2019版高考数学二轮复习第1篇专题6系列4选讲第1讲大题考法——坐标系与参数方程学案

第1讲大题考法——坐标系与参数方程
考向极坐标方程与参数方程的综合应用
【典例】 (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋t ，
y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－2＋m ，y ＝m
k
(m 为参数)．
设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C
的交点，求M 的极径． [审题指导]
①看到直线l 1，l 2的方程，想到消参、化为普通方程是常用方法 ②看到l 1，l 2的交点问题时，想到联立方程再求解
③看到l 3与C 的交点问题，想到先求C 的极坐标方程再联立求解 [规范解答] (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 1分 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1
k
(x ＋2).
2分
设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝k x －，y ＝1
k
x ＋，
消去k 得x 2
－y 2
＝4(y ≠0)❶
，
3分
所以C 的普通方程为x 2－y 2
＝4(y ≠0).
4分 (2)C 的极坐标方程为ρ2
(cos 2
θ－sin 2
θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π).
5分 联立⎩⎨
⎧
ρ22
θ－sin 2
θ
＝4，
ρ
θ＋sin θ－2＝0
❷
6分
得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－1
3
，
7分 从而cos 2θ＝910，sin 2
θ＝110
.
8分 代入ρ2
(cos 2
θ－sin 2
θ)＝4得ρ2
＝5， 9分 所以交点M 的极径为 5.
10分
❶处消去k 后，注意等价性，易忽视y ≠0而失误．
❷处联立极坐标方程后，注意运算技巧，先求cos 2
θ，sin 2
θ，再求ρ.若直接消去θ不太容易做到．
[技法总结] 求解极坐标方程与参数方程综合问题需过“三关”
一是互化关，即会把曲线的极坐标方程、直角坐标方程、参数方程进行互化； 二是几何意义关，即理解参数方程中的参数的几何意义，在解题中能加快解题速度； 三是运算关，思路流畅，还需运算认真，才能不失分． [变式提升]
1．(2018·淮北二模)已知直线l
的参数方程： ⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋t cos θ，
y ＝t sin θ
(t 为参数)，曲
线C 的参数方程：⎩⎨
⎧
x ＝3cos α，
y ＝sin α
(α为参数)，且直线l 交曲线C 于A ，B 两点．
(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并求θ＝π
4时，|AB |的长度；
(2)已知点P (1,0)，求当直线倾斜角θ变化时，|PA |·|PB |的范围． 解 (1)曲线C 的参数方程：⎩⎨
⎧
x ＝3cos α，y ＝sin α
(α为参数)，
曲线C 的普通方程为x 2
3
＋y 2
＝1．
当θ＝π
4时，直线AB 的方程为y ＝x －1，
代入x 2
3
＋y 2＝1，可得2x 2
－3x ＝0，
∴x 1＝0，x 2＝32.∴|AB |＝1＋1×|32－0|＝3
22．
(2)直线参数方程代入x 2
3
＋y 2
＝1，得
(cos 2
θ＋3sin 2
θ)t 2
＋2cos θ·t －2＝0． 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，
∴|PA |·|PB |＝－t 1·t 2＝2cos 2 θ＋3sin 2 θ＝21＋2sin 2
θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，2．
2．已知曲线C ：4x 29＋y
2
16＝1，直线l ：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3＋t ，y ＝5－2t (t 为参数)．
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程．
(2)设曲线C 上任意一点P 到直线l 的距离为d ，求d 的最大值与最小值． 解 (1)曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝32
cos θ，
y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程2x ＋y
－11＝0．
(2)曲线C 上任意一点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
2
cos θ，4sin θ
到直线l 的距离 d ＝55|3cos θ＋4sin θ－11|，
即d ＝
55|5sin(θ＋α)－11|，其中α为锐角，且tan α＝4
3
， 当sin(θ＋α)＝－1时，最大值为165
5；
当sin(θ＋α)＝1时，最小值为65
5．。