电磁感应中的动力学问题双杆滑轨问题

vm=FR / B2 L2
例2. 光滑平行导轨上有两根质量均为m，电阻均为R的 导体棒1、2，给导体棒1以初速度 v 运动， 分析它们的 运动情况，并求它们的最终速度。….
对棒1，切割磁感应线产生感应电流I，I又受到磁场的作用力F
v1
E1=BLv1
I=(E1-E2) /2R
F=BIL
a1=F/m
对棒2，在F作用下，做加速运动，产生感应电动势，总电动势减小
a2 =F/m
v2
E2=BLv2
I=(E1-E2) /2R
F=BIL
当E1=E2时，I=0，F=0,两棒以共同速度匀速运动，vt =1/2 v
B
B
F
E1
v
F
1
I 2 E2
F
1
E1 I
vt
2 E2 Fvt
例4. 光滑平行导轨上有两根质量均为m，电阻均为R 的导体棒1、2，给导体棒1以初速度 v 运动， 分析它们 的运动情况，并求它们的最终速度。….
谢谢观赏
⑴在运动中产生的焦耳热最多是多少 ⑵当ab棒的速度变为初速度的3/4时， cd棒的加速度是多少？
例4：如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁 感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻 很小，可忽略不计。导轨间的距离l=0.20m。两根质量均为 m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动 过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Ω。在t=0 时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N 的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过 t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s2，问此时两金属杆的 速提度高各：为两多金少属？杆的最大速度差为多少？
例5：磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在 平面（纸面）向里。导轨的a1b1段与a2b2段是竖直的，距离为l1； c1d1段与c2d2段也是竖直的，距离为l2。x1 y1与x2 y2为两根用 不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m1和m2，它 们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回 路的总电阻为R。F为作用于金属杆x1y1上的竖直向上的恒力。 已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于 两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。
a=(F-f)/m
v
E=BLv
I= E/R
f=BIL
最后，当f=F 时，a=0，速度达到最大，
F=f=BIL=B2 L2 vm /R
a
vm=FR / B2 L2
vm称为收尾速度.
R f1
F
F
f2
f
F
又解：匀速运动时，拉力 所做的功使机械能转化为
b
电阻R上的内能。
B
F vm=I2 R= B2 L2 vm2/ R
Imax2E L1 rBv04Sr
2gH
⑤
（2）两金属杆在磁场中运动始终满足动量守恒，两杆
最终速度相等，设为v′ mv2 =2mv′
⑥
Q1 2m2 2 v1 22m/2v
⑦
2
Q116mv0S 2gH
⑧
（3）设杆A2和A1的速度大小分别为 v和3v,
mv2 =mv+3mv
v= v2/4
⑨
由法拉第电磁感应定律得：E2=BL(3v - v) ⑩
（1）求力F的大小及ab运动的速度大小；
（2）若施加在ab上力的大小变为2mg，方向不变，经
过一段时间后ab、cd以相同的
B
N
加速度沿导轨向上加速运动，
a
Q
求此时ab棒和cd棒的速度差
c b
Mα
d
(Δv＝vab-vcd)．
Pα
.解: (1)ab棒所受合外力为零 F-Fab-mgsinα=0 ①
cd棒合外力为零 ab、cd棒所受安培力为
M
2
导体杆2克服摩擦力做功的功率
P μ m 2 gv4 P
Байду номын сангаас
1N
v0 Q
解得 Pμm 2g0 [ v μ B m 2l2 2 g(R 1R 2)]
解法二：以F表示拖动杆1的外力，以I表示由杆1、杆2 和导轨构成的回路中的电流，达到稳定时，
对杆1有 F-μm1 g-BI l=0 …… ⑴
对杆2有 BI l –μm2 g=0 …… ⑵
FF cda-bmgF sicndα=B 0ILBB2 LR vabL②③
解得： F=2mgsinα=mg
④
