第01章_螺旋理论基础

第一篇 螺旋理论
应用螺旋理论做空间机构的某些分析是比较方便的，它是诸种常用的数学方法中较好的一种。

螺旋也称旋量。

一个旋量可以表示空间的一组对偶矢量，从而可以用来同时表示矢量的方向和位置，同时表示运动学中的角速度和线速度，以及同时表示刚体力学中的力和力矩。

这样一个含六个标量的旋量概念，就易于应用于空间机构的运动和动力分析。

它也易于与其他方法如矢量法、矩阵法和运动影响系数法之间的相互转化。

它具有几何概念清楚、物理意义明确、表达形式简单、代数运算方便、理论上的难度也不是很高等优点，因而得到广泛的应用。

对目前机构学上的许多前沿性的研究问题，螺旋理论也做出了贡献。

螺旋理论形成于19世纪。

首先Poinsot 在19世纪初通过对刚体上力系的简化，得到具有旋量概念的力矢与共线的力偶矢，这是一组对偶矢量。

Pl ücker [1]确定了空间直线的方向位置的六个坐标，这就称为Pl ücker 线坐标。

1900年，Ball 写出经典的著作《螺旋理论》[2]，书中以螺旋讨论了在复合约束下刚体的运动学和动力学。

在20世纪的前半叶，螺旋理论几乎无人问津。

直到1950年Dimentberg 在分析空间机构时，首次应用了螺旋理论[3, 4]，引起了人们的关注。

接着Freudenstein 、Yang 等[5]应用对偶四元素、螺旋微分于空间机构的位移和动力分析。

Phillips [6]应用螺旋理论分析三物体的相互运动。

1978年Hunt 的《运动几何学》是螺旋理论的现代发展[7]。

Waldron [8], Sugimoto 和Duffy [9]等在螺旋理论及其应用上都做出了贡献。

Duffy [10]在1984年首先将螺旋理论应用到并联机器人上，其后黄真[11]于1985年用螺旋理论分析并联机器人的瞬时螺旋运动。

这些是早期的在并联机器人上的研究。

本篇
主要的内容选自1983年Duffy 在佛罗里达大学的课堂讲义[12]，
这里谨向已去世的Duffy 教授表示诚挚的敬意。

第1章 螺旋理论基础
本章先从空间的点、线、面的矢量表示开始，建立它们的齐次坐标，讨论它们的相互关系。

在此基础上，引出两个重要概念，即线矢量和旋量，讨论了它们的性质和代数运算。

最后结合机器人空间开链机构及空间单闭环机构建立它们的运动副的螺旋表示。

1-1 点线面的齐次表示
1-1-1 点的齐次坐标
在坐标系O-XYZ 中，A 点的位置由矢量k j i OA r z y x ++==决定，图1-1。

若有四个数、、和d ，使0x 0y 0z x d x =0, y d y =0及z d z =0, 则A 点的位置矢量可以表示为 d z y x )(000k j i r ++= (1-1) (点的齐次坐标的这四个数、、和，也常常表示为，当0x 0y 0z d 4321x ,x ,x ,x 0X =),,,(4321x x x x ，无点存在)。

注意对于齐次坐标0不表示任何点。

如果令
0000)(d k j i =++z y x
显然d 0是沿直线OA 方向的矢量。

代入式(1-1)得d 0d r =, 这里写成
0d r =d (1-2)
此式表示了A 点的位置。

式中d 及d 0是A 点位置的齐次坐标。

因为在式(1-2)中，以标量λ构成d λ及0d λ代替及，表示的是同一个点A 的坐标。

点的这种齐次坐标记以。

由于点的坐标取决于三个独立的参数，故在三维空间点的数目有∞d 0d );(0d d 3个。

由式(1-2)，A 点至原点的距离为
0d r = (1-3) 当00=d ， 0=r ，A 点与原点重合；当0=d , +∞=r , A 点在无穷远。

图1-1 点的齐次坐标
图1-2 直线的矢量方程 1-1-2 直线的矢量方程
空间有两个点和，见图1-2。

若按一定的顺序连接这两点，就决定了一条空间直线的位置和方向，这条有向的直线段可由矢量S 表示。

在直角坐标系中，S 与其三个分量的关系为
),,(111z y x A ),,(222z y x B k j i S )()()(121212z z y y x x −+−+−= (1-4)
如果令 L x x =−12
M y y =−12
N z z =−12
代入式(1-4)，则此有向直线段为
k j i S N M L ++= (1-5)
两点之间的距离或直线段的长度为
222N M L ++=S (1-6) 设
S L l =
S M m = (1-7)
S N n =
L 、M 、N 是有向线段S 的方向数，而l 、m 、n 是S 的方向余弦。

