2.1.1椭圆及其标准方程 课件

，解得AB＝＝1184
，
所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
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椭圆的焦点三角形问题
例 3 如图所示，点 P 是椭圆y52＋x42＝1 上的一点，F1 和 F2 是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2 的面积．
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[分析] 由题目可获取以下主要信息： (1)椭圆方程为y52＋x42＝1； (2)F1，F2 是焦点，P 是椭圆上一点且∠F1PF2＝30°. 解答本题可先利用 a，b，c 三者关系求出|F1F2|，再利用 定义及余弦定理求出|PF1|、|PF2|，最后求出S . F1PF2
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|PF1|＋|PF2|＝6. 而 |PF1|＋ |PA|＝ |PF1|＋ |PA|＋ |PF2|－ |PF2|＝ 6－ (|PF2|－ |PA|)． 在△PAF2 中，|PF2|>|PA|，|PF2|－|PA|≤|AF2|，当且仅当 P、A、F2 三点共线时，|PF2|－|PA|＝|AF2|＝ 2.所以当 P、A、 F2 三点共线时，|PF1|＋|PA|有最小值为 6－ 2.
(2)由于椭圆 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)包含焦点在 x 轴上(A<B)和焦点在 y 轴上(A>B)两类情况，因此解法二的 处理避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．
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练 2 求经过两点(2，－ 2)，(－1， 214)的椭圆的标准 方程．
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[解] 方法一 ＋by22＝1(a>b>0)．
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[解] 在椭圆y52＋x42＝1 中，a＝ 5，b＝2， ∴c＝ a2－b2＝1. 又∵P 在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5① 由余弦定理知： |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos30° ＝|F1F2|2＝(2c)2＝4②
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①式两边平方，得 |PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20③ ③－②，得(2＋ 3)|PF1|·|PF2|＝16， ∴|PF1|·|PF2|＝16(2－ 3)， ∴S PF1F2 ＝21|PF1|·|PF2|·sin30°＝8－4 3.
若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为xa22
由已知条件得a42＋b22＝1 a12＋41b42＝1
，解得a12＝81 b12＝41
.
所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
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若焦点在 y 轴上， 设椭圆的标准方程为ay22＋xb22＝1(a>b>0)．
由已知条件得b42＋a22＝1 b12＋41a42＝1
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[点拨] 椭圆的焦点三角形问题，常常运用正弦定理与 余弦定理将三角形中的边与角联系起来，所以具有相当高的 综合性．在焦点三角形中，常用的结论有：
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a； (2)若∠F1PF2＝θ，则|PF1||PF2|＝cobs22θ2， S F1PF2 ＝b2tanθ2，|yP|＝bc2tanθ2.
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练 1 已知 F1 为椭圆 5x2＋9y2＝45 的左焦点，P 为椭圆 上半部分上任意一点，A(1,1)为椭圆内一点，求|PF1|＋|PA| 的最小值．
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[解] 由椭圆方程 5x2＋9y2＝45 可知 a2＝9，b2＝5，c2 ＝4，左焦点 F1(－2,0)，右焦点 F2(2,0)，如图下所示．P 为 椭圆上半部分上一点，由椭圆定义有
4
思考探究 定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于 |F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 提示：当常数等于|F1F2|时，点的轨迹是线段 F1F2； 当常数小于|F1F2|时，不表示任何图形．
5
2．椭圆的标准方程
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
标准方程
焦点 焦距 a，b，c 的关系
__ax_22___by_22___1_(a>b>0) _±_c_，__0__ _
__________(a>b>0) _0_，__±_c___
|F1F2|＝__2_c_____
a_2＝__b_2_＋__c_2
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1.平面内，若点 M 到定点 F1(0，－1)、F2(0,1)的距离之
和为 2，则点 M 的轨迹为( )
故所求椭圆的标准方程为y12＋x12＝1.
45
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解法二：设所求椭圆的方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0， A≠B)．
由题意，得A312＋B132＝1， B·－122＝1，
解得AB＝＝54，，
∴所求的椭圆确定曲线的方程时，若能明确方程的形式， 则可设出曲线方程，建立含参数的等式，求出参数的值，再 代入所设方程．
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(1)求△AF1B 的周长； (2)如果 AB 不垂直于 x 轴，△AF1B 的周长有变化吗？ 为什么？ [分析] 因为 A、B 在椭圆上，所以由椭圆的定义可 知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，故|AF1|＋|BF1|＋ |AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a 为常数．
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练 3 点 P 是椭圆2x52＋y92＝1 上一点，以点 P 以及焦 点 F1、F2 为顶点的三角形的面积等于 8，求点 P 的坐标．
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[解] 设点 P 的坐标为(x，y)． ∵c2＝a2－b2＝25－9＝16，∴2c＝8.
∵S△PF1F2＝8，∴12×8×|y|＝8.∴y＝±2. 把 y＝±2 代入方程2x52＋y92＝1， 解得 x＝±35 5. ∴点 P 的坐标为(53 5，2)、(53 5，－2)、(－53 5，2)、 (－53 5，－2).
解析：依据方程的结构特点．B 中没强调平面内．
答案：C
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3．椭圆 25x2＋16y2＝1 的焦点坐标为( )
A．(±3,0)
B．(±13，0)
C．(±230，0)
D．(0，±230)
解析：椭圆方程可化为
x2 1
＋
y2 1
＝1.
