断裂力学复习要点与习题解析材料科学工程科技专业资料
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3
Dt D 解: (a) 判断按von t mises 屈服准则是否破坏，需要先求压力容器的主应力： 0.05 , ( )
D
2
2
2 2 2 2 由von mises 屈服准则： ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 3 3 1 s
2 2 2 2 6 2 6 1 8 0 0 9 0 0 ) ( 9 0 0 0 ) ( 0 1 8 0 0 ) 6 9 0 0 4 . 8 6 1 0 2 2 4 0 0 ( 1 1 . 5 2 1 0 ) 现左边：(
第三章： 主 要 概 念：
● Griffith 理论和K理论是否可用于小范围屈服的情况下？
● Irwin 提出的等效裂纹长度与θ＝0 方向原裂尖塑性区的长度有什么关系？ ● Dugdale裂纹的塑性区尺寸比Irwin 裂纹塑性区尺寸大还是小？ ● Dugdale 裂纹考虑的是平面应力还是平面应变？ ● 考虑Dugdale 裂纹模型得到的CTOD表达式是什么？ ● CTOD法有什么优、缺点？ ● J 积分有什么优、缺点？
损伤容限设计
损伤容限设计是针对有损伤的结构或材料新发展的一种设计方法。 它是用断裂力学原理，根据材料的裂纹扩展速率da/dN与应力强度因子 范围△K的关系曲线，对含有损伤 (即有初始裂纹或缺陷）的构件或 材料，设计构件的使用寿命或估算其剩余寿命，确定临界裂纹尺寸或
初始裂纹大小。它容许材料有一定损伤，但把裂纹或缺陷控制在允许
2 a 5 . 4 ( m m ) c
af ≥5.4 mm
这说明该压力容器中可能存在5.4mm 以上的裂纹。 思考题：该题在计算容器的主应力时，忽略了厚度 t 的影响。如果考虑
壁厚 t ，D为外径，结果会产生多大误差？
二、有关线弹性断裂理论的计算 1 裂纹尖端应力场位移场
2、临界应力或裂纹长度
当 2a=100 mm时，
c＝const .(0.05) -1/2
从而：
c＝480（0.02/0.05)1/2＝304 (MPa）
例题3
1 8 0 0 M P a , K 5 0 M P a m s 1 c 一高强钢 在380 º C 回
火，
1 5 0 0 M P a , K 6 0 M P a m
● 什么是应力函数？ 应力函数又叫Airy函数，它是通过构造一种应力分量表达函数，用应力求解平 面问题，使其能够同时满足平衡方程、相容方程，进而用应力函数求解受力 物体内部一点的应力应变场。
第二章： 主要概念：
● 为什么材料的实际强度比理论强度低很多？（缺陷。类裂纹产生严重应力集中） ● 材料的理论强度与实际强度差多少？（1/4—1/50) ● Griffith 理论适用于什么材料？举例说明。 ● 断裂力学中把裂纹分成那几种类型？它们的特点是什么？
● 什么是K判据、CTOD判据和J 判据？
● 在小范围屈服的情况下，CTOD、J 积分与 K1有什么关系？ ● 在弹塑性情况下J 积分与 CTOD有什么关系？
2 G K 1 1 C T O D M ;J G E s 1
J J k d n s 或
s
K K c ( K 1 K 1c ; K 2 K 2 c ; K 3 K 3 c ) J Jc G G1c
c ( ic ; fc )
J பைடு நூலகம்J c ( J J ic ; J J fc )
G C T O D L 1 ,
s
在平面应力下， CTOD
G CTOD＝
作为开裂的判据。
Irwin法
D－M法
1 s
；
4 G CTOD＝
1 s
。
第四章： 主要概念：
解：
1K 1 5 0 2 1 c 2 a ( ) ( ) c Y 1 .1 2 0 .5 1 5 0 0 0 .0 0 1 1 ( m ) 1 .1 m m 在380 º C 回火下：