显然。

若给定直线方向，直线在空间的位置可通过直线上某点的矢量r 1222=++n m l 1给定。

这样，这条直线的矢量方程可以写为
0)(1=×−S r r
再进一步改写就成为直线的标准形式
0S S r =× (1-8)
其中S 0为直线的位置矢量r 1与矢量S 的叉积
S r S ×=10 (1-9)
它称为矢量S 对原点的线矩(moment of line)。

线矩也是矢量，其大小及方向与矢量S 和r 1的大小以及它们相对坐标系在空间的方向位置有关。

若S 是单位矢量，1=⋅S S ，则线矩S 0的模表示直线
到原点的距离。

S 是方向余弦没有单位，S 0却具有长度单位。

当矢量S 过原点，其线矩为零，0=0S 。

当S 及S 0给定后，直线在空间的方向及位置都被确定，而且它们是一一对应的。

显然矢量S 与其对原点之线矩是互为正交的，。

0=⋅0S S 决定直线的矢量方程中的两个参数S 及S 0也是齐次坐标，因为以标量λ构成的S λ及0S λ,代入式(1-8)，所表示的仍是同一条直线。

只是直线段有不同的长度。

这种满足正交条件的齐次坐标表示了直线在空间的位置及方向，称为直线的Pl ücker 坐标，或Pl ücker 线坐标。

空间中的直线与其Pl ücker 坐标是一一对应的。

两个矢量的如此结合也称对偶矢量，S 为对偶矢量的原部(real unit)；S );(0S S );(0S S );(0S S 0为对偶矢量的对偶部(dual unit)。

式(1-8)中S 0表示的叉积，S r S ×=10，如写为行列式形式，为
N
M L
z y x 111
0k j i
S = 行列式展开，有 k j i S R Q P ++=0 (1-10)
其中P 、Q 、R 为
M z N y P 11−=
N x L z Q 11−= (1-11)
L y M x R 11−=
同样，将式(1-8)左边的叉积也展开，并将式(1-11)代入，得到空间直线方程的代数式
00
=−−=−−=−−R yL xM Q xN zL P zM yN
因为直线S 与其线矩为正交，00=⋅S S , 故由式(1-5)及(1-10)有
0=++NR MQ LP (1-12)
直线的 Pl ücker 坐标中的两个矢量S 和S );(0S S 0 都可以用直角坐标系的三个分量表示，这样Plücker 坐标的标量形式即为 ，L 、M 、N 是有向线段S 的方向数，P 、Q 、R 是该线段S 对原点的线矩在X 、Y 、Z 三轴的分量。

因为这六个量L 、M 、N 、P 、Q 、R 之间存在关系式(1-12)，所以六个分量中只有五个是独立的。

在三维空间中就有∞),,;,,(R Q P N M L 5 条不同方向、位置和长度的有向线段。

从式(1-8)也可以看到，该直线方程取决于两矢量S 和r 的5个独立的参数。

从上面我们看到，直线可以用式(1-8)的矢量方程表示; 也可以用Pl ückerr 坐标或表示；此外，表示直线的对偶矢量还可以写成);(0S S ),,;,,(R Q P N M L )(0S S ∈+[13]，其中被称为对偶标识符(Clifford factor)，且有。

这里最重要的是这两个矢量S 和S ∈032===∈∈Λ0决定了一条直线在空间的方向和位置。

唯一地对应空间的一条直线；而空间的一条直线也唯一地对应一组对偶矢量，它们具有一一对应的性质。

);(0S S );(0S S 例1-1
(000;n m l
))为过原点的直线，方向余弦为； )(n m l (b a l
0;00为一条不过原点平行X 轴的空间直线； ()r q p n m l ;，且0=++nr mq lp 。

这是一条不过原点方向为的直线； )(n m l 若有过原点的矢量P 垂直相交于直线，图1-3，则矢量OP 的模|P |是从原点O 到直线的距离，由于矢量P 的端点在直线S 上，满足直线方程(1-8)，即);(0S S 0S S P =×。

将此等式两边左面叉乘S ，有 0)(S S S P S ×=××展开左边矢量的三重叉积，有
P S S S P S P S S S P S )()()()(⋅=⋅−⋅=××
解出P ，有
S
S S S P ⋅×=
0 (1-13) 因为直线S 与线矩相互垂直，上式可写为 e S S e S S S S P 00|
|||||||== 这里e 是单位矢量，其方向由决定，这样直线S 到原点的距离0S S ×P 为
S S P 0
= (1-14)
由式(1-14)可以看到，当 ，则0=0S 0=P ，直线到原点的距离为零，即直线过原点。