vab2mgBR 2L s2inB m2gLR2
⑤
（2）当ab、cd以共同加速度a 运动时，运用整体法
由牛顿定律得到 2mg - 2mgsinα=2ma ⑥
以b棒为研究对象有 BIL- mgsinα=ma ⑦
外力F的功率 PF=Fv0 ……
⑶
以P表示杆2克服摩擦力做功的功率，则有
P P F I 2 (1 R R 2 ) μ m 1 g 0 4 v
由以上各式得
P μm 2 g0 [ v μ B m 2 lg 2 g(R 1R 2)M]52
1N
v0
P
Q
例5．(15分)如图所示,两足够长平行光滑的金属导轨 MN、PQ相距为L,导轨平面与水平面夹角α＝30°,导轨 电阻不计。磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面 向上,两根长为L的完全相同的金属棒ab、cd垂直于MN、 PQ放置在导轨上,且与导轨电接触良好,每根棒的质量 为m、电阻为R．现对ab施加平行导轨向上的恒力F， 当ab向上做匀速直线运动时，cd保持静止状态．
I E2 BvB2v 2Lr r 4r
安培力 F=BIL
FB 82 rL v0S2g H
(1)1
作业一：两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一 水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根 导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示．两根导体 棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻 可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场， 磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑 行．开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度 v0．若两导体棒在运动中始终不接触，求：
2做变加速运动，稳定时， 稳定时，两杆以相同的加
两杆的加速度为0，以相 速度做匀变速运动
同速度做匀速运动
v
1
v2
1
2 0
t
0
t
例1. 水平放置于匀强磁场中的光滑导轨上，有一根导体棒ab， 用恒力F作用在ab上，由静止开始运动，回路总电阻为R，分析 ab 的运动情况，并求ab的最大速度。
分析：ab 在F作用下向右加速运动，切割磁感应线，产生感应 电流，感应电流又受到磁场的作用力f，画出受力图：
⑴在运动中产生的焦耳热最多是 多少？ ⑵当ab棒的速度变为初速度的 3/4时，cd棒的加速度是多少？
五、电磁感应中的“双杆”问题例析
导轨上的双导体棒运动问题： 1、在无安培力之外的力作用下的运动情况，其稳定状态是两 棒最后达到的匀速运动状态，稳定条件是两棒的速度相同； 2、在有安培力之外的恒力作用下的运动情况，其稳定状态是 两棒最后达到的匀变速运动状态，稳定条件是两棒的加速度相 同，速度差恒定
mv=(m+m)vt 共同速度为vt =1/2 v
v
它们的速度图象如图示：
v
1
B
0.5 v
v
2
1
2
0
t
04年广东 15． 如图，在水平面上有两条平行导电导轨MN、PQ,
导轨间距离为l，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸
面）向里，磁感应强度的大小为B，两根金属杆1、2摆
在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为m1、 m2和R1 、 R2,两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦 因数为μ，已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度v0沿导 轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运
动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功的
功率。
M2
1N
v0
P
Q
解法一： 设杆2的运动速度为v，由于两杆运动时，
两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化，产生
感应电动势
E B0 lv (v )1
感应电流
I E
2
R1R2
杆2作匀速运动,它受到的安培力等于它受到的摩擦力,
B l μ I m 2 g 3
⑴求作用于每条金属细杆的拉力的大小. ⑵求两金属细杆在间距增加0.40m的滑 动过程中共产生的热量
