工程力学课件-第7章 梁的强度问题

h
3
2
b
三、抗弯截面系数 矩形截面 实心圆截面
bh 12 bh W h 2 h 2 6 W d 2
W
z y d z y
Iz
d
64 d d 2 32
4
4
3
空心圆截面 型钢
D 3
32
(1 )

d D
D d
z y
可查型钢表或用组合法求
纯弯曲时的正应力：例题
[例1]如图所示的悬臂梁，其横截面为直径等于200mm 的实心圆，试计算轴内横截面上最大正应力。
横向弯曲(Transverse Bending) —既有弯矩，又有剪力
P
C F FQ S
C

a
A B
a
P
D
（如图中AC 段和BD 段 ）
P

P
D x
A
B
P

Pa
B D x
C M
A
三、弯曲构件横截面上的应力
m
M
内力
剪力FQ 弯矩M
切应力
正应力
m FQ
• 弯曲切应力

m
——横截面上切向分布内力的集度 • 弯曲正应力
b
h
Iz

y 2 dA
A


y 2 bdy
z y
bh 3 12
h 2
（1）矩形截面
b
Iz
（2）实心圆截面
bh 12
3
h z y
Iz Iy
Ip 2

d 4
64
d z y
4
（3）空心圆截面（形心重合）
Iz I y

64
(D d )
4 4
D
64
(1 4 )
30 kN· m
Ｄ
L
M
30 kN· m
分析： 纯弯曲 M max W
解： （1）计算W
W

32
D
3


32
200 3 10 9 7 .9 10 4 m 3
（2）计算 max： M 30 10 3 max 7.9 10 4 W
38.2 10 6 Pa 38.2 MPa
纯弯曲时的正应力：结论与讨论
讨论. 纯弯曲时横截面上正应力大小与梁的弹性 模量 E 有关系否？
My E Iz
y
M E Iz 1
没有关系。
纯弯曲时的正应力：结论与讨论
讨论.
从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的高:宽=？
才能最有效利用材料？ 宋
•
d
h
李 以 随 凡 诫 二 其 梁 《 分 广 之 为 分 b 营 大 厚 为 造 小 。 三 法 ， 意为矩形梁木的高:宽=3:2。 ” 分 式 各 ， 》 试用弯曲正应力条件证明：从圆木锯出的矩形 截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。
平面假设 不再成立
此外, 横向弯曲时纵向纤维无挤压假设也不成立.
由弹性力学的理论，有结论：
l 当梁的长度l与横截面的高度h的比值: 5 h
则用纯弯曲的正应力公式计算横向弯曲时的正应 力有足够的精度。 l / h > 5 的梁称为细长梁。

最大正应力 横向弯曲时，弯矩是变化的。
M max y max max Iz I 引入符号： W z 抗弯截面系数 ymax M 则有： max max W
A
O dA
z y
z
图形对 y 轴的惯性矩 I y Az dA
2
图形对 z 轴的惯性矩 I z

A
y 2 dA
图形对 y z 轴的惯性积 I yz

A
yzd A
A
y
A
图形对 O 点的极惯性矩 I P r 2 dA
二、惯性矩
1.计算公式
Iz

h 2
y 2 dA
A
2.几种常见形状截面的惯性矩 （1）矩形截面
横截面上只有轴向正应力
纯弯曲时的正应力：公式推导
1. 变形几何关系
M
M
z
x
y
中性轴(Neutral Axis)
中性层(Neutral Surface)
纯弯曲时的正应力：公式推导
b1 b2 y d
' '
b1b2 d x O1O2 O1 O2 d
' '
y ( y )d d d
A
M z yd A
A
M
dM z y d A
纯弯曲时的正应力：公式推导
E
My
A
y