此时直线的 Plücker 坐标可写为，或;0)(S ()000;n m l 。

反之，若Plücker 坐标的前三个标量为零，即当，而0=S 0S 为有限值，∞=P ，此时直线位于距原点无穷远的平面上，写成Plücker 线坐标是。

因为此时对于任何选择的原点，无穷远处的一个无穷小的矢量，它对原点的
线矩皆为 S )(0S 0;0。

S 0与原点位置选择无关，这说明 成为自由矢量；这就是说，若直线的 Plücker 坐标的第一个矢量为零，表示该直线位于无穷远处。

通常自由矢量记为。

)(0S 0;)(S
0;图1-4 平面的矢量方程
图1-3 直线到原点的距离 1-1-3 平面的矢量方程
若矢量 表示了平面的法线，图1-4，平面又通过空间某已知点，此时平面的矢量方程可以表示为),,(N M L n ),,(1111z y x r 0)(1=⋅−n r r 。

这个方程可以改写成平面的标准形式
0n =⋅n r (1-15)
其中标量
N z M y L x n 11110++=⋅=n r
是点的位置矢量与平面的单位法矢的点积。

显然, n 0 的大小与矢量n 的大小、方向以及平面对坐标系的相对位置 r 1 有关。

由式(1-15)看出，是平面的齐次坐标，因为)(0n ;n );(0n λλn 表示的是同一个平面。

平面的齐次坐标
也可表示为。

这样平面的齐次方程为 );0n n （4321x ,x ,x ,x 044332211=+++x a x a x a x a
由于 n 和n 0 决定三个独立变量，故在三维空间有∞3个平面。

若平面到原点的距离用|P | 表示，P 与n 平行，故0=×n P 。

以n 左面叉乘上式
0=××)(n P n
展开
0)()(=⋅−⋅n P n P n n
所以
n
n n n n n P n P ⋅=⋅⋅=
0)(n 这样平面至原点的距离为
图1-5 点和直线决定一平面
n
n n n p 00n n =⋅= (1-16) 故平面至原点的距离等于的绝对值除以法矢的模。

若0n 00=n ，则平面过原点，齐次坐标为
；若，平面在无穷远处，齐次坐标为。

若n 是单位矢量，则是原点到平面的距离。

）
0;(n 0=n );0(0n 0n 空间一条直线与该直线外一点也能决定一个平面。

若有点A ，其位置矢量为 r 0；空间另有一个直线，其方程为 ，见图1-5，这里r 0111S S r =×1为直线上的动点。

显然矢量S 1和都在由该直线和A 所决定的平面内，因此这个平面的法线矢量可由叉积)(01r r −101)(S r r ×−决定。

这样该平面可用如下方程表示
0)()(1011=×−⋅−S r r r r
展开上式左边，因为0)(111=×⋅S r r 有
101101)(S r r S r r r ×⋅−=×−⋅
将代入上式后得到平面方程
0111S S r =×
0101001)(S r S r S r ⋅=×−⋅ (1-17)
此平面方程表示成齐次坐标为);(0011001r S S r S ⋅×−。

如果A 点在这条已知的直线 S 1上，则 0110S S r =×,0001=⋅r S 。

这样平面的齐次坐标的两项都等于零，当然这样的条件不能确定一个平面。

比较点、线、面的齐次坐标，可以看到其形式是很相近的。

点、线、面的齐次坐标分别为、、。

点、线、面至原点距离则分别为
);(0d d );(0S S );(0n n ||||0d d ;||||0S S ;|
|||0n n 1-2 点线面的相互关系及两直线的互矩
1-2-1 直线与平面的交点
若空间有一直线及一平面，图1-6，它们的方程分别为
011S S r =× (1-18)
022S =⋅S r (1-19)
式中S 1是直线的方向矢量，S 01是直线对原点的线矩；S 2是平面的法线矢量，而S 02与平面至原点的距离有关。

将式(1-18)两边左叉乘S 2
01212)(S S S r S ×=××
展开上式左边
0121212)()(S S S r S r S S ×=⋅−⋅
将式(1-19)代入后得到
10201221)(S S S S S r S +×=⋅ (1-20)
此式即为直线与平面交点的矢量表达。

写成齐次坐标为);(10201221S S S S S S +×⋅。

如果，即这条直线与平面的法线垂直。

亦即是说，当直线与平面平行，它们的交点在无穷远处；当这条直线与平面重合时，就会有无穷多的重合点。

021=⋅S S 1-2-2 两平面的交线
有两个平面，其齐次坐标分别为和，两平面相交得一直线。

因为S );(011S S );(022S S 1、S 2
分
别是两平面的法线矢，所以两平面的交线将与S 1及S 2垂直，亦即平行于21S S ×。

为求这条交线的方程，可将下面的三重叉积展开。

211221)()()(S S r S S r S S r ⋅−⋅=××
把这两平面的方程，011S =⋅S r 022S =⋅S r 代入，得两平面的交线方程为
20110221)(S S S S r S S −=×× (1-21)
这样，这条直线的Plücker 坐标是);(20110221S S S S S S −×
若。

