弹性力学基础及有限单元法

第一章
1、弹性力学的任务是什么
弹性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。

2、弹性力学的基本假设是什么？为什么要采用这些假设？
(1) 假设物体是连续的——物体内部由连续介质组成，物体中没有空隙，因此物体中的应力、应变、位移等量是连续的•可以用坐标的连续函数表示。

实际上，所有的物体均由分子构成，但分子的大小及分子间的距离与物体的尺寸相比是很微小的，故可以不考虑物体内的分个构造。

根据这个假设所得的结果与实验结果是符合的。

(2) 假设物体是匀质的和各向同性的一一物体内部各点与各方向上的介质相同，
因此，物体各部分的物理性质是相同的。

这样，物体的弹性常数(弹性模量、泊松比)不随位置坐标和方向而变化。

钢材由微小结晶体组成，晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为钢材是各向同性的。

木材不是各向同性的。

(3) 假设物体是完全弹性的一一物体在外加因家(裁荷、温度变化等)的作用下发生变形，在外加固素去除后，物体完全恢复其原来形状而没有任何剩余变形。

同时还假定材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。

(4) 假设物体的变形是很小的——在载荷或温度变化等的作用下，物体变形而产生的位移，与物体的尺寸相比，是很微小的。

在研究物体受力后的平衡状态时，
可以不考虑物体尺寸的改变。

在研究物体的应变时，可以赂去应变的乘积，因此，
在微小形变的情况下弹性理论中的微分方程将是线性的。

(5) 假设物体内无初应力一一认为物体是处于自然状态，即在载荷或温度变化等作用之前，物体内部没合应力。

也就是说，出弹性理论所求得的应力仅仅是由于载荷或温度变化等所产生的。

物体中初应力的性质及数值与物体形成的历史有
关。

若物体中有韧应力存在，则由弹性理论所求得的应力加上初应力才是物体中的实际应力。

上面基本假设中•假设(4)是属于几何假设，其他假设是属于物理假设。

3、举例说明各向同性的物体和各向异性的物体。

钢材由微小结晶体组成，晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为钢材是各向同性的。

木材是各异性的。

4、弹性力学和材料力学相比，其研究方法和对象有什么区别？ P3
弹性力学具体的研究对象主要为梁、校、坝体、无限弹性体等实体结构以及板、壳等受
力体。

在材料力学课程中，基本上只研究所谓杆状构件，也就是长度远大干高度和觅度的构
件。

这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移，是材料力学的主要研究内
容。

在材料力学中研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都还要引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大大简化了数学推演，但是，得出的解答有时只是近似的。

在弹性力学中研究杆状构件，一般都不必引用那些假定•因而
得出的结果就比较相确，并且可以用来校核材料力学中得出的近似解答
第二章
1. 什么是一点的应力状态？如何表示一点的应力状态？研究它的意义是什
么？一点的应力状态有几个应力分量决定？P10
一点处的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合
为了研究某一点处的应力状态，在此点处沿坐标轴x、y、z方向取一个微小的正六面体，如图2—2所示，6个面的外法线方向分别均3个坐标轴的正、负方向重合，各个面上的应力可进一步分解为1个正应力和2个剪应力。

6个面上的应力分量共合9个，即；x
，忌y，忌z ，"xy ，*xz ，^yx ，^yz ，^zx ，"zsy 0其中
x，
-y，-z是正应力分量，x，xz，yx，■ yz，■ zx，■ zsy是剪应力分量
以上九个分量按一定规则排列，令其中每一行为研究点在一个面上的3个应力分量，即
6 十巧
以上达9个应力分量定义了一个新的量■:,它描绘了一个点的应力状态
第三章
P32 4同第二章第五题、7
第四章
P40-41 2
6.进行低碳钢标准试件拉伸实验时，画出所得的拉伸应力应变曲线的大
致形状，并指出Q235低碳钢的比例限、流动限和强度
限的数值。

P36
应力应变曲线 比例限、：p 、流动限飞（屈服极限）和强度限
第五章
3•平向应力问题和平面应变问题的区别是什么 ？试行举两个实际中的典型平应 力
和平面应变问题的实例。

