力法习题

B
X1
X2
基本体系
h
B 1 A
B
X 2＝ 1
b
X 1＝ 1
M1图
A
b
M2图
h/l
1/l
（4）将系数和自由项代入力法方程，求得X1、X2。 （5）求弯矩
M M 1 X1 M 2 X 2
• 例：图(a)所示超静定梁，设支座A发生转角θ，求作 梁的弯矩图。已知梁的EI为常数。 • 【解】(1) 选取基本结构，原结构为一次超静定梁， • 选取图(b)所示悬臂梁为基本结构。 • (2) 建立力法方程 原结构在B处无竖向位移， • 可建立力法方程如下： • δ11X1+Δ1C=0
198
转回叠加弯矩图
例
利用对称性计算图示刚架，并作M图。
解：１）将荷载分组
２）正对称荷载作用下 d11=128/3EI D1P =-80/EI x1 = - D1P /d11 = 1.875 MBC = MBC` = 47.5 kNm (上侧受拉)
３） 反对称荷载下的计算： d22=704/3EI D2P =-2240/EI x2 = - D2P /d22 = 9.545 MBC =-1.82 kNm (上侧受拉) MBC` = 1.82 kNm (下侧受拉) MBA =-3.64 kNm (右侧受拉)
L
基本体系
M1 图
由M1图、MP图乘求 系数和自由项：
2 1 2 2 L3 11 ( L L L) EI 2 3 3EI
B
` CC
B `
A
A `
1P
5FP L3 2 1 FP L L 5 ( L) EI 2 2 2 计算杆端弯矩：
•
• • • •
• •
(4) 求多余未知力 将以上各系数和自 由项代入力法方程，经整理后得 72X1+18X2-486=0 18X1+8X2-180=0 60X3+526.5=0 解得X1=2.57kN, X2=16.72kN· m, X3=8.78kN (5) 作内力图 最后弯矩图如图(g)所示，剪力图和轴力图分 别如图(h)、(i)所示。
M AB 5FP FP L 3FP L L( ) 16 2 16
1P
11
5F P 16
（外侧受拉）
C
弯矩图如右图。
B
B`
5FPL/32
3FPL/16
A
A`
3FPL/16
(2)求图(b)刚架在反对称荷载作用下的内力计算 取对称的基本结构，只考虑反对称的多余未知力， 建立图示基本体系。
解题技巧： 合理选取基本结构，尽量使
图简单，以利于图乘。
Mi MP、
对于多跨连续梁，常利用铰结点不传递 弯矩的特点，在支座处插入铰, 使某些副系 数ij =0。
q A q
基本结构1
B
C
D
原结构
q
x1
x2
MP
M1
x 1=1 x 2=1
M2
q A q B C D
原结构
x1
q
x1
x2
x2
基本结构2
MP
33≠0(因X3的解唯一) 按式 故 X3=0 解得 作弯矩图。
支座移动时的计算
一、支座移动时的计算
1.支座移动和温度改变对超静定结构的影响
超静定结构由于支座移动或温度改变，都会引起结 构产生变形和位移，并使结构产生内力。 2.支座移动时的内力计算
用力法求解支座移动、温度改变时的问题，其方法 与荷载作用时相同，唯一的区别在于典型方程中自由项 的计算不同。
【例2】计算并绘制一超静定刚架分别在图(a)、(b)所示荷载作 用下的弯矩图。
B
C
B`
B
C
B`
L/2
L/2
A L/2 L/2
A`
A L/2 L/2
A`
图(a)
图(b)
L/2
L/2
解： (1)求图(a)刚架在正对称荷载下的内力计算
B
C x1
C` x1
B`
B
C C` x1 x1=1
B`
A
A`
L
A
A`
q=23kN/m
1）确定超静定次数，选取力法基本体系； 2）按照位移条件，列出力法典型方程；
11
22
5）解方程，求多余未知力
66 26 6 6 6 2 144 12 108 21 2 3 2 6 414 3 6 66 26 3 3726 6 288 1P 3 4 2 3
x 1=1
M1
x 2=1
M2
例 用力法分析两端固定的梁，绘弯矩图。EI=常数。 n=3 解： a P b 选取简支梁为基本结构 A B L 典型方程为
X1
1
P 基本结构
X
Lb 3L
3
X2
11 X X +1 +12 X X +2 +13 △ X =0 △1P=0 11 1 12 2 1P 3+ 21 X X +1 +22 X X +2 +23 △ X =0 △2P=0 21 1 22 2 2P 3+ 31X由图乘法求得 1+ 32X2+ 33X3+△3P=0
•
• • • • • • • •
(3) 计算系数和自由项 作荷载弯矩图MP 和单位弯矩图M1、M2、M3，分别如图(c)、(d)、 (e)、(f)所示。 利用图乘法求得各系数和自由项分别为 δ11=72/EI δ22=8/EI δ12=δ21=18/EI δ33=60/EI Δ1P=-486/EI Δ2P=-180/EI Δ3P=526.5/EI
3
M P图
代入力法方程，解得： x2 计算杆端弯矩：
M AB
2P
22
3FP 14
L 3FP F L 11FP L ( ) P 2 14 2 28 （左侧受拉）
3FP 3FP L L ( ) 2 14 28
M BA
（右侧受拉）
B
C
B ` 3FL P /28
【例】试计算图(a)所示刚架，并绘出内力图。 【解】(1) 选取基本结构 此结构是三次超静定 对称刚架，取对称的基本结构如图(b)所示，X1、 X2为对称多余未知力，X3为反对称多余未知力。 (2) 建立力法方程 根据前面分析，力法方 程将分为两组，即 δ11X1+δ12X2+Δ1P=0 δ21X1+δ22X2+Δ2P=0 δ33X3+Δ3P=0
6）按 M=∑Mi· Xi+MP X1=36 ， 2－3726=0 144X 1+108X 叠加最后弯矩图 X =－ 13.5 =0 108X +288X
2 1 2
↑↑↑↑↑↑↑
X2 =1
↑↑↑↑↑↑↑
X2 M1 基本体系 6 ↑↑↑↑↑↑↑ 6 6
414
MP
81
103.5 M kNm 135
2P 0
B x2 C C` x2
x 2=1 C C`
B`
B
B`
x2
A
A`
A
A`
基本体系
M1 图
由M1图、MP图乘求 系数和自由项：
2 L L 1 L L 2 L 22 ( L ) EI 2 2 2 2 2 3 2 7 L3 12EI
B
` CC
B `
A
A `
2P
FP L 2 1 FP L L L ( ) EI 2 2 2 2 8EI
q=20kN/m
q=20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
I 2 =k I 1 8m
I2
6m
160
MP
基本体系
X1
6
M
11 X 1P 0 •1 超静定结构由荷载产生的内力与
各杆刚度的相对比值有关 1 2 8160 5120 ,与各杆 1P 6 刚度的绝对值无关。 EI 1 3 EI 1 1 6 6 2 6 2 288k 144 11 6 8 6 kEI 1 EI 1 2 3 kEI 1 1P 320k 80 X1 kN 1 K 11 9(2k 1) 2 9
（2）由位移条件，建立力法典型方程。
11 X 1 12 X 2 1C a 21 X 1 22 X 2 2C
（3）计算系数与自由项 系数 ——计算同前由图乘求得。
自由项——基本结构由支座移 动引起的沿Xi方向的位移，即： ΔiC=－∑RiCi
l h
6
X1=1
53.33 160
M图(kN.m)
M M1X1 M P
例：绘制图示结构的内力图。
EI
EI
EI 6m 6m 2EI EI
46kN/m
↑↑↑↑↑↑↑
6m
6m EI EI EI
↑↑↑↑↑↑↑
81 81
23kN/m
81 207 103.5 103.5 103.5
kNm kNm 198 198 396
作基本结构各 和MP图 由于 3=0,故
X1 1
M1图
1 X2 1
M 2图
M 3图

