高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和 理(2021年最新整理)

2018版高考数学一轮复习第六章数列第3讲等比数列及其前n项和理编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第六章数列第3讲等比数列及其前n项和理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高考数学一轮复习第六章数列第3讲等比数列及其前n项和理的全部内容。

第3讲等比数列及其前n项和
一、选择题
1.错误!＋1与错误!－1两数的等比中项是（)
A．1 B．－1
C．±1 D.错误!
解析设等比中项为x,
则x2＝（错误!＋1)（错误!－1)＝1，即x＝±1。

答案 C
2．设｛a n}是任意等比数列，它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X，Y,Z,则下列等式中恒成立的是( ）．
A．X＋Z＝2Y B．Y（Y－X）＝Z(Z－X）
C．Y2＝XY D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
解析（特例法)取等比数列1,2,4,令n＝1得X＝1,Y＝3,Z＝7代入验算，选D.
答案D
3．已知等比数列{a n}为递增数列．若a1>0，且2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，则数列｛a n}的公比q＝（）．A．2 B.错误!C．2或错误!D．3
解析∵2（a n＋a n＋2)＝5a n＋1,∴2a n＋2a n q2＝5a n q，
化简得，2q2－5q＋2＝0，由题意知，q>1。

∴q＝2.
答案A
4．在正项等比数列｛a n}中,S n是其前n项和．若a1＝1，a2a6＝8，则S8＝
（）．
A．8 B．15（错误!＋1）
C．15(错误!－1）D．15（1－错误!)
解析∵a2a6＝a错误!＝8，∴a错误!q6＝8，∴q＝错误!,∴S8＝错误!＝15(错误!＋1)．
答案B
5．已知等比数列{a n｝的前n项和S n＝t·5n－2－错误!，则实数t的值为( )．A．4 B．5 C。

错误! D。

错误!
解析∵a1＝S1＝错误!t－错误!,a2＝S2－S1＝错误!t,a3＝S3－S2＝4t，∴由｛a n}是等比数列知错误!2＝错误!·4t,显然t≠0,所以t＝5。

答案B
6．在由正数组成的等比数列{a n｝中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7）的值为（)．
A.错误!B。

错误!C．1 D．－错误!
解析因为a3a4a5＝3π＝a错误!，所以a4＝3错误!.
log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7）＝log3a7，4＝7log33错误!＝错误!，所以sin（log3a1＋log3a2＋…＋log3a7）＝错误!。

答案B
二、填空题
7．设1＝a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3，a5,a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列,则q的最小值是________．
解析设a2＝t，则1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3,由于t≥1,所以q≥max{t，t＋1，错误!｝故q的最小值是错误!。

答案3，3
8．在等比数列{a n｝中，若公比q＝4，且前3项之和等于21,则该数列的通项公式a n＝________。

解析由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，
所以数列｛a n}的通项公式a n＝4n－1。

答案4n－1
9．设f(x）是定义在R上恒不为零的函数,且对任意的实数x,y∈R，都有f（x）·f(y)＝f（x ＋y），若a1＝错误!,a n＝f(n）(n∈N*)，则数列{a n｝的前n项和S n的取值范围是________．解析由已知可得a1＝f（1）＝错误!,a2＝f(2）＝［f（1）]2＝错误!2，a3＝f(3）＝f(2)·f （1）＝［f（1）]3＝错误!3，…,a n＝f（n）＝[f(1)］n＝错误!n，
∴S n＝错误!＋错误!2＋错误!3＋…＋错误!n
＝错误!＝1－错误!n,
∵n∈N*，∴错误!≤S n<1。

答案错误!
10．等差数列{a n｝的首项为a1，公差为d，前n项和为S n，给出下列四个命题：①数列错误!为等比数列;②若a2＋a12＝2，则S13＝13；③S n＝na n－错误!d；④若d>0,则S n一定有最大值．其中真命题的序号是________（写出所有真命题的序号)．
解析对于①，注意到错误!＝错误!a n＋1－a n＝错误!d是一个非零常数，因此数列错误!是等比
数列，①正确．对于②，S13＝错误!＝错误!＝13,因此②正确．对于③,注意到S n＝na1＋错误!
d＝n［a n－(n－1）d]＋错误!d＝na n－错误!d,因此③正确．对于④，S n＝na
1
＋错误!d，d>0时，S n不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③。