即两平面平行，它们的交线在无穷远处，其Plücker 坐标为。

若两平面的法矢量S 0=×21S S )(201102S S S S −0;1和 S 2的方向数分别是和，则它们交线的Plücker 坐标为),,(111N M L ),,(222N M L );(20110221S S S S S S −×，其6个分量分别为
1221N M N M L −=，201102L S L S P −=
1221L N L N M −=，201102M S M S Q −=
1221M L M L N −=，201102N S N S R −=
1-2-3 两直线的互矩
设空间有相错的两条直线，它们不平行也不相交，见图1-7，其矢量方程为
0111S S r =×
0222S S r =×
若它们的公垂线为，其中是单位矢量，1212a a 12a 11212=⋅a a ，而其系数是两线间的垂直距离。

两线之间的扭向角记为12a 12α。

A 、B 两点是两直线间公垂线的两个垂足。

直线S 2对S 1线上垂足A 点的线矩21212S a ×a 与直线S 1的点积，121212S S a ⋅×a ，称为直线S 2关于S 1的矩。

同样，直线S 1对直线S 2上垂足B 点的线矩为212112S S a ⋅×a ，即是直线S 1对直线S 2的矩。

显然此两点积是相等的
212112121212S S a S S a ⋅×=⋅×a a
这相等的两个表达式均定义为两直线的互矩(mutual moment)，记以M m
121212m S S a M ⋅×=a (1-22)
展开此式并考虑到
121212r r a −=a (1-23)
代入式(1-22)并化简，得到互矩的一般表达式为
012021m S S S S M ⋅+⋅= (1-24)
由此式可以看到，两直线的互矩是由两直线的两个矢量和两线矩交换下标后的点积之和。

当S 1和S 2都有是单位矢量时，12211=⋅=⋅S S S S
121212sin αa S S −=× (1-25)
其中S 1与S 2间的扭向角12α的值是以为正向，按右手螺旋方向度量。

将式(1-23)与(1-25)点乘，则互矩M 12a m 还可写为
12121212m )(αsin a −=×⋅−=S S r r M (1-26)
由式(1-26)可以看到互矩只与两直线间的距离及扭向角有关，与原点位置的选择无关，即互距与坐标系的选择无关。

若两直线的S 及S 0均以标量表示
),,(1111N M L =S ， )
,,(11101R Q P =S ),,(2222N M L =S ， ),,(22202R Q P =S
则由式(1-24)，互矩还可以写成代数式
212121212121m N R M Q L P R N Q M P L +++++=M (1-27) 由上述分析可知，如果两直线平行，或说两直线相交于无穷远处，012=α，则它们的互矩为零；如果两直线相交，其垂直距离就等于零。

所以空间两直线相交于有限远处、无限远处，或说两直线共面，这些情况下两直线的互矩都为零
12a 0012021=⋅+⋅S S S S (1-28)
1-2-4 两直线的交点
有共面两直线，，
0111S S r =×0222S S r =×，其交点为r ，则有011S S r =×，。

为求此交点可以将两直线方程的两边对应项相叉乘
022S S r =×02012211)()(S S S r S r ×=×××
展开左边
02012121)()(S S S r S r r S S r ×=⋅×−⋅×
化简后就可以得到
0201012)(S S S S r ×=⋅ (1-29)
这即是两直线交点的矢量表达式，其齐次坐标可写为)(0201012S S S S ×⋅;。

如果，即交点齐次坐标的第一项为零，0012=⋅S S )(0201S S ×0;，这表示两直线的交点在无穷远处，两直线平行。

如果相交的两直线还满足0201S S ±=，则这两条直线是重合的。

如果两条直线垂直相交，在满足共面的条件下，它们还须满足条件021=⋅S S 。

当两直线在空间位置相错，其扭向角12α等于或时，这两条该直线称为相互正交(mutually orthogonal)。

显然相互正交的两条直线和，它们的互矩并不为零。

又由式(1-26)，方向正交但不相交的两单位线矢量的互矩为
°90°270);(011S S );(022S S 12m a ±=M (1-30)
1-2-5 两直线的公法线
空间有两直线)(0111S S $;=和)(0222S S $;=，欲求其公法线)(0a a $;=a 。