例3：两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两 导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成 矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R， 回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向 上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦 地滑行．开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0．若 两导体棒在运动中始终不接触，求：
对棒1，切割磁感应线产生感应电流I，I又受到磁场的作用力F
v1
E1=BLv1
I=(E1-E2) /2R
F=BIL
a1=F/m
对棒2，在F作用下，做加速运动，产生感应电动势，总电动势减小
a2 =F/m
v2
E2=BLv2
I=(E1-E2) /2R
F=BIL
当E1=E2时，I=0，F=0,两棒以共同速度匀速运动，vt =1/2 v
电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受 到安培力的作用，因此，电磁感应问题往往跟 力学问题联系在一起，解决这类电磁感应中的 力学问题，不仅要应用电磁学中的有关规律， 如楞次定律、法拉第电磁感应定律、左右手定 则、安培力的计算公式等，还要应用力学中的 有关规律，如牛顿运动定律、动量定理、动能 定理、动量守恒定律、机械能守恒定律等。要 将电磁学和力学的知识综合起来应用。
B
B
F
E1
v
F
1
I 2 E2
F
1
E1 I
vt
2 E2 Fvt
由楞次定律，感应电流的效果总要阻碍产生感应
电流的原因，1棒向右运动时， 2棒也要向右运动。
杆1做变减速运动，杆2做变加速运动，稳定时， 两杆的加速度为0，当两棒相对静止时，没有感应 电流，也不受磁场力作用，以共同速度匀速运动。
由动量守恒定律:
例1：如图所示，两根间距为l的光滑金属导轨（不计电阻）， 由一段圆弧部分与一段无限长的水平段部分组成。其水平段加 有竖直向下方向的匀强磁场，其磁感应强度为B，导轨水平段上 静止放置一金属棒cd，质量为2m，电阻为2r。另一质量为m， 电阻为r的金属棒ab，从圆弧段M处由静止释放下滑至N处进入 水平段，圆弧段MN半径为R，所对圆心角为60°，求：
C s A2 H L
图11
6解： （1）小球与杆A1碰撞过程动量守恒，之后小 球作平抛运动。设小球碰撞后速度大小为v1，杆A1获 得速度大小为v2 ，则
m 2v0m 2v1m2v
①
S=v1 t H=1/2 gt2
②
v21 2v0S 2gH
③
杆在磁场中运动，其最大电动势为 E1=BLv2 ④
最大电流
，导轨宽为L,导轨足够长且电阻不计,金属杆单位长度
的电阻为r。现有一质量为m/2的不带电小球以水平向
右的速度v0撞击杆A1的中点,撞击后小球反弹落到下层
面上的C点。C点与杆A2初始位置相距为S。求: B
（1）回路内感应电流的最大值；
（2）整个运动过程中感应电流
v0
A1
最多产生了多少热量；
（3）当杆A2与杆A1的速度比 为1:3时，A2受到的安培力大小。
⑴ab棒在N处进入磁场区速度多大？此 时棒中电流是多少？ ⑵cd棒能达到的最大速度是多大？ ⑶cd棒由静止到达最大速度过程中，系 统所能释放的热量是多少？
例2：两根相距d=0.20m的平行金属长导轨固定在同一水平面内， 并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.2T，导轨 上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻 为r=0.25Ω，回路中其余部分的电阻可不计.已知两金属细杆在平 行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小 都是v=5.0m/s，如图所示.不计导轨上的摩擦.
由法拉第电磁感应定律 E t BL(va－ vb)BLv⑧
I=E／2R
⑨
上面几式联立解得
v
2mgR B 2 L2
⑩
6. (16分)如图所示,在磁感应强度大小为B、方向垂直向
上的匀强磁场中,有一上、下两层均与水平面平行的
“U”型光滑金属导轨,在导轨面上各放一根完全相同的
质量为m的匀质金属杆A1和A2,开始时两根金属杆位于 同一竖直面内且杆与轨道垂直。设两导轨面相距为H
由于安培力和导体中的电流、运动速度 均有关， 所以对磁场中运动导体进行动态分 析十分必要。
“双杆”滑轨问题
• 分析两杆的运动情况和受力情况 • 分析物理情景 • 灵活选择运动规律
滑 轨
1
B
m1=m2
v 2 r1=r2
1
l1=l2
B 2
m1=m2 F r1=r2
l1=l2
问
题
杆1做变减速运动，杆 开始两杆做变加速运动，