例题4
一高强钢 在380 º C 回火，
s
1 8 0 0 M P a , K 5 0 M P a m 在600 º C 回 1 5 0 0 M P a , K 6 0 M P a m
Mpa，如果在同样的钢板中，裂纹长度为100mm，试计算其断裂应力。 解：（单位用MN和m) 由 Griffith 理论： c＝
2E a
或 对高强脆性材料都有：
K理论：
c＝
K
c
Y a
c＝const. a-1/2
其中 ：2a=40 mm,
因而：480＝const.(0.02) -1/2 const.=480 (0.02) 1/2
● K1c 与K1有什么区别？各与什么因素有关？与什么因素无关？ ● 所有的应力强度因子K都可以表示成什么形式？
S 准则假设为： 1、裂纹沿S最小的方向扩展，即由 2、当 确定开裂方向： Smin 达到临界值 Sc时，裂纹失稳扩展。 Smin
S 是裂尖附近总应变能密度大小的量度，它综合反映复合加载裂尖应力应变 场强弱程度的单一参数 。
● 什么是疲劳裂纹扩展速率？（一次应力循环的裂纹扩展量— da/dN) ● 什么叫亚临界裂纹扩展？ ● 恒幅疲劳裂纹扩展速率 主要与那些因素有关？ ● 平均应力与应力比有什么关系？ ( ) ● 什么是应力强度因子范围？它的一般表达式可以怎样表示？ m 1 R ● 裂纹扩展速率与应力强度因子范围在双对数坐标下可以分成三 阶段， a 1 R Paris公式适用于哪一段？为什么？ ●损伤容限设计思想是什么？
E （2）G与K的关系 G 1 2 K1 E
（3）复合型断裂准则——S准则 （4） S准则与K准则的关系
G 2 K 1 GC (1 2 )
Smin =Sc
S C (, ) K S ; m i n c
2 i c
例题1
例题2
一块大的马氏体时效钢板含有一个长40mm 的中心裂纹，其断裂应力为480
E ( 2 ) 1 s p , c a
E G 1 c c a
例题1
举例：已知一大玻璃板有一中心裂纹2a, 其受
张力 ＝40MPa 作用，玻璃的弹性模量 E＝
69 GPa;比表面能 ＝0.3J/m2; 用Griffith 理
论计算临界裂纹长度。 解： 由Griffith 公式：
断裂力学复习与考试
复习重点：概念与应用性理论
考试方式：开卷
第一章： 主要概念：
● 应力是怎样定义的？ ● 一点的应力和应变是什么量？ ● 什么样的物体，受怎样的载荷可以用平面应力进行分析？ ● 什么样的物体，受怎样的载荷可以用平面应变进行分析？ ● 什么叫主应力和主平面？
● 虎克定律描述的是什么关系？
● 线弹性断裂力学裂纹尖端有多大的奇异性？
● 裂纹尖端应力强度因子表征什么？（裂纹尖端应力场的强度，它是裂尖奇异性的 量度）
● 什么是材料的断裂韧度（含裂纹材料失稳破坏时抵抗断裂吸收能量的能力，K1c
是材料常数） ● 什么叫应力强度因子断裂判据？它与材料的最大拉应力强度判据有什么不同？
● K1c与Kc有什么区别？
d P B d xd ; P d x ( B 1 )
1 a1 2 2 2 2 m ( xa , ) ( ) ( a x)
K () (, x a ) d x pxm
1 a
3、断裂准则
（1）简单裂纹断裂准则： K
（ K2
KC
K2C ； K3 K3C ）
K1 K1C G1 G1C
的尺寸限度之内，使其构件在使用寿命期间不会发生失稳破坏。这是 目前的一种先进的疲劳设计方法。
一、关于Griffith 理论的计算
1、 已知裂纹长度计算临界应力
2 E s c a 2、 已知临界应力计算裂纹长度
c
EG a
ac
2E
s 2
EG ac 2
3、 修正的 Griffith 理论
利用公式
K 1 Y
a
c
K 1c Y a