显然其公法线的方向矢量为。

这里先将$21S S a ×=1和构成一个平面m ，由平面方程式(1-15)，，其中。

由式(1-13)，原点至直线的距离矢量a $o n =⋅n r n r ⋅=10n ())11011S S S S P ⋅×=，则。

这样由$)(2110S S S P ××⋅=n 1和a 按式(1-15)构成的一个平面m 的方程式为
)()(2111
1011211S S S S S S S S S S r ××⋅⋅×=
××⋅ 下面将求平面m 与直线$2之交点，由式(1-20)有 2m 002m m 2)(S S S S S r S +×=⋅
即
22111
1011022112112))(()())((S S S S S S S S S S S S S S S S r ××⋅⋅×+×××=××⋅ 在求得公法线的方向及其上一点后，按式(1-8)公法线的方程为
(2121122211110110221121)
())((
)()(S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S r ××××⋅××⋅⋅×+×××=××) (1-31)
1-3 线矢量及旋量
本节将引出两个重要概念，一个是线矢量(line vector)，另一个是旋量(screw)。

在节1-1中曾建立了空间直线的矢量方程，这里将把这个概念再引申一步。

如果空间一个矢量被约束在一条方向、位置固定的直线上，仅允许该矢量沿直线前后移动，这个被直线约束的矢量称为线矢量。

这样线矢量在空间的位置和方向，就由矢量S 和其线矩S 0 决定，并且S 与S 0为正交，。

线矢量的Pl ücker 坐标即。

因为线矢表示的是齐次坐标，以标量00=⋅S S );(0S S );(0S S λ数乘，);(0S S λ表示同一线矢。

矢量S 表示直线的方向，它与原点的位置无关；而线矩S 0则与原点的位置有关。

若原点的位置改变，由B 点移至A 点，见图1-8，矢量S 对点A 之线矩 S A 为
S r AB S r S ×+=×=)(B A A
即为
S AB S S ×+=B A 0S S (1-32)
表示线矢的两个矢量还可以结合成对偶矢量的形式
为
∈+=$ (1-33)
这里∈为对偶标记(Clifford factor)。

且。

当S 为单位矢量，$称单位线矢量
032===∈∈Λ1=⋅S S ,
00=⋅S S 如前指出，单位线矢量$与其空间表示的直线是一一对应的。

在三维空间线矢量的数目是∞5，而单位线矢量的数目是∞4。

对偶矢量的原级矢量和次级矢量在一般情况下不满足矢量的正交条件，。

不满足矢量正交条件的对偶矢量称为旋量。

也记为 00≠⋅S S );(0
S S $0S S $∈+=, (1-34)
00≠⋅S S 这样线矢量可看成是旋量的特殊情况，当组成旋量的两矢量的点积为零时，旋量退化为线矢量。

（请读者注意，本书为了学习的方便，将的对偶矢量的对偶部矢量以标记，
以表示与线矢量的区别，但在国际上不加区别都用表示。

） 00≠⋅S S );(0
S S 0S 0S 在决定旋量的两矢量中，S 与原点的选择无关，而矢量S 0是与原点的位置有关的。

当原点由B 移至A 时，仍可以按式(1-32)计算。

A S 当将螺旋由坐标系A-xyz 变到O-XYZ ，还可以由下面的矩阵式换算： A $0$T $= (1-35)
其中
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=×][]][[0][33$A O A O A O R R R T OA (1-36) 其中表示坐标系A-xyz 对于O-XYZ 的方向余弦矩阵，而
][R [] ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡−−−=000x y x z
y z OA OA OA OA OA OA OA 如前所述，对于旋量，当改变原点时，其对偶部改变。

如把原点从点O 移至A 点，旋量成
为 );(A S S S AO S S ×+=0A (1-37)
将上式两边点乘S ，得到
0A S S S S ⋅=⋅
由此可见，在原点改变前后，虽然旋量的对偶部改变，但是旋量的原级矢量与次级矢量的点积却
是原点不变量。

换句话说，虽然与原点位置有关，
但与原点的位置无关的。

如果0S 0S S ⋅0≠S ，则称下面这个原点不变量
22200n
m l nr mq lp h ++++=⋅⋅==S S S S λλ (1-38) 为旋量的节距(pitch)。

节距是原点不变量与坐标原点的改变无关。

节距是有量纲的，具有长度单
位。

细心的读者将会发现，这里的节距定义与机械制造中的螺旋导程的定义是不同的，将来在计算节距时与导程在数值上也有微小的不同。

如果某旋量的原级矢量S 为单位矢量，1=⋅S S ，这是单位旋量。

在三维空间中单位旋量的数目为∞5，而旋量的数目为∞6。

线矢量在空间对应一条确定的直线；同样，一个旋量，,，在空间也对应有一条确定的轴线，为确定这条直线我们可以如图1-9将分解为垂直和平行于的两个分量，和，这样
);(0S S 00≠⋅S S 0S S S h S S h −0)()(00S S S S S S h h +−=;; (1-39)
其中是垂直于S , 由此，因此螺旋的轴线方程即是
S S h −000S S S =−h S S S r h −=×0
写成Plücker 坐标为。

