九年级中考数学考点提升训练:二次函数图像与系数的关系(三)(Word版,带答案)
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九年级中考数学考点提升训练——函数专题:
二次函数图像与系数的关系(三)
1.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标(1,n),抛物线与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),则下列结论:①a+b+c>0;
②对于任意实数m,a+b≥am2+bm总成立;③关于x的方程ax2+bx+c=n有两个相
等的实数根;④﹣1≤a≤﹣,其中结论正确个数为()
A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个
2.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①b2﹣4ac>0;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3:③3a+c>0;④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3;
⑤当x<0时,y随x增大而增大,其中结论正确的个数是()
A.4个B.3个C.2个D.1个
3.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(﹣3,0),其对称轴为直线x=﹣,结合图象分析下列结论:
①abc>0;
②3a+c>0;
③当x<0时,y随x的增大而增大;
④<0;
⑤若m,n(m<n)为方程a(x+3)(x﹣2)+3=0的两个根,则m<﹣3且n>2.
其中正确的结论有()
A.5个B.4个C.3个D.2个
4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的对称轴是直线x=1,其图象的一部分如图所示,下列说法中:①abc<0;②2a+b=0;③当﹣1<x<3时,y >0;④a﹣b+c<0;⑤2c﹣3b>0.其中正确结论的个数是()
A.2 B.3 C.4 D.5
5.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=﹣1,且经过点(﹣3,0).下列结论:
①abc<0;
②若(﹣4,y1)和(3,y2)是抛物线上两点,则y1>y2;
③a+b+c<0;
④对于任意实数m,均有am2+bm+c≥﹣4a.
其中正确的结论的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的抛物线的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,以下结论:①abc<b2;②方程ax2+bx+c =0的两根是x1=﹣1,x2=3;③3a+c>0;④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x≤3;
⑤当x<0时,y随x的增大而增大.其中正确个数是()
A.4 B.3 C.2 D.1
7.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4,0),其对称轴为直线x=1,结合图象给出下列结论:
①abc<0;
②4a﹣2b+c=0;
③当x>1时,y随x的增大而增大;
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个实数根.
其中正确的结论有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:
①abc>0;
②2a﹣b=0;
③9a+3b+c>0;
④c<﹣3a;
⑤a+b≥m(am+b),
其中正确的有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
9.如图所示是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,那么下列说法中不正确的是()
A.ac<0
B.抛物线的对称轴为直线x=1
C.a﹣b+c=0
D.点(﹣2,y1)和(2,y2)在抛物线上,则y1>y2
10.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣3,0),其对称轴为直线x=﹣1,有下列结论:①abc<0;②a+b+c<0;③5a+4c<0;④4ac﹣b2>0;⑤若P(﹣5,y
),Q(m,y2)是抛物线上两点,且y1>y2,则实数m的取值范围是﹣5<m<3.其1
中正确结论的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
11.抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣2,0),且对称轴为直线x=1,其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论:
①b=2a;
②4a+2b+c>0;
③若n>m>0,则x=1+m时的函数值小于x=1﹣n时的函数值;
④点(,0)一定在此抛物线上.
其中正确结论的个数是()
A.4个B.3个C.2个D.1个
12.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴是直线x=1,则以下四个结论中:①abc>0,②2a+b=0,③4a+b2<4ac,④3a+c<0.正确的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
13.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线x=﹣1.则下列选项中正确的是()
A.abc<0
B.4ac﹣b2>0
C.c﹣a>0
D.当x=﹣n2﹣2(n为实数)时,y≥c
14.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,与x轴的一个交点坐标为(4,0),抛物线的对称轴是x=1.下列结论中:①abc>0;②2a+b=0;③方程ax2+bx+c =2有两个不相等的实数根;④4a﹣2b+c=0;⑤若点A(m,n)在该抛物线上,则am2+bm+c≤a+b+c,其中正确的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
15.已知二次函数y=2x2﹣bx+1,当x<1时,y随x的增大而减小,则实数b的取值范围为()
A.b≤4 B.b≥2 C.b≤2 D.b≥4
16.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其对称轴为x=1,有下列结论
①abc<0;②b<a+c;③4a+2b+c<0;④a+b≥m(am+b),
其中正确的结论有()
A.①②B.②③C.①④D.②④
17.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,对称轴为x=,且经过点(2,0).下列说法:
①abc<0;②﹣2b+c=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣,y1),(,y2)是抛物线
上的两点,则y1<y2;⑤b>m(am+b)(其中m≠).
其中说法正确的是()
A.①②④⑤B.①②④C.①④⑤D.③④⑤
18.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有如下结论:
①abc>0;
②2a+b=0;
③3b﹣2c<0;
④am2+bm≥a+b(m为实数).