2
FN
Mz
dA 0
A
(1)
zd A 0
y d A M
A
3
将应力表达式代入第一式，得 E FN dA yd A 0 A A


结论：
当全梁横截面的弯矩均为正值或均为负值时，且中性
轴不是横截面的对称轴，则整个梁横截面上的最大拉应力 和最大压应力必定在弯矩绝对值最大的横截面上。若中性
轴是横截面的对称轴，则最大拉应力和最大压应力的绝对
值相等。
例3：图示为一T形截面的外伸梁及其横截面尺寸。已知 I z 290 .6 10 8 m 4 ， 试求横截面上的最大拉应力和最大 压应力。
“
纯弯曲时的正应力：结论与讨论
M 解： 根据正应力条件 max W 要使max 尽可能小, 则Ｗ 要尽可能大
b(d b ) bh 矩形截面 W 6 6 dW 0 要求Ｗ 最大，令 db 2 2 d 3b 从而有： 0 6 d 2d b h 3 3 因此 h : d 2 : 1 3 : 2
2横截面iiii上点234处的应因点1位于中性轴处故无正应力只有切应力且bhbhpl3p点2在横截面的上边缘处故无剪应力只有正应力且bhpl3p点3位于中性轴处故无正应力只有切应力且bh3p点4既不位于中性轴处也不在横截面的上下边缘处故既有正应力又有切应力且bhpl一切应力强度条件对于横力弯曲的梁除了横截面上的最大弯曲正应力不超过材料的容许正应力外还要求横截面上的最大切应力不超过材料的剪切容许应力即max二强度计算的三种类型1校核强度
Sz

ydA 0 ——横截面面积
A
对z轴的静矩
上式表明中性轴通过横截面形心。 将应力表达式代入第二式，得

A
z dA
E


y zdA 0
A
纯弯曲时的正应力：公式推导
E
y

Mz
y d A M
A
3
将应力表达式代入第三式，得
M

A
y 2 dA I Z
A A ——横截面对中性轴的惯性矩
2 2 2
d
b
b h d
2 2
2
1
h
纯弯曲时的正应力：结论与讨论
讨论.
如何计算 AC 段和 BD 段上应力？ My 是从纯弯梁推得， 正应力计算公式 Iz 能否适用于横力弯曲？
a P
D
P

P
C F FQ S
C
a
A B

A
B
D
x
P

Pa
B D x
C M
A
二、 横向弯曲时的正应力
横向弯曲时，横截面上有切应力
如何设计车轮轴的横截面? 中间段采用空心圆截面。
纯弯曲时的正应力：结论与讨论
四、结论与讨论
My Iz
M
O
z
x
max
M W
y
结论 1. 直梁发生纯弯曲变形，横截面上正应力沿横截面 高度上线性分布。
M E Iz
结论 2. 直梁发生纯弯曲变形，变形后梁的轴线的曲率与 弯矩成正比。
1
解：（1）作梁的弯矩图
（2）计算最大拉应力
危险截面与危险点
危险截面的应力分布
最大拉应力可能发生在C截面的下边缘处和B截 面的上边缘处.
M C yx Cx Iz 3 2.5 10 65 10 3 55 .9 MPa 8 290.6 10 M B ys 3 103 35 10 3 36 .1MPa Bs 8 290.6 10 Iz b max Cx 55 .9 MPa
A

Iy
y dA 2 a y dA a dA z dA ( z b ) dA I y
C 2 C 2 A A
2 C 2 A A
A

I zC 2 a 0 a A
2
C
2b 0 b A
2
I Z I zC Aa 2 I y I yC Ab

y d A

E

y 2 dA
M 曲率的计算公式 E Iz
1
纯弯曲时横截面上
弯曲正应力的计算
公式:
公式应用条件：
直梁 纯弯曲 线弹性
EI z ——梁的抗弯刚度
My Iz
与应力分析相关的截面图形几何性质 图形对于 z 轴的静矩 S z A ydA 图形对于 y 轴的静矩 S y zdA
纯弯曲时的正应力：公式推导
纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力 E
y

z
3. 静力平衡关系
横截面上内力系为垂直于 横截面的空间平行力系。 这一力系向坐标原点O简化， 得到三个内力分量。
FN dA
A
M
O
dA
M
y
z
x dA
0
0
y
dFN dA
dM y z d A
M y zdA