25 16
答案：D
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4．(2010·新课标全国文)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋by22 ＝1(0<b<1)的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A，B
依题意知13a22＋13b22＝1， －b122 2＝1，
解得a2＝15， b2＝14.
∵a2＝15<14＝b2，
∴焦点在 x 轴上的椭圆不存在．
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②当椭圆的焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 ay22＋xb22＝1(a>b>0)．
由题意得13a22＋13b22＝1， －a122 2＝1，
解得a2＝14， b2＝15.
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(3)找关系：依据已知条件，建立关于 a，b，c 或 m，n 的方程组；
(4)得方程：解方程组，将 a，b，c 或 m，n 代入所设方 程即为所求.
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椭圆的定义
例 1 如图所示，已知经过椭圆2x52＋1y62 ＝1 的右焦点 F2 的直线 AB 垂直于 x 轴，交椭圆于 A、B 两点，F1 是椭圆的 左焦点．
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利用椭圆的定义求轨迹方程 例 4 已知 B，C 是两个定点，|BC|＝8，且△ABC 的周 长等于 18，求这个三角形的顶点 A 的轨迹方程．
[分析] 由△ABC 的周长等于 18，|BC|＝8，可知点 A 到 B、C 两个定点的距离之和是 10，所以点 A 的轨迹是以 B、 C 为焦点的椭圆，但点 A 与点 B、C 不能在同一直线上．适 当建立平面直角坐标系，可以求出这个椭圆的标准方程．
2.1.1 椭圆及其标准方程
1
2
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解 决实际问题中的作用．
2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.
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1.椭圆的定义 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于__常__数____(大 于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两___个__定__点_叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的__焦__距____．
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[解] (1)如上图，由题意知，A、B 在椭圆2x52＋1y62 ＝1 上， 故有|AF2|＋|AF1|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝2×5＝10， |AF2|＋|BF2|＝AB，
∴△ABF1 的周长＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋ |AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝4a＝ 4×5＝20.
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椭圆的标准方程 例 2 求经过两点 P1(13，13)， P2(0，－12)的椭圆的标准方程． [分析] 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”， 即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆 的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．
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[解] 解法一：①当椭圆的焦点在 x 轴上时，设椭圆的 标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，
∴△AF1B 的周长为 20.
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(2)如果 AB 不垂直于 x 轴，△AF1B 的周长仍为 20 不变， 因为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1| ＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a，与 AB 和 x 轴是否垂直无关．
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[点拨] 本题充分利用了椭圆的定义来解决三角形周长 的问题．
，解得b12＝81 a12＝41
.
即 a2＝4，b2＝8，则 a2<b2，与题设中 a>b>0 矛盾，舍
去．
综上，所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
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方法二 设椭圆的一般方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0， A≠B)．将两点(2，－ 2)，(－1， 214)代入，
4A＋2B＝1 得A＋144B＝1
A．椭圆
B．直线 F1F2
C．线段 F1F2
D．直线 F1F2 的垂直平分线
解析：|MF1|＋|MF2|＝2＝|F1F2|， 所以点 M 的轨迹为线段 F1F2.
答案：C
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2．下列说法中，正确的是( ) A．平面内与两个定点 F1、F2 的距离和等于常数的点的 轨迹是椭圆 B．与两个定点 F1、F2 的距离和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹是椭圆 C．方程xa22＋a2－y2 c2＝1(a>c>0)表示焦点在 x 轴上的椭圆 D．方程xa22＋by22＝1(a>0，b>0)表示焦点在 y 轴上的椭圆
4 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|＝____3____.
解析：由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又 2|AB| ＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝43.
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5．当 3<k<9 时，指出方程9－x2k＋k－y2 3＝1 所表示的曲线．
解：∵3<k<9，∴9－k>0 且 k－3>0. (1)若 9－k>k－3，即 3<k<6 时，则方程表示焦点在 x 轴上的椭圆； (2)若 9－k＝k－3，即 k＝6 时， 则方程表示圆 x2＋y2＝3； (3)若 9－k<k－3，即 6<k<9 时， 则方程表示焦点在 y 轴上的椭圆．
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[解] 以过 B、C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平 分线为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy.如图所示．
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由|BC|＝8，可知点 B(－4,0)，C(4,0)，c＝4. 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10， 因此，点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆，这个椭圆 上的点与两焦点的距离之和 2a＝10，但点 A 不在 x 轴上．由 a＝5，c＝4，得 b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点 A 的轨迹方 程为2x52 ＋y92＝1(y≠0)．
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1.椭圆定义的理解 设两定点 F1、F2，点到 F1、F2 的距离之和为 2a (1)当 2a>|F1F2|时，点的轨迹是椭圆． (2)当 2a＝|F1F2|时，点的轨迹是以 F1、F2 为端点的线段． (3)当 2a<|F1F2|时，点的轨迹不存在．
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2．待定系数法求椭圆标准方程的步骤 (1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，还是两个坐标轴上都有可能； (2)设方程： ①依据上述判断设方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)或ay22＋xb22＝ 1(a>b>0)； ②在不能确定焦点位置的情况下也可设 mx2＋ny2＝ 1(m>0，n>0 且 m≠n)；
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[点拨] 利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据 动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定 点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离， 若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程，这就 是定义法求椭圆标准方程的方法，但注意检验．