其中正确结论的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
19.如图,抛物线y1=a(x+2)2﹣3与y2=(x﹣3)2+1交于点A(1,3),过点A 作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结论:①无论x取何值,y2的值总是正数;②2a=1;③当x=0时,y2﹣y1=4;④2AB=3AC;其中正确结论是()
A.①②B.②③C.③④D.①④
20.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=﹣1,且过点,有下列结论:其中正确的结论是()
①abc>0;
②a﹣2b+4c>0;
③2a+b=0;
④3b+2c>0.
A.①③B.①④C.①②D.②④
参考答案
1.解:由图象可知,当x=1时,y>0,
∴a+b+c>0,所以①正确;
∵抛物线的顶点坐标(1,n),
∴x=1时,二次函数值有最大值n,
∴a+b+c≥am2+bm+c,
即a+b≥am2+bm,所以②正确;
∵抛物线的顶点坐标(1,n),
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n有一个交点,
∴关于x的方程ax2+bx+c=n有两个相等的实数根,所以③正确;
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),
∴a﹣b+c=0,
∵b=﹣2a,
∴a+2a+c=0,
∴c=﹣3a,
∵2≤c≤3,
∴2≤﹣3a≤3,
∴﹣1≤a≤﹣,所以④正确;
故选:D.
2.解:①由图象可知:抛物线与x轴有两个交点,
∴△=b2﹣4ac>0,故①正确;
②(﹣1,0)关于直线x=1的对称点为(3,0),
∴ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3,故②正确;
③对称轴为x=1,
故﹣=1,
∴b=﹣2a,
∵x=﹣1时,y=0,
∴a﹣b+c=0,即3a+c=0,故③错误;
④当y>0时,由图象可知:﹣1<x<3,故④错误;
⑤当x<1时,y随着x的增大而增大,故⑤正确;
故选:B.
3.解:由抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(﹣3,0),其对称轴为直线x=﹣可得,
9a﹣3b+c=0,﹣=﹣,即a=b,与x轴的另一个交点为(2,0),4a+2b+c =0,
抛物线开口向下,a<0,b<0,
抛物线与y轴交于正半轴,因此c>0,
所以,abc>0,因此①正确;
由9a﹣3b+c=0,而a=b,
所以6a+c=0,又a<0,
因此3a+c>0,所以②正确;
抛物线的对称轴为x=﹣,a<0,因此当x<﹣时,y随x的增大而增大,所以③不正确;
由于抛物线的顶点在第二象限,所以>0,因此<0,故④正确;
抛物线与x轴的交点为(﹣3,0)(2,0),
因此当y=﹣3时,相应的x的值应在(﹣3,0)的左侧和(2,0)的右侧,
因此m<﹣3,n>2,所以⑤正确;
综上所述,正确的结论有:①②④⑤,
故选:B.
4.解:∵抛物线开口向下,则a<0.
对称轴在y轴右侧,a、b异号,则b>0.
抛物线与y轴交于正半轴,则c>0,
∴abc<0,故①正确;
∵抛物线的对称轴是直线x=1,则﹣=1,b=﹣2a,
∴2a+b=0,故②正确;
由图象可知,抛物线与x轴的左交点位于0 和﹣1 之间,在两个交点之间时,y>0,在x=﹣1 时,y<0,故③错误;
当x=﹣1 时,有y=a﹣b+c<0,故④正确;
由2a+b=0,得a=﹣,代入a﹣b+c<0得﹣+c<0,两边乘以2 得2c﹣3b <0,故⑤错误.
综上,正确的选项有:①②④.
所以正确结论的个数是3个.
故选:B.
5.解:∵二次函数的图象开口向上,
∴a>0,
∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点,
∴c<0,
∵对称轴是直线x=﹣1,
∴﹣=﹣1,
∴b=2a>0,
∴abc<0,故①正确;
∵(﹣4,y1)关于直线x=﹣1的对称点的坐标是(2,y1),
又∵当x>﹣1时,y随x的增大而增大,2<3,
∴y1<y2,故②错误;
∵抛物线的对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0),
∴抛物线与x轴另一交点为(1,0).
∴当x=1时,y=a+b+c=0,故③错误;
∵当x=1时,y=a+b+c=0,b=2a,
∴c=﹣3a,
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1,
∴当x=﹣1时,y有最小值,
∴am2+bm+c≥a﹣b+c(m为任意实数),
∴am2+bm+c≥﹣4a,故④正确,
故结论正确有2个.
故选:B.