m m
FQ
M
——横截面上法向分布内力的集度
m
弯曲正应力
一、纯弯曲时的弯曲正应力
研究直梁纯弯曲时横截面上的正应力。
研究思路： 几何 关系 物理 关系 平衡 方程
从几何关系、物理关系和 静力学关系这三方面着手，
变形
应变 分布
应力 分布
应力 表达式
纯弯曲时的正应力：概述
◇ 纯弯曲时的变形特征
且部分纵向线段伸长， （1）各纵向线段弯成弧线，

d D
D d
z y
（4）型钢截面 可从型钢表中查得。
3、惯性矩的平行移轴公式 设图形对于形心轴的惯性矩 分别为 I y 和 I z ，图形对于平行 C C 于形心轴的两轴y、z的惯性矩分 别为 I y 和 I z 。
Iz
y yC a z zC b

A
y 2 dA ( y C a ) 2 dA
纯弯曲时的正应力：例题
[例2] 在相同载荷下，将实心轴改成max 相等的空心轴， 空心轴内外径比为0.6。求空心轴和实心轴的重量比。
Ｄ
Ｄ1 ｄ1
解：（1）确定空心轴尺寸 M 由 max W

32 D13 (1 0.6 4 ) 7.9 10 4
D1 210 mm
（2）比较两种情况下的重量比(面积比)：
部分纵向线段缩短。
（2）各横向线相对转过了一个角度,仍保持为直线。 （3）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。
纯弯曲时的正应力：概述
☆ 纯弯曲时的基本假设
（1）平面假定( Plane Assumption ) (a) 变形前为平面的横截面变形后仍为平面 (b) 仍垂直于变形后梁的轴线
横截面上无切应力
（2）纵向纤维间无正应力 纵向纤维无挤压
II
80 2 ( 65 ) 10 12 185 .3 10 8 m 4 2
Iz ?
I z 105 .3 10 8 185 .3 10 8
290 .6 10 m
8
4
纯弯曲时的正应力：公式推导
max
My max M W Iz
Iz
Iz W ymax
材料力学
第7章 梁的强度问题
2014年6月10日
概述
一、 问题的提出
如何简化出火车车轮轴的计算模型? 如何计算火车车轮轴内的应力? 如何设计车轮轴的横截面?
概述
二、平面弯曲( Plane Bending)
纯弯曲( Pure Bending) —— 弯矩为常量，剪力为零
（如图中AB 段 ）
dx

d
M
O2 b2
M
O1 b1
直梁纯弯曲时纵向线段的线应变与它到中性层的距离成正比。
纯弯曲时的正应力：公式推导
距离中性层为y的纵向纤维的应变

M
y

中性轴 z
O
2. 物理关系( Hooke 定律)
Байду номын сангаас
E y E
x
y
结论：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力， 即沿截面高度， 与它到中性层的距离成正比。 弯曲正应力按线性规律变化。
b max
M max y b max Iz
Iz

3 10 3 35 10 3 290 .6 10
8
36 .1MPa
bc max
M max ybc max
3 10 3 65 10 3 290 .6 10
8
67 .1MPa
2
——惯性矩的平行 移轴公式
I
zCI
I z I z , I I z , II
I z ,I
zCII
80 203 10 12 (80 20) 12
20 2 ( 35 ) 10 12 2
105 .3 10 m
8
4
I z , II
20 803 10 12 ( 20 80) 12

比较 拉压: max
FN max A
例2：图示为一T形截面的悬臂梁及其横截面尺寸，在自由 端作用一集中力。已知 ： I z 290.6 10 8 m 4 , P 1.5kN, L 2 m 。 试求横截面上的最大拉应力和最大压应力。
P
L
3 kN m

解：（1）作梁的弯矩图 x M （2）计算最大正应力 因全梁横截面的弯矩均为负值，故最大弯曲正应力必 定在弯矩绝对值最大的横截面上，且最大拉应力在该截面 的上边缘处，最大压应力在该截面的下边缘处。
A空 4 A实

D1 (1 2 )
2

4
D2
210 2 (1 0.6 2 ) 200 2
0 .7
由此可见，载荷相同、 max要求相等的条件 下，采用空心轴节省材料。
纯弯曲时的正应力：例题
P
火车车轮轴
C F FQ S
C
a
A B
a
P
D
P

A
B
D
x
P

Pa
B D x
C M
A