2 K K 2 1 c 1 c a ( ) c K1， Y一般取为常数，则 ，a 三个变量中，已知两个，可求第三个； 2 2 Y Y K1的临界值是由 ， a 的值决定的。
3、 求应力强度因子
（1）、极限法
（2）、叠加法
K l i m 2( z a ) 1
z a
1
() z
例： （ ) = 1 z
2 2 2 p z( a b )
不同载荷P, MB, MK,的叠加 连续载荷由分离载荷的叠加 （3）、权函数法
2 2 2 ( z b )( z a2)
（4）、近似法 （5）、查表法
（组合法，有限元法） （常用的）
(b) 若根据Griffith 理论，陈述可能有多大的裂纹引起这次破坏？
由于压力容器很薄 : P D 1 8 6 0 0 0 计算主应力可按平面应力计算： P D
1 2
1 8 0 0 ( M P a ) , 9 0 0 ( M P a ) , 0 2 t 2 3 0 4 t
材料远没有屈服。无裂纹存在不会破坏。
例题3续
( b) 按照Griffith 理论，可能引起破坏的裂纹长度 af 为：
GE c c a
GE c a c 2
3 7 1 3 0 2 1 0 1 0 2 . 7 3 1 0 a 2 . 7 ( m m ) c 2 6 1 8 0 0 3 . 1 4 1 6 3 . 2 4 1 0
a
2 applied
2 E s
a
2 69 109 N/m2 0.3 N/m
40 10 N/m
6
2 2
a 8.2 106 m 2a 1.64 105 m
例题2
一马氏体时效钢薄板的拉伸强度为1950 MPa，由于存在一个与加载方向垂直的
4mm长的中心穿透裂纹，钢板的弹性模量Ｅ为200 GPa, 断裂比表面能为 2 J/m2,
s 1 c
，
0.5s
在600 º C回 火，
a ) ( ) c ( Y 1 . 1 2 0 . 5 1 8 0 0 计算上述两种处理可以容许的临界裂纹尺寸为多少？ 4 7 . 8 1 0 ( m ) 0 . 7 8 m m
1 K1c 2 ， ac ( ) Y 假设这样处理的无限大板存在 单边裂纹 ，设计工作应力为 1K 1 5 0 2 1 c 2
每一裂纹尖端的塑性变形功为2x104 J/m2. 计算断裂强度降低的百分数。 解：
例题3
一圆柱压力容器，直径D=6m，壁厚 t=30 mm，当内压P达到18MPa ，发生灾难
性事故。该压力容器钢 E=210GPa，屈服强度2400MPa，应变能释放率
Gc=130KJ/m2 求 :（a）若按von mises 屈服准则设计是否会破坏？
在600 º C 回火下：
例题5 医用生物护板用Ti6Al4V材料，受拉伸载荷。该材料采取不同热 处理可得到不同 屈服强度的板料，但其断裂韧度随屈服强度的升高急剧降低。屈 服强度为900MPa时， Kc=80MPa m; 而屈服强度为1000 MPa时, Kc=70 MPa m; 该 材料含有一4mm的缺陷。 有可能加工后正好在边缘（几何因子取1.12)。为减少重量，医生 建议用屈服强度为 4103 a 1000Mpa的板材，若设计材料的拉伸应力为屈服强度的2/3; 请问 此设计是否可行？若用 屈服强度为900Mpa的板材如何？ 解：K1＝Y ; K1=1.12x(1000x2/3) 3 4 1 0 =83.6 (MPa m); 由于 K1 > Kc；设计不可行。 若改用屈服强度为900Mpa的板材， K1＝1.12x(900x2/3) = 79.1(MPa m); 此时 K1 < Kc；设计可行。
1 c
，
s
1 c
火，
，
0.5s
假设这样处理的无限大板存在 中心裂纹 1mm，设计工作应 力为
K Y a 1 . 1 2 0 . 5 1 8 0 0 0 . 0 0 1 5 6 . 5 ( M P a m ) K 1 1 c
计算那种处理可以满足要求？
K Y a 1 . 1 2 0 . 5 1 5 0 0 0 . 0 0 1 4 7 . 1 ( M P a m ) K 1 1 c 解：在 380 º C 回火下：
