高中 一元二次不等式及其解法 知识点+例题 全面

辅导讲义――一元二次不等式及其解法
教学内容
1．一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式. 2．二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系
判别式Δ＝b 2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象
一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，
x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b
2a
没有实数根
ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)
的解集 {x |x <x 1或x >x 2}
{x |x ≠x 1}
{x |x ∈R }
ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)
的解集
{x |x 1< x <x 2}
∅ ∅
[例1] 若不等式052
>++c x ax 的解集是}2
1
31{<<x x ，则a+c 的值为________.-7
[巩固1] 已知不等式02
<+-b x ax 的解集是}21{<<-x x ，则a ，b 的值为___________.a=1，b=-2
[巩固2] 若关于x 的不等式062
2<+-t x tx 的解集是),1(),(+∞-∞ a ，则a 的值为______.-3
[例2] 若1)(2
+-=ax x x f 有负值，则实数a 的取值范围是____________.),2()2,(+∞--∞
[巩固1] 已知二次函数c bx ax x f ++=2
)(的图象与直线25=y 有公共点，且不等式02
>++c bx ax 的解是
知识模块1三个“二次” 精典例题透析
3
1
21<<-
x ，求a ，b ，c 的取值范围.
[巩固2] 已知关于x 的不等式)(0222
R a a ax x ∈≤++-的解集为M . （1）当M 为空集时，求实数a 的取值范围. （2）如果]4,1[⊆M ，求实数a 的取值范围.
[例3] 关于x 的方程02
=++c bx x 的两根分别为21-=x 和2
12-=x ，则关于x 的不等式02
<+-c bx x 的解集是______________.)2,2
1(
[巩固1] 方程05)2(2
=-+-+m x m x 的两根都大于2，则m 的取值范围是____________.]4,5(--
[巩固] 若关于x 的不等式4502
≤++≤ax x 恰好只有一个解，则实数.______=a 2±
[例5] 若不等式02
<--b ax x 的解集为}32{<<x x ，则.______=+b a 1-
[巩固1] 若关于x 的不等式0322<+-a x x 的解集是)1,(m ，则实数.______=m 2
1
[巩固2] 关于x 的不等式0)2)(1(>--x mx ，若此不等式的解集为}21
{<<x m
x
，则m 的取值范围是__________. )0,(-∞
[例6] 已知实数R a ∈，解关于x 的不等式.02)2(2
<++-a x a x
[巩固] 已知关于x 的不等式0232
>+-x ax 的解集是}1{b x x x ><或， （1）求a ，b 的值；
（2）解关于x 的不等式).(0)(2
R c bc x b ac ax ∈<++-
[例7] 若不等式02
<--b ax x 的解集是)3,2(， （1）求a ，b 的值；
（2）求不等式012>--ax bx 的解集.
[巩固] 已知不等式0)32()(<-++b a x b a 的解为4
3-
>x ，解不等式.0)2()1(2)2(2
>-+--+-a x b a x b a
题型一：一元二次不等式的解法 [例] 求下列不等式的解集：
（1）－x 2＋8x －3>0； （2）ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.
解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，
所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}． (2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1
a 或x >1.
若a >0，原不等式等价于(x －1
a
)(x －1)<0.
①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1
a )(x －1)<0无解；
②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1
a <x <1；
③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1
a
.
综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1
a
或x >1}；
当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1
a <x <1}．
[巩固]（1）若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <1
3
，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________．
（2）不等式x －1
2x ＋1
≤0的解集是________．
知识模块3经典题型
11．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是_______________.
答案 (－∞，－32)∪(12
，＋∞) 解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，
由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，
∴x <－32或x >12
. 12．(2013·重庆)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a=_______.
答案 52
解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，
由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52
. 13．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为______________．
答案 [0，π6]∪[5π6
，π] 解析 由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，
需Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，
化简得cos 2α≥12
. 又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3
≤2α≤2π， 解得0≤α≤π6或5π6
≤α≤π. 14．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是________．
答案 21
解析 设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，图象如图所示．
关于x 的一元二次不等式
x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧
f (2)＝4－12＋a ≤0，f (1)＝1－6＋a >0， 解得5<a ≤8.
又a ∈Z ，所以a ＝6,7,8，
则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.
15．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．
解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.
令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.
因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以。