1.2.3+充分条件、必要条件+课件-高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册

2
(
A
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
)
3
3
思路探究：方程 ax＋3＝0 的实数根是 x＝－a，解－1≤－a≤2 要用到分式
不等式，这对于我们来说比较难，不妨考虑从“方程 ax＋3＝0 在[－1,2]
上有实数根”的等价形式“直线 y＝ax＋3 在[－1,2]上与 x 轴有交点”入手，
基础自测
1．“a＋b<0”是“a<0，b<0”的(
C
)
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当 a 与 b 异号且负数绝对值大时，也有 a＋b<0，
所以“a＋b<0”
“a<0，b<0”，显然“a<0，b<0”⇒“a＋b<0”．所
以“a＋b<0”是“a<0，b<0”的必要不充分条件。
断真假的命题。
4．特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，
用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法
不适用于证明题。
对点训练
用“充分不必要、必要不充分、充要和既不充分也不必要”填空．
x>2，
(1)
y>2
x＋y>4，
是
xy>4
充分不必要
的_____________条件；
解：因为“在三角形中，等角对等边”，所以
∠B=∠C AC=AB;
又因为“在三角形中，等边对等角”，所以
AC=AB ∠B=∠C
从而∠B= ∠C AC=AB，因此△ABC 中， ∠B= ∠C是AC=AB
的充要条件。
从集合的观点来看，如果 A={x| p(x}，B={x|q(x)}，且A=B则
读作“p推不出q”。
q，
例如，上述例子中，(1) 是一个真命题，即“两条直线都
与第三条直线平行”可以推出“这两条直线也互相平行”，
这也可记作
两条直线都与第三条直线平行
这两条直线也互相平行;
而 (3) 是一个假命题，即x>2 推不出x>3，这也可记作
x>2
x>3.
当p
q 时，我们称p是q的充分条件， q是p的必要条件；当 p
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根的充分不必要条件．
归纳提升：充分条件、必要条件、充要条件的判断方法
1．定义法
(1)分清哪个是条件，哪个是结论。
(2)判断“如果p，那么q”及“如果q，那么p”的真假。
(3)根据(2)得出结论。
2．集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集
合间的包含关系进行判断。
3．等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
解析：由命题p：(a＋b)·(a－b)＝0，得|a|＝|b|，推不出a＝b，
由a＝b，能推出|a|＝|b|，故p是q的必要条件。
4．设集合M＝(0,3]，N＝(0,2]，那么“a∈M”是“a∈N”
的_______条件。
思路探究：分清充分性与必要性，理清证明方向。
解析：先证充分性。
由 ac<0，可得 Δ＝b2－4ac>0，则方程有两个不等实根 x1 与 x2.
c
由 ac<0，可得 a，c 异号，则 x1·x2＝a<0，则 x1，x2 一正一负，即方
程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根。
再证必要性。
c
由方程 ax ＋bx＋c＝0(a≠0)的两根 x1，x2 异号，得 x1x2＝a<0，则 ac<0.
2
归纳提升：充要条件的证明思路
证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明。
以证明“p成立的充要条件为q”为例。
(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；
必要
典例精析
例1 判断下列各题中，p 是否是 q 的充分条件，
q是否是p的必要条件：
(1) p：x∈Z，q： x∈R；
(2) p：x是矩形，q：x是正方形。
解：(1)因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即p
q，
因此p是q的充分条件，q是p的必要条件。
(2) 因为矩形不一定是正方形，即p
条件， q不是p的必要条件。
1 1
既不充分也不必要
(2)α＝β 是 2＝ 2的___________________条件；
α β
充分不必要
(3)x＋y≠3 是 x≠1 或 y≠2 的_____________条件．
典例剖析
充要条件的证明
证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个
负根的充要条件是ac<0.
n
(2)p：m－n＝0，m，n∈R，q：m＝1，m，n∈R；
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c；
(4)p：a>b，q：ac>bc.
解析：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0
x－3＝0，
故 p 是 q 的充分不必要条件．
n
(2)由m＝1 得 n＝m，即 m－n＝0，
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语
1.2.3 充分条件、必要条件
基础知识
1.充分条件、必要条件
我们已经接触过很多形如“如果p，那么q”① 的命题，例如：
(1) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
(2) 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么这个锐角所对
的直角边等于斜边的一半；
(3) 如果x>2，那么x>3；
(4) 如果 a>b且c>0，那么ac>bc.
①“如果p，那么q”也常常记为“如果 p，则q”或“若p，则q”.
在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，
q称为命题的结论。若“如果p，那么q”是一个真命题，
则称由p可以推出q，记作
p
q，
读作“p推出q”；否则，称由p推不出q，记作p
此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”
当然， p是q的充要条件时，q也是p的充要条件。
例如，当x≥0 时， 有意义；当 有意义时，x ≥ 0。
因此“x ≥ 0”是“ 有意义”的充要条件，即
x≥0
有意义，
也可以说成“x ≥ 0与 有意义等价”“x≥0当且仅当 有意义”
例3. 在△ABC中，判断∠B= ∠C 是否是AC=AB 的充要条件。
是“三角形是等边三角形”的充要条件。
注意到“三角形的三个角相等”也是“三角形是等边三角
形”的一个充要条件，因此我们也可以将等边三角形定义为：