P Pab
L
Pab L2
2
M图

X
13= 31= 23= 32= △3P=0
33 3
3
1 则典型方程第三式为
MP图
Pa 2 b L2
代入典型方程 消去公因子)得 代入典型方程解得 X( =0
注
意
力法方程等号右侧为基本结构在拆除约束处沿多余 未知力方向的位移条件，也就是原结构在多余未知力方 向的已知实际位移值Δi，当Δi与多余未知力方向一致 时取正值，否则取负值。
例：图示刚架，设支座A发生了图示位移。 （1）判定超静定次数，取基本体系。 h 二次超静定，基本体系如图示。
A
b
l
B
a
φ 原结构
(3)计算系数和自由项 作单位弯矩图M1如图(c)所示，可由图乘法求得
δ11=l3/3EI
Δ1C=－∑RiCi=－(l· θ)=－lθ (4)求多余未知力
l3 X1 l 0 3EI 3EI X1 2 l
将δ11、Δ1C代入力法方程得
(5)作弯矩图 由于支座移动在静定的基本结构中 不引起内力，故只需将M1图乘以X1值即可。
结
论
（1）若结构是对称的，荷载是正对 称时，则结构的变形是正对称的， 弯矩、轴力图是正对称的，剪 力图是反对称的。 （2）若结构是对称的，荷载是反对 称时，则结构的变形是反对称的，
A 1 1FL P /28
A `
弯矩、轴力图是反对称的，剪 力图是正对称的。
例： 解：
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ I1 I2
等代结构
6m
M K kN· m 135
135
135
转到等代结构的计算
198
q=23kN/m
C EI A
EI
EI 6m B
D
X1 q=23kN/m
X2
X1
X1
X1 =1
用力法解 等待结构
6m
δ11X1＋ δ12X2＋Δ1P＝0
X2 M2
6
δ21X1＋ δ22X2 ＋Δ2P＝0
3）画单位弯矩图、荷载弯矩图， 4）用（A）式求系数和自由项