第七章格林函数法2

2 02 r 2 0 cos 2
2 2
2 a a r1 2 12 2 1 cos 2 2 cos 0 0
所以
G 1 1 a 1 [ ] n 4 r 0 r1
只要能通过某些特殊的方法，如电像法、本征函数展开法求解 出G1的齐次方程，就得到了泊松方程边值问题的解。
具体地，
对于三维泊松方程的第一边值问题（狄氏问题）的格林函数满足
G M , M0
那么G1满足
1 4 r
G1
称为三维狄氏格林函数
G1 0, M 1 | G1 | 4 r 二维泊松方程的狄氏问题格林函数满足
a2
r 2a2
0
因此
2 2 2 a 2 r 2 a 2 0 r2 a2 G 1 0 1 0 | a [ ] 3 3 n 4 2ar 2ar 4 a r 3
由格林函数的对称性，得
G G 1 2 a2 |0 a |0 a n0 0 4 a r 3
1 2 G 1 G 1 2G G 2 r 2 sin 2 2 r r r r sin r sin 2
区域无界，点源产生的场与方向无关，G只是r的函数，
G
r
2
1 2 G r (r ) 2 r r r
M1
M

a


0
M0
1
可得
a 0 G1 4 r1
0
V S
可以看出，只要在点M1放置一负电荷 -0a/0 ，则它在球内任 意一点M处（M0除外）所产生的电位为-a/0/4r1 ，并且在球 面上满足 a 0 1 点M1放置的负电荷就是M0的电像 4 r a 4 r1 a
2 2
x x0 y y0 z z0
x y z
2 2
2
源点 M0 为 坐标系原点
根据函数的定义，当r0时（MM0），方程可化为
1 2 G r 0 2 r r r
其解为：
1 G C1 C2 r
不失一般性，令C2=0，得
求出G1就可得到G，利用镜像法： 如图定义各个量
在点M0沿矢径关于球面的对称点M1（称为像点）处放置一 个 –q 的电荷，由于它在球外，它对球内电势的贡献必然满 足拉普拉斯方程。因此，只要适当选择其大小，使它对边界 上的电势贡献恰好等于 M0 点的点电荷 0 对边界电势的贡献 即可（等效于感应电荷的场），G1就满足边界条件
G1 0, M 1 | G1 | 4 r
那么面内任一点的电势为

M x, y , z
M 0 x0 , y0 , z0

G
1 4 r
G1
也就是说狄氏格林函数恰好就是面内 任意一点M（不包括M0点）的电势。 这就是狄氏格林函数的物理意义。
M M0 ( x x0 , y y0 )
二维问题：
1. 三维泊松方程的基本解
u h M
相应的格林函数满足方程：
泊松方程
G M M0 ( x x0 , y y0 , z z0 )
求解：满足上方程的格林函数 ： 首先选择球坐标系，并将源点 M0 作为坐标系的原点。注意到
G M , M0
1 4 r
2. 二维泊松方程的基本解
对二维泊松方程 相应的格林函数满足方程：
u h M
G M M0 ( x x0 , y y0 )
采用极坐标，并将源点 M0 作为坐标系的原点，则
r
x x0 y y0
只要求出G，就可得到方程的解
u M G M , M 0 h M 0 d 0

f M0 G M , M 0 d 0 n0
现在的任务是求满足齐次狄氏边界的G，即
G M , M 0 M M 0 , M G M , M 0 | 0
r 2 a 2 2 a cos
球域泊松方程的狄氏问题的解为
u , , 4 a 0
2
1
2


0
f 0 , 0
a
2
2 a cos
2
2 a2
32
a 2 sin 0 d 0 d0
a 4
f ,
显然，前边求解的自由空间的G不会满足G的边界条件，因此令
G M , M0 G0 M , M0 G1 M , M0
G0为自由空间泊松方程的基本解，满足方程 ，那么G1满足
G1 M , M 0 0, M G1 M , M 0 | G0 M , M 0 |
1 1 G M , M0 ln G1 2 r
G1 0, M 1 1 ln |l G1 |l 2 r
二维狄氏格林函数
狄氏格林函数的物理意义
如图，设为空间接地导体壳，其中点M0处放置点电荷 0 ，由 静电学知，壳内任一点M的电势由两部分组成，一部分是点电 荷 0 在点M的电势 1/4r ，另一部分是边界面 上感应的负电 荷所产生的电位 G1 ，它一定满足方程
从而
lim Gdxdy 1
0
注意到二维情况下的散度定理
Gds Gds Gdl
s s l
带入
G C1 ln r
可以得到
G 1 lim Gdl lim |r dl lim(C1 2 ) 2 C1 0 l 0 l r 0
0 0 0 0

