第二学期高数(下)期末考试试卷及答案

第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰2

2

t x

F

x e dt ，则()F x '=-2

2x xe

.

2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫

⎪⎝⎭

1442ππ处

的切平面方程是--+=210x y z .

3.交换累次积分的次序：

=

(),-⎰⎰2302

x

x

dx f x y dy

.

4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：

使得格林公式： ⎛⎫

∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰D L

Q P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：

()(),,和在D上具有一阶连续偏导数

P x y Q x y .

其中L 是D 的取正向曲线;

5.级数

∞

=-∑

1n

n 的收敛域是

(]

,-33.

二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)

1.当→0x ，→0y 时,函数

+242

3x y

x y 的极限是

()D

A.等于0;

B. 等于1

3;

C. 等于1

4

; D. 不存在.

2.函数(),=z

f x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，

(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()C

A.充分必要条件;

B.充分但非必要条件;

C.必要但非充分条件;

D. 既非充分又非必要条件.

3.设()cos sin =+x z

e y x y ，则==10

x y dz

()=B

A.e ;

B. ()+e dx dy ;

C.

()-+1e dx dy ; D. ()+x e dx dy .

4.若级数

()

∞

=-∑1

1n

n n a x 在=-1x 处收敛,

则此级数在=2x

处()A

A.绝对收敛;

B.条件收敛;

C.发散;

D.收敛性不确定. 5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()D

A. 3x ae ;

B. ()+3x ax b e ;

C.

()+3x x ax b e ; D. ()+23x x ax b e .

三.（8分）设一平面通过点

(),,-312,而且通过

直线

-+==43521

x y z

,求该平面方程. 解：

()(),,,,,--312430A B

(),,∴=-142AB 平行该平面

∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922n ∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z

即：---=8922590x

y z

四.（8分）设(),=y

z

f xy e ,其中

(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2z

x y

.

解：令=u

xy ，=y v e

五.（8

分）计算对弧长的曲线积分

⎰L

其中L 是圆周+=2

22x

y R 与直线,==00x y

在第一象限所围区域的边界.

解：=++123L L L L

其中： 1L ：(),+=≥≥22200x y R x y 2L ：()=≤≤00x y R

3L ： ()=≤≤00y x R

而

Re ==

⎰⎰1

20

2

R

R L e Rdt π

π

故：

()

Re =

+-⎰21

2

R R L

e π

六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛

⎫++ ⎪⎝

⎭⎰⎰423z x y dS ,

其中∑为平面

++=1234

x y z

在第一卦限中的部分. 解：

xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩02

3032

x y x

=3

-==⎰⎰32

3200

x dx 七.（8分）将函数()=++2

1

43f x x x ,展开成x 的幂级数.

解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+

1111111

21321613

f x x x x x , 而

()∞=⋅=-+∑0

1111212n n n x x , (),-11

()

∞

=-⋅=+∑011163

13

n

n n n x x , (),-33

()()∞

+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10

111123n

n

n n f x x , (),-11

八.（8分）求微分方程：

()()

+-+-+=4

2322253330x

xy y dx x y xy y dy 的通解.

解：

∂∂==-∂∂263P Q

xy y y x

, ∴原方程为：

通解为：++-=5

322

31332

x y x y y x C 九.幂级数：()()!!!!

=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462n

x x x x y x n

1.试写出

()()'+y x y x 的和函数;（4分）

2.利用第1问的结果求幂级数()!

∞

=∑202n

n x n 的和函数.（8分）

解：1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-3521

3521n x x x y x x n (),-∞∞ 于是()()!!

'+=++++⋅⋅⋅=23

123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!

∞

==∑202n

n x S x n

由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S

通解：()()--=+=+⎰12

x

x x

x

x S

x e

C e e dx Ce

e 由()=01S ，得：=1

2

C ；故：()()

-=+12x x S x e e

十.设函数

()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件