Dt D 解: (a) 判断按von t mises 屈服准则是否破坏，需要先求压力容器的主应力： 0.05 , ( )
D
2
2
2 2 2 2 由von mises 屈服准则： ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 3 3 1 s
2 2 2 2 6 2 6 1 8 0 0 9 0 0 ) ( 9 0 0 0 ) ( 0 1 8 0 0 ) 6 9 0 0 4 . 8 6 1 0 2 2 4 0 0 ( 1 1 . 5 2 1 0 ) 现左边：(
第三章： 主 要 概 念：
● Griffith 理论和K理论是否可用于小范围屈服的情况下？
● Irwin 提出的等效裂纹长度与θ＝0 方向原裂尖塑性区的长度有什么关系？ ● Dugdale裂纹的塑性区尺寸比Irwin 裂纹塑性区尺寸大还是小？ ● Dugdale 裂纹考虑的是平面应力还是平面应变？ ● 考虑Dugdale 裂纹模型得到的CTOD表达式是什么？ ● CTOD法有什么优、缺点？ ● J 积分有什么优、缺点？
损伤容限设计
损伤容限设计是针对有损伤的结构或材料新发展的一种设计方法。 它是用断裂力学原理，根据材料的裂纹扩展速率da/dN与应力强度因子 范围△K的关系曲线，对含有损伤 (即有初始裂纹或缺陷）的构件或 材料，设计构件的使用寿命或估算其剩余寿命，确定临界裂纹尺寸或
初始裂纹大小。它容许材料有一定损伤，但把裂纹或缺陷控制在允许
2 a 5 . 4 ( m m ) c
af ≥5.4 mm
这说明该压力容器中可能存在5.4mm 以上的裂纹。 思考题：该题在计算容器的主应力时，忽略了厚度 t 的影响。如果考虑
壁厚 t ，D为外径，结果会产生多大误差？
二、有关线弹性断裂理论的计算 1 裂纹尖端应力场位移场
2、临界应力或裂纹长度
当 2a=100 mm时，
c＝const .(0.05) -1/2
从而：
c＝480（0.02/0.05)1/2＝304 (MPa）
例题3
1 8 0 0 M P a , K 5 0 M P a m s 1 c 一高强钢 在380 º C 回
火，
1 5 0 0 M P a , K 6 0 M P a m
● 什么是应力函数？ 应力函数又叫Airy函数，它是通过构造一种应力分量表达函数，用应力求解平 面问题，使其能够同时满足平衡方程、相容方程，进而用应力函数求解受力 物体内部一点的应力应变场。
第二章： 主要概念：
● 为什么材料的实际强度比理论强度低很多？（缺陷。类裂纹产生严重应力集中） ● 材料的理论强度与实际强度差多少？（1/4—1/50) ● Griffith 理论适用于什么材料？举例说明。 ● 断裂力学中把裂纹分成那几种类型？它们的特点是什么？
● 什么是K判据、CTOD判据和J 判据？
● 在小范围屈服的情况下，CTOD、J 积分与 K1有什么关系？ ● 在弹塑性情况下J 积分与 CTOD有什么关系？
2 G K 1 1 C T O D M ;J G E s 1
J J k d n s 或
s
K K c ( K 1 K 1c ; K 2 K 2 c ; K 3 K 3 c ) J Jc G G1c
c ( ic ; fc )
J பைடு நூலகம்J c ( J J ic ; J J fc )
G C T O D L 1 ,
s
在平面应力下， CTOD
G CTOD＝
作为开裂的判据。
Irwin法
D－M法
1 s
；
4 G CTOD＝
1 s
。
第四章： 主要概念：
解：
1K 1 5 0 2 1 c 2 a ( ) ( ) c Y 1 .1 2 0 .5 1 5 0 0 0 .0 0 1 1 ( m ) 1 .1 m m 在380 º C 回火下：
例题4
