第三章第一节微分中值定理

f (a)
f ( )
.
g(b) g(a) g( )
当 g(x) x, g(b) g(a) b a, g(x) 1,
f (b) f (a) f ( ) g(b) g(a) g( )
f (b) f (a) f ( ).
ba
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明 :
证 作辅助函数
(x) f (x) f (a) f (b) f (a) [g(x) g(a)].
g(b) g(a)
( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点, 使得 () 0.
即 f ( ) f (b) f (a) g( ) 0,
g(b) g(a)
f (b)
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a) f (b).
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
五、证明下列不等式：
1、 arctana arctanb a b ；
2、当x 1时，e x ex .
六、设函数 y f ( x) 在x 0 的某邻域内且有n 阶导数，
且 f (0) f (0) f (n1) (0)试用柯西中值定理
证明： f ( x) f (n) (x)，（0 1 ）.
f (b) f (a) f ' ( )(b a)
成立. 注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
xn
n!
七、设 f ( x)在[a, b ]内上连续，在(a, b )内可导，若
0 a b ,则在(a, b )内存在一点 ，使
af (b) bf (a) [ f ( ) f ( )](a b)] .
二、试证明对函数 y px 2 qx r 应用拉氏中值定理
时所求得的点 总是位于区间的正中间 . 三、证明等式arcsin 1 x2 arctan x
1 x2 2 ( x (0,1) ) . 四、设a b 0 ，n 1 ，证明
nb n1 (a b) a n bn na n1 (a b) .
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
1 1 1,
1 x 1
x x x, 1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
三、柯西(Cauchy)中值定理
如果函数f(x)与g(x)满足
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3) 在开区间 ( a , b ) 内
则至少存在一点
使
f (b) f (a) f ( ) . g(b) g(a) g( )
分析 上述不等式可以写成：
x 0 ln(1 x) ln(1 0) x 0. 1 x
它是函数y=ln(1+x)的点０和点x函数值差 与x-0的一个不等式关系
所以可以考虑函数f(x)=ln(1+x)和区间[0,x]
例3 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f ( x) ln(1 x),
思考题
试举例说明拉格朗日中值定理的条件 缺一不可.
思考题解答
x2, 0 x 1
f1
(
x
)
3,
x1
不满足在闭区间上连续的条件；
f2 ( x)
1 x
,
x [a,b]
且 ab 0
不满足在开区间内可微的条件；
以上两个都可说明问题.
练习题
一、 填空题： 1、函数 f ( x) x4在区间[1,2]上满足拉格朗日中值 定理，则ξ=_______. 2、设 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ， 方 程 f ( x) 0有____________个根，它们分别在区间 _____________上. 3、罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是 _________________. 4、 微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的 _______与函数在这区间内某点处的_______之间 的关系. 5、如果函数 f ( x)在区间 I 上的导数__________，那 么 f ( x)在区间 I 上是一个常数.
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y x , x [2,2];
在 [2,2] 上除 f (0) 不存在外,满足罗尔定理 的一切条件, 但在区间 [-2，2]内找不到一点能
使 f (x) 0.
又如,
x, x (1,1]; y 1, x 1
在(-1,1)内可导,y’=1，且y(-1)=y(1)=1,但它在
拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
推论 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数.
证明 对任意的 x1 , x2 ，I不妨设 x1 x2
在区间 [x1, x2上] 用拉格朗日中值定理得：
f (x2 ) f (x1 ) f ( )(x2 x1 ) ( x1 x2 )
F ( x) 满足罗尔定理的条件, 且导数
F ( x) f ( x) f (b) f (a) ba
则在(a, b)内至少存在一点, 使得 F () 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
拉格朗日中值公式
设 f ( x)在 [a,b] 上连续，在 (a,b)内可导,
o a 1
y f (x) B
D
2 b x
旋转
此时，Roll定理中条 y
件f(a)=f(b)不满足了.
C
y f (x) B
但是过C点的切线还 A
是平行于弦AB.
o a 1
D
2 b
x
过C点的切线平行于 弦AB.
弦AB的斜率为
yHale Waihona Puke CAo a 1
f (b) f (a) kAB b a .
过C点的切线斜率为导数 f ( )
ba
如果能够估计导数 f ( ) 的大小，比如
m f ( ) M
则有
m f (b) f (a) M ba
上述不等式是一个关于函数在a，b两点的函 数值之差与自变量之差的关系的不等式。
所以当遇到此类不等式的证明时，可 以考虑使用拉格朗日中值定理证明。
例3 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
由已知 f ( ) 0 得
f ( x2 ) f ( x1 ) 0
所以f(x)在区间Ｉ上任意两点的函数值都相等
故f(x)在区间I上是一个常数.
例2 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
x0 , x0 x (a, b), 则有
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) x (0 1). 也可写成 y f ( x0 x) x (0 1).
增量y的精确表达式.
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
第一节 微分中值定理
➢一、罗尔(Rolle)定理 ➢二、拉格朗日中值定理 ➢三、柯西中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x)满足以下条件 （1）在闭区间 [a, b]上连续, （2）在开区间(a, b)内可导, （3）且在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b), 那 末 在 (a, b) 内 至 少 有 一 点 (a b) , 使 得 函 数 f ( x)在该点的导数等于零，即
x=-1处不连续．
例２ 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
由零点存在定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0.
但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
二、拉格朗日R(oLll定ag理r的a本n质g是e存)中在 值定理
y
切线平行于弦AB
C A
至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
证 分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g(x) x2 ,
则 f ( x), g( x) 在[0,1]上满足柯西中值定理的条件,
在(0,1)内至少存在一点, 有
故有：
f ( ) f (b) f (a) .
ba
y f (x) B
D
2 b
x
于是有拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x) （1）在闭区间[a, b]上连续, （2）在开区间(a, b)内可导, 那末在(a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f '( ) 0
几何解释:
在曲线弧AB上至少有一 点C , 在该点处的切线是 水平的.
y
C
y f (x)
o a 1
2 b x
证 f ( x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M . 由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0. (2) 若 M m. f (a) f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a),
f()
lim
x 0
f
(
x) x
f
()
0;
f ()存在,
f() f(). f ( ) 0.
例1 验证罗尔定理对 f (x) x2 2x 3 在 区间[1，3]上的正确性. 解 显然f (x)在[1,3]上连续,在(1,3)内可导，
且 f (1) 0, f (3) 0.
又 f (x) 2(x 1) 取 1, (1(1,3)), 则f ( ) 0.
则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) M .
f ( x) f (), f ( x) f () 0,
若 x 0, 则有 f ( x) f () 0; x
若 x 0, 则有 f ( x) f () 0; x
f()
lim
x 0
f (
x) x
f ()
0;
f ( x)
1 (
1 x2
1 1 x 2 ) 0.(x (1,1))
f ( x) C, x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 22
即C . 2
arcsin x arccos x . 2
利用拉氏定理证明不等式：
对于中值公式： f (b) f (a) f ( )
f (1) f (0) f ()
10
2
即 f () 2[ f (1) f (0)].
小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
Rolle f (a) f (b) Lagrange F( x) x Cauchy
定理
中值定理
中值定理
注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.