由式(1-39)一个
螺旋可以分解表示为 );(0
S S S h
− 图1-9 螺旋的轴线
()()()S S h h ;0+S S S S $;;00−==
它说明一个线矢量和一个偶量构成一个旋量。

从式
(1-39)也可以看到单位旋量决定于S ，r 和h 等5个
独立变量。

这样，一个螺旋包含了4个因素，螺旋的轴线
位置，螺旋的节距以及螺旋的方向和大小。

对于单
位螺旋就只包括3个因素，即螺旋的轴线位置、方
向和螺旋的节距。

同时我们还看到在坐标系的变换中，旋量的位置、节距和大小都不发生变化。

式(1-39)还可以写为 )0;()()()()(000S S S;S S S;S S r S;S S;h h h +=+=+×=
这样任何螺旋都可以看成是一个线矢量与一个偶量的同轴叠加。

若有一单位线矢量，)(,0100=⋅=⋅∈+a a a a a a 和一个对偶数，，0λλ∈+，旋量可以表示成为单位线矢与此对偶数之积[14]。

即
)())((000a a a a a S S $λλλλλ+∈+=∈+∈+=∈+= (1-40)
根据两对偶量相等必须原级与次级分别相等的关系，有
a S λ=， (1-41)
a a S λλ+=00当对偶矢量为，若存在，$是一般意义的旋量，由式(1-38)决定旋量
的节距不等于零，0S S $∈+=00≠⋅S S h 0≠h 。

若，S ，而，旋量退化为线矢量，$，线矢的节距为零，。

若、，旋量退化为偶量(couple)，(，其节距为无0≠S 00≠00S =⋅S ∈+=0
S 0S S 0=h 0=S 00≠S );0
穷大，。

若同时有，，这旋量为零，节距为不定。

概括上述
∞=h 0=S 00=S h 旋 量：,, )(0S S;0≠S 00≠⋅S S 0≠≠∞h
线矢量：, )(0S S;0≠S 00=⋅S S , 0=h
偶 量：, )(S ;00≠S ∞=h
零旋量：0=S , , 不定。

00=S h 例1-2 螺旋表示节距为h ，轴线过原点的旋量。

()hn hm hl n m l ;)例1-3 这是一个过原点轴线沿X 轴，节距为1的单位旋量；因为
(001;001())10=⋅⋅=S S S S h
00=−=×S S S r h
例1-4 ()3/111;111 这也是一个轴线过原点沿方向节距为1的单位螺旋。

)111(例1-5 判别(
)(001011;0;==S S $)的属性，并求其轴线位置。

解：先计算节距，())210=⋅⋅=S S S S h ，其节距不为零；由于则轴线方程为
S S r S S S h h +×=+=00
S S S r h −=×0
即
()T
02121−=×S r 可以看到，该对偶矢量是一个不过原点的非单位螺旋，1≠⋅S S 。

1-4 旋量的代数运算
旋量符合下列的运算规则[14]，并有特殊的应用意义。

1-4-1 两旋量的代数和
两旋量，，其代数和仍为旋量。

且和旋量的原部和对偶部，分别为两旋量的原部和对偶部之和。

0111S S $∈+=0
222S S $∈+=)(0201121S S S S $$2+∈++=+)( (1-42) 对于线矢量，若两线矢共面，而且两原部矢量之和非零时，则两线矢量之和仍为线矢量。

这可证明如下，由于是线矢量，原部和对偶部矢量有正交性, 0011=⋅S S ,。

又已知这两线矢量共面，则这两直线的互矩为零，由式(1-28)，0022=⋅S S 0120201=⋅+⋅S S S S ，所以有
0)()(020121=+⋅+S S S S
这表明和线矢量的原部与对偶部是正交的，因此共面两线矢之和仍为线矢量。

但两单位线矢量之和不再为单位线矢量。

对于共面的两线矢量，和线矢过两线矢的交点。

这是因为，共面两线矢的和仍为线矢量，其
矢量方程为
020121)(S S S S r +=+×
若以表示两线矢交点的矢径。

应分别在两线矢上，同时满足两线矢方程
1r 1r 0111S S r =×, 0221S S r =×
将两式相加有
0201211)(S S S S r +=+×
此式表明两线矢的交点满足和线矢作用线方程，所以和线矢过两线矢的交点。

