(东营专版)2019年中考数学复习 第四章 几何初步与三角形 第四节 等腰三角形练习

第四节等腰三角形
姓名：_______ 班级：________ 用时：______分钟
1．(2017·南充中考)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( )
A．(1，1) B．(3，1)
C．(3，3) D．(1，3)
2．(2019·易错题)若实数m，n满足|m－2|＋n－4＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是( )
A．12 B．10
C．8 D．10或8
3.如图，△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝30°，且AD＝AE，则∠EDC等于( )
A．10° B．12.5°C．15° D．20°
4．(2019·易错题)等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
5．下列三角形，不一定是等边三角形的是( )
A．有两个角等于60°的三角形
B．有一个外角等于120°的等腰三角形
C．三个角都相等的三角形
D．边上的高也是这边的中线的三角形
6．(2018·湘潭中考)如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝__________．
7．(2018·淮安中考)若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于________°.
8．(2018·娄底中考)如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3 cm，则BF＝______cm.
9．(2018·嘉兴中考)已知：在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．
10．(2017·武汉中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
11．(2019·改编题)如图，△ABC 是等边三角形，△ABD 是等腰直角三角形，∠BAD＝90°，AE⊥BD 于点E ，连接CD 分别交AE ，AB 于点F ，G ，过点A 作AH⊥CD 交BD 于点H.则下列结论：①∠ADC＝15°；②AF ＝AG ；③AH＝DF ；④AF＝(3－1)EF.其中正确结论的个数为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
12．(2018·吉林中考)我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k ，若k ＝1
2
，则该等腰三角形的顶角为________度．
13．已知：如图，△ABC 中，BO ，CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，过O 点的直线分别交AB ，AC 于点D ，E ，且DE∥BC.若AB ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，则△ADE 的周长为______________．
14．如图，已知△ABC，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BC 的中点为M ，ME∥AD，交BA 的延长线于点E ，交AC 于点F. (1)求证：AE ＝AF ； (2)求证：BE ＝1
2
(AB ＋AC)．
15．(2019·创新题)数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)
例2 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题；
变式：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．
(1)请你解答以上的变式题；
(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC 中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
参考答案
【基础训练】
1．D 2.B 3.C 4.D 5.D 6．30° 7.65 8.6
9．证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E ，F ， ∴∠AED＝∠CFD＝90°. ∵D 为AC 的中点，∴AD＝DC. 在Rt△ADE 和Rt△CDF 中，
⎩
⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DF ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)， ∴∠A＝∠C，∴BA＝BC. ∵AB＝AC ，∴AB＝BC ＝AC ， ∴△ABC 是等边三角形． 【拔高训练】 10．D 11.B 12．36 13.14 cm
14．证明：(1)∵DA 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. ∵AD∥EM，∴∠BAD＝∠AEF，∠CAD＝∠AFE， ∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF.
(2)如图，作CG∥EM，交BA 的延长线于G.
∵EF∥CG，∴∠G＝∠AEF，∠ACG＝∠AFE. ∵∠AEF＝∠AFE，∴∠G＝∠ACG， ∴AG＝AC.
∵BM＝CM ，EM∥CG，∴BE＝EG ， ∴BE＝12BG ＝12(BA ＋AG)＝1
2(AB ＋AC)．
【培优训练】
15．解：(1)若∠A 为顶角，则∠B＝(180°－∠A)÷2＝50°； 若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°；
若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B＝80°. 故∠B＝50°或20°或80°. (2)分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A 只能为顶角， ∴∠B 的度数只有一个； ②当0＜x ＜90时，
若∠A 为顶角，则∠B＝(180－x
2
)°；
若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B＝(180－2x)°； 若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B＝x°. 当
180－x 2≠180－2x 且180－2x≠x 且180－x
2
≠x， 即x≠60时，∠B 有三个不同的度数．
综上所述，可知当0＜x ＜90且x≠60时，∠B 有三个不同的度数．。