以下答案，建议应把以下答案也做为符合要求的答案，才显得公平。

（1） 评分标准提供的4.
（2） 由∠D=90º，∠B=30º，得AD=
1
2
AB=，再由勾股定理得
==
（3） 连结BC ，由勾股定理得=
=，再由△BCP ∽△ADP 得DP=PC ·
7
22
AD BC =⨯=7； 三、解答题
16、解：（1） →
→
n m // )14
cos 2(2sin
2cos 32-=∴A
A A …………………… …（2分）
A A
A A A A sin 2
cos 2sin 2)14cos 2(2sin 2cos 32==-=∴……………… ………（4分）
3tan =∴A 又),0(π∈A 3
π
=
∴A ………………………………………………（6分）
（2） 32
3
3sin 21sin 21===
∆πbc A bc S ABC …………………………………（8分）
6=∴bc ……………………………………………………………………（9分）
由余弦定理得：3
cos
2222π
bc c b a -+=………………………………………（10分）
2537)(2
=+=+⇒bc c b …………………………………………………………（11分） 5=+∴c b …………………………………………………………………（12分） 17、解：（Ⅰ）记Ex 表示这50位市民幸福指数的数学期望，则
)(6.63)3073021601990(50
1
分=⨯+⨯+⨯+⨯=
∴Ex …………………………（1分）
（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2、3 ………………………………………………（2分）
1251)51()54()0(3003=
==C P ξ ………………………………………………（3分）
12512)51()54()1(2
113=
==C P ξ ………………………………………………（4分） 12548
)51()54()2(1223=
==C P ξ ………………………………………………（5分）
12564)51()54()3(0
333=
==C P ξ ………………………………………………（6分） ∴ξ
……………………（7分）
（Ⅲ）方法一：设所有满足条件的对立事件60+≥m n 的概率为1P
①满足600==n m 且的事件数为：631
2113=A A ……………………（8分） ②满足900==n m 且的事件数为：5711913=A A ……………………（9分） ③满足9030==n m 且的事件数为：13311917=A A ……………………（10分）
2450
253
13357632
501=++=
∴A p ……………………（11分） 所以满足条件60+<m n 的事件的概率为
24502197
2450253111=
-
=-=P P .…………………………………………………（12分）
方法二：基本事件的总数为24502
50=A
满足条件60+<m n 的有如下各种情况：
①满足0=m 时，30,0=n 的事件数为：1913A A ……………………（8分） ②满足30=m 时，60,30,0=n 的事件数为：13017A A ……………………（9分） ③满足60=m 时，90,60,30,0=n 的事件数为：149
121A A ……………………（10分）
④满足90=m 时，90,60,30,0=n 的事件数为：1
49
119A A ……………………（11分） 所以
24502197
495049194921307932
50
491
19149121130171913=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=+++=A A A A A A A A A p …………………………………………………（12分） 18、证明：（Ⅰ）因为4====AC PC PB PA ，
取AC 的中点O ，连接OB OP ,，易得：AC OP ⊥，……………………………（1分）
3
2242222=-=-=OC PC OP
32,2,4===BC AB AC ,
,,222∆∆∴+=∴Rt ABC BC AB AC 为.……………………………（2分）
OB OP OP OB PB OC OB ⊥∴+===∴,,2222.……………（3分）
又ABC OB AC O BO AC 面、且⊂= OP ∴⊥平面ABC ，又PAC OP 平面⊂
ABC PAC 平面平面⊥∴……………………………（5分）
注意：该步骤要求学生的表达严谨规范，对于几个垂直的证明，如果没有过程，相应步骤得
分为0分，而利用结论的后续证明只要正确，可以相应步骤得分） （Ⅱ）43222
1
32312131=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=
-BC AB OP V ABC P …………………（7分） （注意：该步骤只要计算出错，就0分）
（Ⅲ）方法一：过点E 作AC EH ⊥于H ，过点H 作AD HM ⊥于M ，
连接ME ，因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面 PAC 平面ABC =AC ，
AC EH ⊥，⊂EH 平面ABC ，所以⊥EH 平面PAC ， AD ME ⊥∴(三垂线定理)（注意：也可以证明线面垂直） EMH ∠∴即为所求的二面角的平面角………（10分）
D E , 分别为中点，AC EH ⊥， ∴在HEC RT ∆中：
2
3
30cos 0=
=EC HC ， 2
3
30sin 0==EC EH …………………（11分） 2
54=
-=∴HC AH O C
B
A P
在HMA RT ∆中，4
5
30sin 0=
=AH MH …………（12分） 所以，HME RT ∆中，4
3716254322=+=
+=
HM HE ME 所以373754
37
45
cos ===
∠ME
MH
EMH ………………（14分）
方法二：以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
)0,0,0(O ,)0,2,0(-A ,)0,1,3(-B ,)0,2,0(C ,)3,1,0(D ,)0,2
1
,23(
E ,)32,0,0(P , )0,2
5
,23(
=∴AE ,)3,3,0(=,…………………………………………（9分） 所以，可以设平面AED 的一个法向量为),,(1z y x =，
平面ACD 的一个法向量为)0,0,1(2=，…………………………………………（10分）
⎪⎩⎪⎨
⎧=+=∙=+=
∙0
33025
231
1z y AD n y x n ，所以令1=x ，则53-=y ，53=z 所以)5
2
,53,1(1-
=n ，可以设所求的二面角为θ，显然θ为锐角…………（11分） y
由,,cos 212121><⨯⨯=⋅n n n n n n 可得：………………………………（12分）
3737525
9
2531)
0,0,1()52
,53,1(,cos cos 2
12
121=++∙-
=
⨯⋅=
><=n n n n n n θ………………（14分）
19.解：（Ⅰ）易知A )0,(a -, B )0,(a )0,(1c F -………………………………（1分） 1)()0,(11=+⋅-=⋅∴c a c a F AF
1
222==-∴b c a …………………………（3分）
又23=
e 4312
2
22
2
=-==∴a
a a c e ，解得42=a 14
22
=+∴y x 所求椭圆方程为：…………………………（5分）
（Ⅱ）设),(00y x P 则)2,(00y x Q )22(≠-≠x x 及 2
200
+=
∴x y k AQ …………（6分） 所以直线AQ 方程)2(2
2:00
++=
x x y y ………………………………………（7分） )28,
2(00+∴x y M )2
4,2(00
+∴x y N ………………………………………（8分） 4
22224200000
00
-=--+=∴x y x x y x y k QN
又点P 的坐标满足椭圆方程得到：442
02
0=+y x ，所以 2
02
044y x -=-
2
002
0002424
2y x y y x x y x k QN -
=-=
-=
∴…………………………………………（10分） ∴直线 QN 的方程：)(2200
0x x y x y y --
=-………………………………（11分） 化简整理得到：4422
02
000=+=+y x y y x x 即4200=+y y x x ………（12分）
所以 点O 到直线QN 的距离244
2020=+=y x d
∴直线QN 与AB 为直径的圆O 相切…………………………………….（14分）
20．解:(Ⅰ) 因为21
3122
n n a S n n +=--+， 所以 ① 当1=n 时，121-=a ，则112
a =-，……………………………….（1分） ② 当2n ≥时，21113(1)(1)122
n n a S n n --+=----+，…………………….（2分） 所以121n n a a n --=--，即12()1n n a n a n -+=+-， 所以11(2)2n n b b n -=≥，而11112
b a =+=，…………………….（3分） 所以数列{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列，所以1()2
n n b =．…………….（4分） （Ⅱ） 由(Ⅰ)得2
n n n nb =． 所以 ①n n n n n T 2
21..........242322211432+-+++++=- ②12322
21..........24232212--+-+++++=n n n n n T …………….（6分） ②-①得：n n n n T 2
21......2121112-++++=-…………….（7分） n n n n n n T 22222
11211+-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=………………（8分） （Ⅲ）由(Ⅰ)知n a n n -=)2
1( n c n =∴………………（9分）
=
(1)111111(1)(1)1
n n n n n n n n ++==+=+-+++，………………（11分） 所以111111111(1)(1)(1)(1)2014122334201320142014
P =+-++
-++-+++-=-， 故不超过P 的最大整数为2013．………………………………………………..（14分） 21、解：（Ⅰ）存在1,0-==b a 使)(x f y =为偶函数，………………（2分） 证明如下：此时：x x x e e
e x
f ++=-)(，R x ∈ )()(x f e e e x f x x x =++=-∴--，)(x f y =∴为偶函数。