1r 当两线矢平行，且112−≠=λλ,S S ，则和线矢的轴线以比1λ将和间的任何连线分为两段。

这是因为，若、分别是和上的两个点，则有1$2$1r 2r 1$2$0111S S r =×，0222S S r =×，和线矢可写为，
121121)()1(S r r S $$×+∈++=+λλ
其轴线方程为
1211)()1(S r r S r ×+=+×λλ
点)()(211r r r λλ+=+ 满足此方程，且以比1λ分线段21r r −。

当、有相同方向时，1S 2S 0>λ，和线矢内分线段，当、有相反方向，1S 2S 0<λ，外分线段。

当1−=λ时， 12S S −=，两线矢之和是一偶量
112221121)(])([S r r S r S r $$×−=∈−×+×=∈+
注意，不共面的两线矢之和一般为节距不为零的螺旋，而线矢与偶量之和则非线矢。

1-4-2 两旋量的标量积
两旋量的标量积(scalar product)，也称点积，定义为
)()(02201121S S S S $$∈+⋅∈+=⋅
展开可以得到两旋量的标量积公式
)(0120212121S S S S S S $$⋅+⋅∈+⋅=⋅ (1-43)
两旋量的标量积仅是一个对偶数，不再是旋量。

而且其对偶部分与原点位置选择无关。

两旋量的标量积有如下性质：：
① 交换律
1221$$$$⋅=⋅② 分配律 3121321)($$$$$$$⋅+⋅=+⋅
这里讨论一种特殊情况，若有两单位线矢量0111S S $∈+=和0222S S $∈+=，可以写出
1221cos α=⋅S S
121221sin αa S S =× (1-44)
这里是单位矢量，12a 12α是扭向角。

沿的单位线矢量为，它与及都相交成直角。

如12a a $1$2$
果我们将坐标系的原点选在与之交点处，如图1-10所示。

为公垂线的长度，这样三个线矢量可以表示为
1S 12a 12a ();011S $=
2121222S a S $×∈+=a (1-45)
();0123a $=
由式(1-43)有
211212212121122121S S a S S S a S S S $$×⋅∈−⋅=×⋅∈+⋅=⋅a a
由式(1-44)可以进一步写为
12121221sin cos ααa ∈−=⋅$$ (1-46)
若把两线矢之间的空间相对位置表示为对偶角[14, 15]
121212ˆa ∈+=αα
这样两单位线矢量的标量积就是其对偶角的余
弦
1221ˆcos α
=⋅$$ (1-47) 这个结果与两单位矢量点积，12
21cos α=⋅S S 有相同的形式。

如果平行于，则
1S 2S 1cos 12=α，两线矢的点积
121±=⋅$$
图1-10 两线矢的点积
如果与$垂直相交，1$22π12=α，012=a ，
两线矢的标量积为零 021=⋅$$
1-4-3 两旋量的互易积
从式(1-43)看到，两旋量标量积的对偶部分是两旋量的原部矢量与对偶矢量下标交换后做点积之和，这个乘法这里被定义为两旋量的互易积(reciprocal product)，记为
01202121S S S S $$⋅+⋅=ο (1-48)
互易积是螺旋理论中最有意义的一种运算。

若$1及$2 是两线矢量，则式(1-48)为
01202121S S S S $$⋅+⋅=ο (1-49)
等式右边与式(1-24)相同，表示两线矢的互易积就是两直线的互矩。

两线矢共面的充分必要条件是它们的互易积为零。

有两个螺旋$和$, 它们的互易积是
);(0111S S );(0
222S S 01202121S S S S $$⋅+⋅=ο
当原点从点 O 移动到点 A ，这两个螺旋变成
);();(1011A 11A 1S AO S S S S $×+==
);();(2022A 22A 2S AO S S S S $×+==
这两个新的螺旋的互易积为
2110122021A 2A 1)()($$S AO S S S AO S S $$οο=×+⋅+×+⋅=
这个结果表示了互易积是与原点的选择无关。

在后面还将看到它导出了两螺旋的相逆与原点的选择无关。

这是一个十分有用的性质。

1-4-4 两旋量的叉积
两旋量的叉积(motor product)也称旋量积，定义为
)()(02201121S S S S $$∈+×∈+=×
展开右边得到两旋量叉积的计算公式
)(2010212121S S S S S S $$×+×∈+×=× (1-50)
旋量叉积仍为旋量。

当原点由O 移至A 点时，与叉积的对偶部为
1$2$)
()()(212010212
10120212A 1A 21S S AO S S S S S S AO S S AO S S S S S S ××+×+×=××++×+×=×+×
这里应用了恒等式 0)()()(122121≡××+××+××S AO S AO S S S S AO
因此叉积的对偶部与原点位置有关。