P44
两种平面问题的乎衡微分方程、几何方程相同，而物理方程有所差别
平面应力何題 平面应变问題
已知厭 未知慣 已知巅
M t
u r V w^O
应变 — c j *€jr 1『乃 e y * J
升・Cl F *十
帀 “ =J =4 F * r rjr "F J = o S =円（6 +心）
勢力 体为、面力的柞用商乎行于门刊平 Sb 外力祜板厚均布 徉力、血力的作用面輩行于平 面■外力
沿工轴方向无变化
=轴方向尺寸远小干板瓯尺寸 ＜礬厚 z 轴方向尺寸远大于皿丫平面内的 尺寸
（等載面檢柱体》
名 棘 1 「
淮本肓稗表达式 纂本方程
平衡儼分方程 学+学+ XF 臼工 3y 字+学+Y=0
*工 旳
几何方釋 占出 Hu t 3v
品J 』严亦必=测+亦
物理方程
平面应力问腳 平面炖变问麗
“=卡［町_呻訂 岸严
*［tr 厂冲］
v =玄
♦ G 耳=吉［旳一护 -冷吃 基平未期最
□亍心涎卩* Try 汕小
It 1 Tjy ^Tjr i E$ M K/（ 11/1* ）' *JB| "ja/'C 1 ~"鼬）F G| 图5-3a 和图5-3b 是典型实例
k 两昊羊面问聽的豪念
当物体的形狀和受力具有某些特征时，就能将境杂的三维空间问题简化为二燃平面 间题*平
面问题可分为平面应力和平面应变问題，图5-試話、图5-3( b )5＞别是典型例？＜ 这两类平面问题的一些特征见表5-2飞个基本未知瞇都仪是坐标工寸的函数。

图5-3平面应力和平面应变问題
第六章
1 •有限单元法的含义是什么 ？用有限单元位移法求解问题时有哪些基本步骤 P59
有限单元法是一种用于连续场分析的数值模拟技术，
有限单元法是综合现代数学、力学理论、计算方法、计算机技术等学科的最新知 识发展起来的一种新兴技术。

步骤如下：
屮
<b
）
(1) 将连续的求解域离散化，得到有限个单元，单元彼此之间仅靠节点相连；
(2) 选择位移模式，位移函数是单元上点的位移对点的坐标的函数，一般用单元内部点的坐标的多项式来表示，它只是近似地表示了单元内真实位移分布。

位移函数的阶次越高，计算精度越南；
(3) 计算单元刚度矩阵，并集合成结构总体刚度矩阵，
(4) 将非节点载荷等效移置到节点上，并形成结构总体裁荷列阵
(5) 引人约束条件，并求解线性方程组，求得节点位移：
(6) 计算应力、应变等导出量。

2. 有限单元法有有些优点和缺点？有限单元法可以对哪些学科的连续场进行分析？ P60
1. 有限单元法的优点
(1) 因为单元能按各种不同的连接方式组合在一起，旦单元本身又可以有不
同的形状。

所以，有限单元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解。

(2) 有限单元法的解题步骤可以系统化、标准化，能够开发出灵活通用的计算机程序，使得其能够广泛地应用于各种场合。

(3) 边界条件是在建立结构总体刚度方程后再引入的，边界条件和结构模型具有相对独立性，可以从其他CAD软件中导人创建好的模型。

(4) 有限单元法不需要适用于整个结构的插值函数，而是每个单元本身有各自的插值函数。

这就使得数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用。

(5) 有限单元法很容易处理非均匀连续介质。

⑹可以求解非线性问题。

(7) 可以进行锅台场分析。

(8) 有限单元法可以与优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。

2。

有限单元法的缺点
(1) 有限单兀计算，尤其是复杂冋题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当谅人的。

(2) 对无限求解城问题没有较好的处理方法。

(3) 尽管现有的有限元软件多数都使用了网格自适应技术，但在具体应用时，采用什么类型的单元、多大的网格密度等都要完全依赖于使用者的经验。

在实际应用中，经常采用网格密度加大一倍的办法，然后比较两次分析的结果来考察分析的密度，这势必进一步增大了计算资源的耗费量。

3. 有限单元法在机械工程中有哪些具体的应用？ P60
(1) 静力学分析，分析机械结构承受静载荷作用下的应力、应变和变形情况。

(2) 模态分析，分析结构的固有频率和振型。

(3) 动力学分析，包括谐响应分析和瞬态动力学分析，用于分析结构在随时间呈正弦规律或任意规律变化的载荷作用下的响应。

(4) 热应力分析，分析结构因温度分布不均而产生的热应力。

(5) 其他分析，例如：接触分析、压杆稳定性分析、结构一流体锅台分析等。