高中数学人教A版必修一课件：第3章 几类不同增长的函数模型

[规律方法]常见的函数模型增长特点线性函数模型 线性函数模型 y＝kx＋bk>0的增长特点是直线上升，其增长速度不变 指数函数模型 指数函数模型 y＝axa>1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度 越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸” 对数函数模型 对数函数模型 y＝logaxa>1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速 度越来越慢，即增长速度平缓 幂函数模型 幂函数 y＝xnn>0的增长速度介于指数增长和对数增长之间
[解]
(1)C1 对应的函数为 g(x)＝x3，C2 对应的函数为 f(x)＝2x.
(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)， ∴1＜x1＜2,9＜x2＜10， ∴x1＜6＜x2,2 016＞x2. 从图象上可以看出，当 x1＜x＜x2 时，f(x)＜g(x)， ∴f(6)＜g(6)； 当 x＞x2 时，f(x)＞g(x)， ∴f(2 016)＞g(2 016)． 又 g(2 016)＞g(6)， ∴f(2 016)＞g(2 016)＞g(6)＞f(6)．
关于 x 呈指数函数变化的变量是________. 【导学号：37102372】
y2 [以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量 y1， y2，y3，y4 均是从 2 开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2 的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量 y2 关于 x 呈指数型函数 变化．故填 y2.]
指数函数、对数函数与幂函数模型的比较
函数 f(x)＝2x 和 g(x)＝x3 的图象如图所示， 设两函数的图象交于点 A(x1， y1)，B(x2，y2)，且 x1＜x2. (1)请指出图 322 中曲线 C1，C2 分别对应的函数；
图 322 (2)结合函数图象，判断 f(6)，g(6)，f(2 016)，g(2 016)的大小．
第三章
函数的应用
3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型
学习目标：1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)2.区分指数函 数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点)3.会选择适当的函数模型分 析和解决一些实际问题．(难点)
[自 主 预 习· 探 新 知]
三种函数模型的性质 y＝ax(a>1) 在(0，＋∞) 上的增减性 y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．下列函数中随 x 的增大而增大且速度最快的是( A．y＝ex B．y＝ln x
)
C．y＝x2 D．y＝e－x A [结合指数函数，对数函数及一次函数的图象变化趋势可知 A 正确．]
3．某工厂 8 年来某种产品总产量 C 与时间 t(年)的函数关系如图 321 所示．
xx>xn>log a x x ②存在一个x0，当x>x0时，有a >x——na >log
[基础自测] 1．思考辨析 (1)函数 y＝x2 比 y＝2x 增长的速度更快些．( (3)函数 y＝log1 x 衰减的速度越来越慢．( 2 ) ) ) (2)当 a>1， n>0 时， 在区间(0， ＋∞)上， 对任意的 x， 总有 logax<xn<ax 成立． (
[跟踪训练] 1．四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如表： x y1 y2 y3 y4 1 2 2 2 2 5 26 32 10 4.322 10 101 1 024 20 5.322 15 226 37 768 30 5.907 20 401 1.05×106 40 6.322 25 626 3.36×107 50 6.644 30 901 1.07×109 60 6.907
(1)A (2)C [(1)指数函数 y＝ax，在 a>1 时呈爆炸式增长，并且随 a 值的增大， 增长速度越快，应选 A.
(2)观察函数 可知：
f(x)＝log1 x ， g ( x ) ＝ 2 2
1x
与 h(x)＝x 在区间(0，＋∞)上的图象(如图)
1 － 2
函数 f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快， 但递减速度逐渐变慢； 在区间(1， ＋∞) 上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数 g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减 较慢，且递减速度越来越慢；函数 h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减 速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．]
增函数 增函数
增函数 增函数
增函数 增函数
随n值而不同
图象的变化 随x增大逐渐近似与y 随x增大逐渐近似与 趋势
y 轴 平行 轴——
x轴轴平行 x——
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快 越来越快，会远远大 增长速度
越来越慢 于y＝xn(n>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢
图 321
以下四种说法： ①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第 三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变． 其中说法正确的序号是________. 【导学号：37102371】
②④ [结合图象可知②④正确，故填②④.]
[合 作 探 究· 攻 重 难]
几类函数模型的增长差异
(1)下列函数中，增长速度最快的是( A．y＝2 018x C．y＝log2 018x B．y＝x2 018 D．y＝2 018x )
(2)下面对函数 说法正确的是(
1x 1 f(x)＝log2x，g(x)＝ 2 与
h(x)＝x 在区间(0，＋∞)上的递减情况
1 － 2
)
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢 B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快 C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越慢 D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快