2 2 a 2a cos
a2 2
32
sin 0 d 0 d0
球的泊松积分公式
其中
ρ0 ρ cos cos 0 cos讨论 （1）球心
r0
即 二维无界空间 的格林函数， 即二维泊松方 程的基本解为
1 C1 2
1 1 G ln 2 r
二、一般边值问题的格林函数
三维泊松方程的第一边值问题
u M h M , M u | f M
相应的格林函数满足
G M , M 0 M M 0 , M G M , M 0 | 0
2
2
x2 y 2
类似于三维， G只是r的函数，满足
1 d dG r r r dr dr
当r0时，上式可得
G C1 ln r
当r=0时，上式积分可得


Gdxdy x x0 , y y0 dxdy 1

令：
0 1 a
2
即
0
a

a
1
把M1称为M0的像点。显然，当M在球面 =a 上时，有三角形相似
r 0 a r1 a 1
从而有
M1
1 a 0 r r1
1 4 r
a
M

0


0
M0
1
即
V S

a 0 4 r1
a
即有
a 0 0 4 r1 a 0 1 4 r a 4 r1
G M M 0 G | a 0
来求解这个格林函数
解：引入定义
G M , M0
则
1 4 r
M1
G1
M
G1 0, a 1 | a G1 | a 4 r

0


0
M0
1
V S
2 0
0

0 0 0 0
cos cos0
0 0
0 cos 3 2 02 20 cos 2
右边的第一部分
1 1 2 r 2 0 2 0 cos

2 02 r 2 2
2 r 2 0 2 2
§7.4 Green’s Functions 的一般求法
一、 无界空间的格林函数－基本解
无界空间的格林函数称为相应方程的基本解
格林函数满足的方程是：
G M , M0 M M 0
三维问题 ：
M M0 ( x x0 , y y0 , z z0 )
1 G C1 r
当r=0时，应该对方程两边积分，得


Gdxdydz x x0 , y y0 , z z0 dxdydz 1

即
lim Gdxdydz 1
0
由散度定理得


Gdxdydz

G dxdy n
而称这种在像点放置一虚构的点电荷来等效地代替导体面或界 面上感应电荷的方法称为电像法。 从而，球的狄氏格林函数为
a 0 G 4 r 4 r1 1
由余弦定理
进一步得到球域泊松方程狄氏问题的解
令
M0 M0 0 ,0 ,0 , M M ,,
2 r 2 0 2 0 cos
三、电像法求解具有特殊边界的狄氏格林函数
由狄氏格林函数的物理意义知道，狄氏格林函数包括两项：
1、基本解，它是位于M0点处的点电荷在M处的场，已知的
2、边界面上感应电荷所产生的场，满足
G1 0, M 在面上的场值与M0点处的真实点源在 1 面上的场值大小相等，符号相反，抵消 G | | 1 4 r 对这个定解问题，可以看成是一个在真实点源所处空间以外的等 效虚点电荷源产生的，把这个虚点源称为位于点 M0 的真实点源 的镜像，只要能够恰当地确定作为镜像的点源的位置和大小，就 可以得到 G1 ，从而得到所求的格林函数G，这种求解的方法， 称为电像法。
2 2 0 2 3 2
02 2 r 2 2 r 3
所以
a r 1 | a 3 r 2ar
2 0 2
2
同理，右边的第二部分也有
a4
2 2 02 a 2 0 r2 a 1 a 12 a 2 r12 a 0 | a 3 3 ra 3 0 r1 0 2ar1 0 2 ar 2a ( )
所以
lim
0
s
G G dxdy dxdy 1 s r n r
代入
1 G C1 r
即 所以 三维无界空间 的格林函数， 即三维泊松方 程的基本解
lim
2
0 0


0
C1
1
1 C1 4
2
2 sin d d 1
1. 球域泊松方程的第一边值问题的格林函数
目标：求解球的狄氏问题
M1
u 0, a u | a f ( M )
由第一边值问题的基本积分公式，定 解问题的解为
M

0


0
M0
1
V S
u M
对应格林 函数满足

f M0 G M , M 0 d 0 n0