一高强钢 在380 º C 回火，
s
1 8 0 0 M P a , K 5 0 M P a m 在600 º C 回 1 5 0 0 M P a , K 6 0 M P a m
Mpa，如果在同样的钢板中，裂纹长度为100mm，试计算其断裂应力。 解：（单位用MN和m) 由 Griffith 理论： c＝
2E a
或 对高强脆性材料都有：
K理论：
c＝
K
c
Y a
c＝const. a-1/2
其中 ：2a=40 mm,
因而：480＝const.(0.02) -1/2 const.=480 (0.02) 1/2
● K1c 与K1有什么区别？各与什么因素有关？与什么因素无关？ ● 所有的应力强度因子K都可以表示成什么形式？
S 准则假设为： 1、裂纹沿S最小的方向扩展，即由 2、当 确定开裂方向： Smin 达到临界值 Sc时，裂纹失稳扩展。 Smin
S 是裂尖附近总应变能密度大小的量度，它综合反映复合加载裂尖应力应变 场强弱程度的单一参数 。
● 什么是疲劳裂纹扩展速率？（一次应力循环的裂纹扩展量— da/dN) ● 什么叫亚临界裂纹扩展？ ● 恒幅疲劳裂纹扩展速率 主要与那些因素有关？ ● 平均应力与应力比有什么关系？ ( ) ● 什么是应力强度因子范围？它的一般表达式可以怎样表示？ m 1 R ● 裂纹扩展速率与应力强度因子范围在双对数坐标下可以分成三 阶段， a 1 R Paris公式适用于哪一段？为什么？ ●损伤容限设计思想是什么？
E （2）G与K的关系 G 1 2 K1 E
（3）复合型断裂准则——S准则 （4） S准则与K准则的关系
G 2 K 1 GC (1 2 )
Smin =Sc
S C (, ) K S ; m i n c
2 i c
例题1
例题2
一块大的马氏体时效钢板含有一个长40mm 的中心裂纹，其断裂应力为480
E ( 2 ) 1 s p , c a
E G 1 c c a
例题1
举例：已知一大玻璃板有一中心裂纹2a, 其受
张力 ＝40MPa 作用，玻璃的弹性模量 E＝
69 GPa;比表面能 ＝0.3J/m2; 用Griffith 理
论计算临界裂纹长度。 解： 由Griffith 公式：
断裂力学复习与考试
复习重点：概念与应用性理论
考试方式：开卷
第一章： 主要概念：
● 应力是怎样定义的？ ● 一点的应力和应变是什么量？ ● 什么样的物体，受怎样的载荷可以用平面应力进行分析？ ● 什么样的物体，受怎样的载荷可以用平面应变进行分析？ ● 什么叫主应力和主平面？
● 虎克定律描述的是什么关系？
● 线弹性断裂力学裂纹尖端有多大的奇异性？
● 裂纹尖端应力强度因子表征什么？（裂纹尖端应力场的强度，它是裂尖奇异性的 量度）
● 什么是材料的断裂韧度（含裂纹材料失稳破坏时抵抗断裂吸收能量的能力，K1c
是材料常数） ● 什么叫应力强度因子断裂判据？它与材料的最大拉应力强度判据有什么不同？
● K1c与Kc有什么区别？
d P B d xd ; P d x ( B 1 )
1 a1 2 2 2 2 m ( xa , ) ( ) ( a x)
K () (, x a ) d x pxm
1 a
3、断裂准则
（1）简单裂纹断裂准则： K
（ K2
KC
K2C ； K3 K3C ）
K1 K1C G1 G1C
的尺寸限度之内，使其构件在使用寿命期间不会发生失稳破坏。这是 目前的一种先进的疲劳设计方法。
一、关于Griffith 理论的计算
1、 已知裂纹长度计算临界应力
2 E s c a 2、 已知临界应力计算裂纹长度
c
EG a
ac
2E
s 2
EG ac 2
3、 修正的 Griffith 理论
利用公式
K 1 Y
a
c
K 1c Y a
2 K K 2 1 c 1 c a ( ) c K1， Y一般取为常数，则 ，a 三个变量中，已知两个，可求第三个； 2 2 Y Y K1的临界值是由 ， a 的值决定的。