6.解:∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵对称轴在y轴的右侧,
∴﹣>0,
∴b>0,
∵抛物线交y轴的正半轴,
∴c>0,
∴abc<0,
∴abc<b2,故①正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
而点(﹣1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3,故②正确;
∵x=﹣=1,即b=﹣2a,
而x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0,
∴a+2a+c=0,即3a+c=0,故③错误;
由②得,方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3,
∴抛物线与x轴的交点坐标为(﹣1,0),(3,0),
又抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,
∴当y>0时,x的取值范围是﹣1<x<3,故④错误;
当x<时,y随x的增大而增大,故⑤正确;
因此正确的结论有3个.
故选:B.
7.解:抛物线开口向上,则a>0,对称轴x=﹣=1,则b=﹣2a<0.与y轴交于负半轴,则c<0,故abc>0,所以①错误;
抛物线对称轴为x=1,与x轴的一个交点为(4,0),则另一个交点为(﹣2,0),于是有4a﹣2b+c=0,所以②正确;
x>1时,y随x的增大而增大,所以③正确;
抛物线与x轴有两个不同交点,因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,所以④错误;
综上所述,正确的结论有:②③,
故选:B.
8.解:①∵对称轴在y轴的右侧,
∴ab<0,
由图象可知:c>0,
∴abc<0,
故①不正确;
②∵x=﹣=1,
∴b=﹣2a,
∴2a+b=0,
故②不正确;
③由对称知,当x=3时,函数值小于0,即y=9a+3b+c<0,
故③不正确;
④∵b=﹣2a,a﹣b+c<0,
∴a+2a+c<0,
∴3a<﹣c,即c<﹣3a,
故④正确;
⑤当x=1时,y=a+b+c值最大.
∴a+b+c≥am2+bm+c,
故a+b≥am2+bm,即a+b≥m(am+b),
故⑤正确.
故④⑤正确.
故选:A.
9.解:A、∵抛物线开口向上,交y轴的负半轴,∴a>0,c<0,
∴ac<0,故A正确;
B、∵抛物线经过点(﹣1,0)和点(2,0),
∴抛物线的对称轴为直线x==,故B不正确;
C、当x=1时,y=a﹣b+c=0,故C正确;
D、点(﹣2,y
)和(2,y2)在抛物线上,
1
∵y1>0,y2=0,
∴y1>y2,故D正确;
故选:B.
10.解:①观察图象可知:
a>0,b>0,c<0,∴abc<0,
∴①正确;
②当x=1时,y=0,即a+b+c=0,
∴②错误;
③对称轴x=﹣1,即﹣=﹣1
得b=2a,
当x=时,y<0,
即a+b+c<0,
即a+2b+4c<0,
∴5a+4c<0.
∴③正确;
④因为抛物线与x轴有两个交点,
所以△>0,即b2﹣4ac>0,
∴4ac﹣b2<0.
∴④错误;
⑤∵(﹣5,y1)关于直线x=﹣1的对称点的坐标是(3,y1),
∴当y1>y2时,﹣5<m<3.
∴⑤正确.
故选:C.
11.解:∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴﹣=1,
∴b=﹣2a,故①错误;
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
而点(﹣2,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(4,0),∵抛物线开口向下,
∴当x=2时,y>0,
∴4a+2b+c>0,故②正确;
∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,
∴横坐标是1﹣n的点的对称点的横坐标为1+n,
∵若n>m>0,
∴1+n>1+m,
∴x=1+m时的函数值大于x=1﹣n时的函数值,故③错误;
∵b=﹣2a,
∴抛物线为y=ax2﹣2ax+c,
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣2,0),
∴4a+4a+c=0,即8a+c=0,
∴c=﹣8a,
∴﹣=4,
∵点(﹣2,0)的对称点是(4,0),
∴点(﹣,0)一定在此抛物线上,故④正确,
故选:C.
12.解:①根据抛物线开口向下可知:a<0,
因为对称轴在y轴右侧,
所以b>0,
因为抛物线与y轴正半轴相交,
所以c>0,
所以abc<0,
所以①错误;
②因为抛物线对称轴是直线x=1,
即﹣=1,
所以b=﹣2a,
所以b+2a=0,
所以②正确;
③因为b=﹣2a,
由4a+b2<4ac,得
4a+4a2<4ac,
∵a<0,
∴c<1+a,
根据抛物线与y轴的交点,c>1,
所以③错误;
④当x=﹣1时,y<0,
即a﹣b+c<0,
因为b=﹣2a,
所以3a+c<0,
所以④正确.
所以正确的是②④2个.
故选:B.
