最新人教A版选修2-2高中数学强化训练第一章导数及其应用1.6微积分基本定理和答案

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【创新设计】2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用

1.6 微积分基本定理课时作业新人教版选修2-2

明目标、知重点

1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.

2.会利用微积分基本定理求函数的积分.

1.微积分基本定理

如果f(x)是区间a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么ʃb a f(x)d x=F(b)-F(a).

2.定积分和曲边梯形面积的关系

设曲边梯形在x轴上方的面积为S上,x轴下方的面积为S下,则

(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时,如图(1),则ʃb a f(x)d x=S上.

(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时,如图(2),则ʃb a f(x)d x=-S下.

(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时,如图(3),则ʃb a f(x)d x=S -S下,若S上=S下,则ʃb a f(x)d x=0.

情境导学]

从前面的学习中可以发现,虽然被积函数f(x)=x3非常简单,但直接用定积分的x3d x的值却比较麻烦.有没有更加简便、有效的方法求定积分呢?另定义计算ʃ1

外,我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分,这两个概念之间有没有内在的联系呢?我们能否利用这种联系求定积分呢?

探究点一微积分基本定理

问题你能用定义计算ʃ2

11

x

d x吗?有没有更加简便、有效的方法求定积分呢?

思考1 如下图,一个做变速直线运动的物体的运动规律是y=y(t),并且y(t)有连续的导数,由导数的概念可知,它在任意时刻t的速度v(t)=y′(t).设这个物体在时间段a,b]内的位移为s,你能分别用y(t),v(t)表示s吗?

答由物体的运动规律是y=y(t)知:s=y(b)-y(a),

通过求定积分的几何意义,可得s=ʃb a v(t)d t=ʃb a y′(t)d t,

所以ʃb a v(t)d t=ʃb a y′(t)d t=y(b)-y(a).其中v(t)=y′(t).

小结(1)一般地,如果f(x)是区间a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么ʃb a f(x)d x=F(b)-F(a).

这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式.

(2)运用微积分基本定理求定积分ʃb a f(x)d x很方便,其关键是准确写出满足F′(x)=f(x)的F(x).

思考2 对一个连续函数f(x)来说,是否存在唯一的F(x),使F′(x)=f(x)?若不唯一,会影响微积分基本定理的唯一性吗?

答不唯一,根据导数的性质,若F′(x)=f(x),则对任意实数c,F(x)+c]′=F′(x)+c′=f(x).

不影响,因为

ʃb a f(x)d x=F(b)+c]-F(a)+c]=F(b)-F(a)

例1 计算下列定积分:

(1)ʃ2

11

x

d x;(2)ʃ31(2x-

1

x2

)d x;(3)ʃ0-π(cos x-e x)d x.

解(1)因为(ln x)′=1 x ,

所以ʃ2

11

x

d x=ln x|21=ln 2-ln 1=ln 2.

(2)因为(x2)′=2x,(1

x

)′=-

1

x2

所以ʃ3

1(2x-

1

x2

)d x=ʃ312x d x-ʃ31

1

x2

d x

=x2|31+1 x |3

1

=(9-1)+(1

3

-1)=

22

3

.

(3)ʃ0

-π

(cos x-e x)d x=ʃ0-πcos x d x-ʃ0-πe x d x

=sin x|0-π-e x|0-π=

1

-1.

反思与感悟求简单的定积分关键注意两点:

(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则,正确求解被积函数的原函数,当原函数不易求时,可将被积函数适当变形后再求解;

(2)精确定位积分区间,分清积分下限与积分上限.

跟踪训练1 若S1=ʃ21x2d x,S2=ʃ211

x

d x,S3=ʃ21

e x d x,则S1,S2,S3的大小关系为

( )

A.S1<S2<S3B.S2<S1<S3 C.S2<S3<S1D.S3<S2<S1答案 B

解析S1=ʃ21x2d x=1

3

x3|2

1

7

3

S 2=ʃ2

1

1

x

d x=ln x|21=ln 2<1,

S 3=ʃ2

1

e x d x=e x|21=e2-e=e(e-1)>

7

3

.

所以S 2<S 1<S 3,选B.

探究点二 分段函数的定积分

例2 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪

sin x ,0≤x ≤π2

1,π

2≤x ≤2,

x -1,2≤x ≤4.

先画出函数图象,再求这个

函数在0,4]上的定积分. 解 图象如图.

ʃ40

f (x )d x =π20⎰sin x d x +π20

⎰1d x +42⎰(x -1)d x =(-cos x )|+x |+(12x 2

-x )|42

=1+(2-π2)+(4-0)=7-π

2

.

反思与感悟 求分段函数的定积分,分段标准是使每一段上的函数表达式确定,按照原分段函数的分段情况即可;对于含绝对值的函数,可转化为分段函数.

跟踪训练2 设f (x )=⎩⎨

x 2

, x ≤0,

cos x -1, x >0,

求ʃ1-1f (x )d x .

解 ʃ1-1

f (x )d x =ʃ0-1x 2d x +ʃ10(cos x -1)d x

=13x 3|0-1+(sin x -x )|1

0=sin 1-23. 探究点三 定积分的应用 例3 计算下列定积分: ʃπ0sin x d x ,ʃ

π

sin x d x ,ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论?试利用

曲边梯形的面积表示所发现的结论.

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