旋量叉积有如下性质：
① 分配律 3121321)($$$$$$$×+×=+×
② 反交换律 1221$$$$×−=×
对两单位线矢0111S S $∈+=，0222S S ∈+=$，
若将它们按式(1-42)表示，其叉积由式(1-50)可写为
1212121221cos sin αα12a a $$a ∈+=×
1212ˆa ∈α
当以对偶角表示及两轴线相对的空间方位时1$2$[13]， 则 121221ˆsin α
a $$=× (1-51) 式(1-51)表示的两单位线矢的叉积公式，形式上完全类似两矢量的叉积
121221sin αa S S =×
当与平行时，原点选在与的交点处，见图1-10，利用公式(1-45)，上述公式简化为
1$2$1S 12a 1212121212121221cos sin a a a $$a a ∈±=∈+=×αα
当与共线时，1$2$012=α或 π，012=a
021=×$$
1-5 刚体的瞬时螺旋运动
在三维空间里刚体最一般的运动形式为螺旋运动，即同时存在刚体绕轴的转动与沿同轴方向的移动。

刚体的纯转动和纯移动都只是螺旋运动的特殊情况。

本节中首先从讨论刚体的纯转动和
纯移动运动开始，再讨论一般形式的螺旋运动。

包括确定螺旋的Plücker 坐标，螺旋节距，螺旋轴线方程等等。

图1-11 刚体的瞬时转动运动
1-5-1 刚体的瞬时转动
若刚体2相对刚体1做绕S 轴的瞬时转动，如图1-11所示，转动角速度0S ωω=。

但描绘刚体在三维空间绕某个轴的旋转运动，只用一个角速度矢量ω还是不明确的，因为这还没有表示出转动轴线的空间位置。

所以应采用角速度线矢量来表示物体的转动运动，即角速度的大小与一个表示旋转轴作用线的单位线矢之积
);(0S S 00)(S S S S $ωωωω∈+==; (1-52)
式中是单位矢量，；是对原点的线矩，且与正交，S 1=⋅S S 0S S S 00=⋅S S 。

转动的轴线方程即为
0S S r =×
线矢的第二项可以写为
00v ωr S r S =×=×=ωω (1-53)
转动运动线矢量的第二项是刚体上与原点O 重合的点的速度，也即是做旋转运动的物体上产生的原点重合点的切向速度，故式(1-52)也可写为
)(00v ωv ω$;=∈+=ω (1-54)
这样，构成刚体的转动线矢的对偶矢量是包括角速度矢量和刚体上与坐标原点重合点的线速度ω
0v 。

刚体的瞬时转动运动的Plücker 坐标为)(0S S ;ω或。

当坐标系原点与转轴重合，，转动线矢变成)(0v ω;00=v 0∈+=ω$ω，写成Plücker 坐标为。

)0;(ω1-5-2 刚体的瞬时移动
当刚体2相对刚体1做移动运动，速度v 沿单位矢量方向，
则速度矢量可以表示为，此单位矢量通常是选在移动副导路的中心方向。

然而对移动运动，刚体上所有的点都具有相同的移动速度S S v v =S v ，即是说将矢量平行移动并不改变刚体的运动状态，所以这样的移动速度矢量是自由矢量。

S 刚体的移动速度，也可以看成是一个瞬时转动，此转动轴线与正交，并位于距无限远的平面内，此转轴的Plücker 坐标为或。

绕此轴的瞬时转动运动，就可以表示成或。

速度矢量S S );0(S ),,;0,0,0(N M L );0(S v );0(v v 是自由矢量。

1-5-3 刚体的瞬时螺旋运动
当刚体2相对刚体1既有相对转动又有相对移动时，情况要复杂一些。

这里先讨论转动轴线与移动方向不一致的情况，如图1-12所示。

这时刚体通过回转副1绕轴旋转，瞬时转动螺旋为1S )(0111S S ;ω，这里为单位线矢；刚体同时又通过移动副2沿做相对移动，瞬时移动螺旋为,为单位矢量。

刚体的绝对瞬时运动应是此两个速度的合成，按旋量代数和计算，合成旋量的原部和对偶部应分别是转动、移动两螺旋的原部和对偶部的和。

合成旋量如表示成
)(011S S ;2S );0(22S v 2S 0i i i i i i S S $ωωω∈+= (1-55)
其中下角标i 表示合成的绝对瞬时运动，其原部及对偶部分别是
11S S ωω=i i (1-56)
220110S S S v i i +=ωω (1-57)
可以看到，合成运动的角速度方向矢量i S 平行于1S ；合成运动转动角速度i ω等于转动角速度
1ω。

合成运动的对偶矢量仍为移动速度矢量。

0i i S ω显然此时刚体的绝对瞬时运动，已不再是纯转动，而且旋量的对偶矢量也不满足正交条件，。