3、 求应力强度因子
（1）、极限法
（2）、叠加法
K l i m 2( z a ) 1
z a
1
() z
例： （ ) = 1 z
2 2 2 p z( a b )
不同载荷P, MB, MK,的叠加 连续载荷由分离载荷的叠加 （3）、权函数法
2 2 2 ( z b )( z a2)
（4）、近似法 （5）、查表法
（组合法，有限元法） （常用的）
(b) 若根据Griffith 理论，陈述可能有多大的裂纹引起这次破坏？
由于压力容器很薄 : P D 1 8 6 0 0 0 计算主应力可按平面应力计算： P D
1 2
1 8 0 0 ( M P a ) , 9 0 0 ( M P a ) , 0 2 t 2 3 0 4 t
材料远没有屈服。无裂纹存在不会破坏。
例题3续
( b) 按照Griffith 理论，可能引起破坏的裂纹长度 af 为：
GE c c a
GE c a c 2
3 7 1 3 0 2 1 0 1 0 2 . 7 3 1 0 a 2 . 7 ( m m ) c 2 6 1 8 0 0 3 . 1 4 1 6 3 . 2 4 1 0
a
2 applied
2 E s
a
2 69 109 N/m2 0.3 N/m
40 10 N/m
6
2 2
a 8.2 106 m 2a 1.64 105 m
例题2
一马氏体时效钢薄板的拉伸强度为1950 MPa，由于存在一个与加载方向垂直的
4mm长的中心穿透裂纹，钢板的弹性模量Ｅ为200 GPa, 断裂比表面能为 2 J/m2,
s 1 c
，
0.5s
在600 º C回 火，
a ) ( ) c ( Y 1 . 1 2 0 . 5 1 8 0 0 计算上述两种处理可以容许的临界裂纹尺寸为多少？ 4 7 . 8 1 0 ( m ) 0 . 7 8 m m
1 K1c 2 ， ac ( ) Y 假设这样处理的无限大板存在 单边裂纹 ，设计工作应力为 1K 1 5 0 2 1 c 2
每一裂纹尖端的塑性变形功为2x104 J/m2. 计算断裂强度降低的百分数。 解：
例题3
一圆柱压力容器，直径D=6m，壁厚 t=30 mm，当内压P达到18MPa ，发生灾难
性事故。该压力容器钢 E=210GPa，屈服强度2400MPa，应变能释放率
Gc=130KJ/m2 求 :（a）若按von mises 屈服准则设计是否会破坏？
在600 º C 回火下：
例题5 医用生物护板用Ti6Al4V材料，受拉伸载荷。该材料采取不同热 处理可得到不同 屈服强度的板料，但其断裂韧度随屈服强度的升高急剧降低。屈 服强度为900MPa时， Kc=80MPa m; 而屈服强度为1000 MPa时, Kc=70 MPa m; 该 材料含有一4mm的缺陷。 有可能加工后正好在边缘（几何因子取1.12)。为减少重量，医生 建议用屈服强度为 4103 a 1000Mpa的板材，若设计材料的拉伸应力为屈服强度的2/3; 请问 此设计是否可行？若用 屈服强度为900Mpa的板材如何？ 解：K1＝Y ; K1=1.12x(1000x2/3) 3 4 1 0 =83.6 (MPa m); 由于 K1 > Kc；设计不可行。 若改用屈服强度为900Mpa的板材， K1＝1.12x(900x2/3) = 79.1(MPa m); 此时 K1 < Kc；设计可行。
1 c
，
s
1 c
火，
，
0.5s
假设这样处理的无限大板存在 中心裂纹 1mm，设计工作应 力为
K Y a 1 . 1 2 0 . 5 1 8 0 0 0 . 0 0 1 5 6 . 5 ( M P a m ) K 1 1 c
计算那种处理可以满足要求？
K Y a 1 . 1 2 0 . 5 1 5 0 0 0 . 0 0 1 4 7 . 1 ( M P a m ) K 1 1 c 解：在 380 º C 回火下：