13.解:由图象开口向上,可知a>0,
与y轴的交点在x轴的上方,可知c>0,
又对称轴方程为x=﹣1,所以﹣<0,所以b>0,
∴abc>0,故A错误;
∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A,B两点,
∴b2﹣4ac>0,
∴4ac﹣b2<0,故B错误;
∵﹣=﹣1,
∴b=2a,
∵当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,
∴a﹣2a+c<0,
∴c﹣a<0,故C错误;
当x=﹣n2﹣2(n为实数)时,y=ax2+bx+c=a(﹣n2﹣2)2+b(﹣n2﹣2)+c=an2(n2+2)+c,
∵a>0,n2≥0,n2+2>0,
∴y=an2(n2+2)+c≥c,故D正确,
故选:D.
14.解:由图象可得,
a<0,b>0,c>0,
∴abc<0,故①错误,
﹣=1,则b=﹣2a,故2a+b=0,故②正确;
抛物线与直线y=2有两个交点,故方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根,故③正确;
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(4,0),抛物线的对称轴是x=1,
∴该抛物线与x轴的另一个交点为(﹣2,0),
∴当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c=0,故④正确;
∵当x=1时,该函数取得最大值,此时y=a+b+c,
∴点A(m,n)在该抛物线上,则am2+bm+c≤a+b+c,故⑤正确;
故选:D.
15.解:∵y=2x2﹣bx+1,
∴对称轴为x=,
∵当x<1时,y随x的增大而减小,
∴≥1,
∴b≥4,
故选:D.
16.解:①根据图象可知:
a<0,c>0,对称轴在y轴左侧,∴b>0,
∴abc<0.
∴①正确;
②根据图象可知:当x=﹣1时,y<0,
即a﹣b+c<0,即b>a+c.
∴②错误;
③观察图象可知:当x=2时,y>0,
即4a+2b+c>0.
∴③错误.
④∵当x=1时,顶点的纵坐标最大,
∴a+b+c≥am2+bm+c,
∴a+b≥m(am+b),
∴④正确.
所以①④,2个.
故选:C.
17.解:①∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线对称轴为x=﹣=,
∴b=﹣a>0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
∴abc<0,
所以①正确;
②∵对称轴为x=,且经过点(2,0),
∴抛物线与x轴的另一个交点为(﹣1,0),
∴=﹣1×2=﹣2,
∴c=﹣2a,
∴﹣2b+c=2a﹣2a=0
所以②正确;
③∵抛物线经过(2,0),
∴当x=2时,y=0,
∴4a+2b+c=0,
所以③错误;
④∵点(﹣,y1)离对称轴要比点(,y2)离对称轴远,∴y1<y2,
所以④正确;
⑤∵抛物线的对称轴x=,
∴当x=时,y有最大值,
∴a+b+c>am2+bm+c(其中m≠).
∵a=﹣b,
∴b>m(am+b)(其中m≠),
所以⑤正确.
所以其中说法正确的是①②④⑤.
故选:A.
18.解:①∵对称轴在y轴右侧,
∴a、b异号,
∴ab<0,
∵c<0,
∴abc>0,
故①正确;
②∵对称轴x=﹣=1,
∴2a+b=0;
故②正确;
③∵2a+b=0,
∴a=﹣b,
∵当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,
∴﹣b﹣b+c>0,
∴3b﹣2c<0,
故③正确;
④根据图象知,当x=1时,y有最小值;
当m为实数时,有am2+bm+c≥a+b+c,
所以am2+bm≥a+b(m为实数).
故④正确.
本题正确的结论有:①②③④,4个;
故选:D.
19.解:∵y2=(x﹣3)2+1,
∴y2的最小值为1,所以①正确;
把A(1,3)代入y1=a(x+2)2﹣3得a(1+2)2﹣3=3,∴3a=2,所以②错误;
当x=0时,y1=(x+2)2﹣3=﹣,y2=(x﹣3)2+1=,
∴y2﹣y1=+=,所以③错误;
抛物线y1=a(x+2)2﹣3的对称轴为直线x=﹣2,抛物线y2=(x﹣3)2+1的对称轴为直线x=3,
∴AB=2×3=6,AC=2×2=4,
∴2AB=3AC,所以④正确.
故选:D.
20.解:由抛物线的对称性,可知抛物线与x轴的另一个交点为(﹣,0),
①由图象可得,开口向下,则a<0,
对称轴x=﹣=﹣1,
∴b=2a<0,
抛物线与y轴的交点c>0,
∴abc>0;
②∵抛物线与x轴的交点为,(﹣,0),
∴=﹣,
∴c=﹣a,
∴a﹣2b+4c=a﹣4a﹣5a=﹣8a>0;
③2a+b=2a+2a=4a<0;
④3b+2c=6a﹣a=a<0;
∴①②正确;
故选:C.。