答案①②③
三、解答题
11．已知等比数列{a n}中,a1＝错误!，公比q＝错误!。

（1）S n为{a n｝的前n项和,证明：S n＝错误!；
(2)设b n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a n，求数列｛b n}的通项公式．
解 (1)证明因为a n＝错误!×错误!n－1＝错误!，S n＝错误!＝错误!，所以S n＝错误!。

（2）b n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a n＝－(1＋2＋…＋n）＝－错误!.所以{b n｝的通项公式为
b n＝－错误!。

12．已知数列｛a n｝的前n项和为S n，在数列｛b n}中,b1＝a1,b n＝a n－a n－1（n≥2)，且a n＋S n＝n.
(1)设c n＝a n－1，求证：｛c n｝是等比数列；
（2）求数列｛b n}的通项公式．
(1)证明∵a n＋S n＝n，①
∴a n＋1＋S n＋1＝n＋1，②
②－①得a n＋1－a n＋a n＋1＝1，
∴2a n＋1＝a n＋1，∴2(a n＋1－1）＝a n－1，
∴错误!＝错误!.
∵首项c1＝a1－1,又a1＋a1＝1.
∴a1＝错误!，∴c1＝－错误!，公比q＝错误!。

∴{c n｝是以－错误!为首项，公比为错误!的等比数列．
(2)解由(1）可知c n＝错误!·错误!n－1＝－错误!n，
∴a n＝c n＋1＝1－错误!n。

∴当n≥2时，b n＝a n－a n－1＝1－错误!n－错误!
＝错误!n－1－错误!n＝错误!n.
又b1＝a1＝1
2
代入上式也符合,∴b n＝错误!n。

13．已知两个等比数列{a n｝,｛b n｝，满足a1＝a(a＞0),b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3。

(1)若a＝1，求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{a n}唯一，求a的值．
解(1)设数列｛a n｝的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q,b3＝3＋aq2＝3＋q2,由b
，b2，b3成等比数列得（2＋q）2＝2（3＋q2）．
1
即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋错误!，q2＝2－错误!.
所以数列｛a n}的通项公式为a n＝（2＋错误!)n－1或a n＝(2－错误!)n－1.
（2）设数列{a n｝的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a）(3＋aq2),得aq2－4aq＋3a－1＝0(*），由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程（*）有两个不同的实根．
由数列{a n}唯一,知方程(＊)必有一根为0,
代入(＊)得a＝错误!。

14．数列｛a n｝的前n项和记为S n,a1＝t，点(S n，a n＋1）在直线y＝3x＋1上，n∈N＊。

(1）当实数t为何值时，数列｛a n｝是等比数列．
（2）在(1)的结论下，设b n＝log4a n＋1，c n＝a n＋b n，T n是数列{c n}的前n项和，求T n.
解（1）∵点(S n，a n＋1)在直线y＝3x＋1上，
∴a n＋1＝3S n＋1，a n＝3S n－1＋1（n〉1，且n∈N*）．
∴a n＋1－a n＝3(S n－S n－1）＝3a n，∴a n＋1＝4a n(n〉1，n∈N＊)，a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1,∴当t＝1时，a2＝4a1，数列｛a n}是等比数列．
(2)在（1）的结论下，a n＋1＝4a n，a n＋1＝4n，b n＝log4a n＋1＝n，c n＝a n＋b n＝4n－1＋n，
∴T n＝c1＋c2＋…＋c n＝（40＋1）＋(41＋2)＋…＋（4n－1＋n）
＝(1＋4＋42＋…＋4n－1）＋(1＋2＋3＋…＋n）
＝错误!＋错误!。