………………（4分） （注：)0,0==b a 也可以）
（Ⅱ）x x e e x g +=-2)( =⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+--)2()
2(22x e e x e e x x x x ，………………（5分）
①当2≥x 时x x e e x g +=-2)(，0)(2'>+=∴-x x e e x g
)(x g y =∴在[)+∞,2上为增函数。

………………（6分）
②当2<x 时x x e e
x g +=-2)(， 则x x e e x g +-=-2')(，令0)('=x g 得到1=x ，
（ⅰ）当1<x 时0)('<x g ，)(x g y =∴在()1,∞-上为减函数。

（ⅱ） 当21<≤x 时0)('
>x g ，)(x g y =∴在()2,1上为增函数。

………………（8分） 综上所述：)(x g y =的增区间为[)+∞,1，减区间为()1,∞-。

………………（9分） （Ⅲ）1)()(021<-x f x f ，1)()(1)(02102+<<-∴x f x f x f
[][]1,01,00∈∀∈∃∴x x 对，1)()(1)(02102+<<-x f x f x f 成立。

即：⎩⎨⎧>+<-max
1max 2min 1min 2)(1)()(1)(x f x f x f x f …………………………………………………（10分）
①当0≥b 时，)(2x f 为增函数或常数函数，∴当]1,0[∈x 时
b e f x f f x f ====∴)1()(,1)0()(2max 22min 2
0)(1>=-a x e
x f min 12min 2)(01)0(1)(x f f x f <=-=-∴恒成立。

时当2
1≤a a e f x f -==11max 1)1()( a b e e ->+∴11 )1ln(1+->∴b e a 21ln 2ln )1ln(=>≥+e e b 2
1)1ln(1<+-∴b e ⎥⎦
⎤ ⎝⎛+-∈∴21),1ln(1b e a 时当2
1>a a e f x f ==)0()(1max 1 a b e e >+∴1 )1ln(+<∴b e a 2
1ln 2ln )1ln(=>≥+e e b ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∈∴)1ln(,21
b e a
综上所述：())1ln(),1ln(1++-∈∴b b e e a ……………………………………………（12分） ②当0<b 时，)(2x f 在[0，1]上为减函数，b e f x f f x f ====∴)1()(,1)0()(2min 22max 2 011,0)(01=-<->=-e e e
x f b a x min 1min 2)(1)(x f x f <-∴恒成立。

时当2
1≤a a e f x f -==11max 1)1()( a e x f ->=+∴1max 221)( 2ln 1->∴a ⎥⎦
⎤ ⎝⎛-∈∴21,2ln 1a 时当2
1>a a e f x f ==)0()(1max 1 a e >∴2 2ln <∴a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∴2ln ,21a
综上所述：()2ln ,2ln 1-∈∴a ……………………………………………（13分） 由①②得当0≥b 时，())1ln(),1ln(1++-∈b b e e a ；
当0<b 时，()2ln ,2ln 1-∈a .……………………………………………（14分）。