“三个角都相等的三角形称为等边三角形。”
需要补充的是，除了上面提到的充分不必要条件、必要不
充分条件、充要条件，还存在p既不是 q 的充分条件，也不是q
的必要条件的情形，例如，当 p：x>0，q：x²>2 时就是如此。
(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，
否则就不是充分条件。
(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，
否则就不是必要条件。
2.充要条件
我们已经知道，因为 x>3
x>2，所以
充分
x>3是x>2的_________条件，
又因为 x>2
x>3，所以
x>3 不是 x>2 的必要条件，
q，因此p不是q的充分
充分条件与必要条件也可用集合的知识来理解.
设A={x|x≥0}，B={x|x>－1}，则不难看出，A 是 B 的子集
(如图所示)，即A⊆B.
另外，“如果x≥0，那么x>－1”是真命题，也就是说
x≥0
x ＞－1,
x ≥0是x＞－1的充分条件，
x＞－1是x ≥0的必要条件。
一般地，如果 A={x|p(x)}，B={x| q(x)}，且A⊆B(如图所示)，
把这两方面综合起来，可以说成
x>3 是 x>2 的充分不必要条件。
一般地，如果 p
q 且q
p，则称p是q的充分不必要条件。
如果 p
q 且q
p，则称p是q的必要不充分条件。
例如，x(x－1)=0是 x=0 的必要不充分条件。
如果 p
q 且q
p，则称 p是 q 的充分必要条件
(简称为充要条件)，记作
p q，
n
反之，当 m＝n＝0 时，满足 m－n＝0，但m＝1 不成立，
即 p 是 q 的必要不充分条件．
(3)a>b⇒a＋c>b＋c，且 a＋c>b＋c⇒a>b，故 p 是 q 的充要条件．
(4)a>b
ac>bc，且 ac>bc
a>b，故 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
3
a∈(－∞，－ ]是方程 ax＋3＝0 在[－1,2]上有实数根的
形的对角线一定相等。不难看出，性质定理实际上
给出了一个必要条件，上例中，“四边形的对角线
相等”是“四边形是矩形”的必要条件。
典例精析
例2 说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果
可以，写出其中涉及的充分条件或必要条件:
(1)形如 y=ax2(a 是非零常数)的函数是二次函数；
(2) 菱形的对角线互相垂直。
那么 p(x)
q(x)，因此也就有p(x)是q(x)的充分条件， q(x)
是p(x)的必要条件。
例如，设 A{x | x是在北京市出生的人}，B= {x | x是在中国
出生的人}，则 A⊆B，所以“x是在北京市出生的人”可以
推出“x 是在中国出生的人”。
充分条件、必要条件还与数学中的判定定理、性质定理有关。
x=－y
x 2 = y 2,
x =－y是x2=y2的充分条件，
x2 = y2是x=－y 的必要条件。
又如，因为命题“若A∩B≠∅，则 A ≠∅”是真命题，所以
A∩B ≠∅ _________A≠∅,
A∩B ≠∅是A≠∅的 _________条件,
充分
A≠∅是A∩B ≠∅的 _________条件。
p(x) q(x)，因此也就有 p(x)是 q(x)的充要条件。
例如，当A={x|x≤0}，B= {x | | x |=－ x} 时，不难看出A=B，因
充要
此x≤0 |x|=－x，也就是说x≤0 是|x|=－ x 的__________条件,
x≤0与|x|=－x等价，x≤ 0当且仅当 |x|=－x.
q
时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。事实上，前述
情境与问题中的“充分”“必要”与这里的充分条件、必要条件表
示的是类似的意思。
因此，
“如果p，那么q”是真命题，
p
q
p 是 q 的充分条件，
q 是 p 的必要条件，
这四种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已。
例如，因为“如果 x=－y，则 x2=y2”是真命题，所以
解：(1)这可以看成一个判定定理，因此“y=ax2 (a 是非零常
充分
数)的函数”是“这个函数是二次函数”的_______条件。
(2) 这可以看成菱形的一个性质定理，因此“四边形对角线
互相垂直”是“四边形是菱形”的_______条件。
必要
思考：用定义法判断充分条件和必要条件的一般步骤是什么？
提示：(1)判定“若p，则q”的真假。
另外，充要条件与数学中的定义有关。例如，“三条边都相等
的三角形称为等边三角形”是等边三角形的定义，这就意味着，
只要三角形的三条边都相等，那么这个三角形一定是等边三角
形；反之，如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的
三条边都相等。不难看出，一个数学对象的定义实际上给出了
这个对象的一个充要条件，上例中，“三角形的三条边都相等”
这样我们得到的都是一次不等式，很容易求出来。
解析：“方程 ax＋3＝0 在[－1,2]上有实数根”等价于“直线
y＝ax＋3 在[－1,2]上与 x 轴有交点”，则
a>0，

－a＋3≤0

2a＋3≥0
a<0，

，或－a＋3≥0，

2a＋3≤0，
3
解得 a≥3 或 a≤－ .
2
3
故易得 a∈(－∞，－ ]是方程 ax＋3＝0 在[－1,2]上有实数
2．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(
A．x<0，y<0
B．x<0，y>0
C．x>0，y>0
D．x>0，y<0
B
)
解析：第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以
点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x<0，y>0。
3．命题p：(a＋b)·(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的(
B
)
例如，“如果一个函数是正比例函数，那么这个函数是一次
函数”可以看成一个判定定理。这指的是，只要函数是正比
例函数，那么就可以判定这个函数是一次函数。不难看出，
判定定理实际上是给出了一个充分条件，上例中，“函数是
正比例函数”是“函数是一次函数”的充分条件。
而“矩形的对角线相等”可以看成一个性质定理。
这指的是，只要一个四边形是矩形，那么这个四边
必要
5．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”
的_______条件。
充分
典例剖析
充分条件、必要条件、充要条件的判断
指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充
分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)。
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；