广东省惠州市惠城区第三中学等七校联考2023—2024学年下学期九年级数学试题(含答案)

惠城区2023—2024学年第二学期九年级七校联考数学试题
（考试总分120分，考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．在-3，−1
2
，0，2这四个数中，比-2小的数是（ ）
A．-3B．−1
2
C．0D．2
2.“跑一场马，认识一座城”。

2024惠州马拉松是惠州市人民政府主办的首届马拉松赛事，共57249
人报名参与，12000人中签，中签的12000人来自13个国家、34个省份，参赛规模之大、参赛人员
之多，均属惠州首次。

用科学记数法表示12000是( )
A．1.2x105B．1.2x104C．0.12x105D．12x104
3．如图是一个正方体的平面展开图，折叠成正方体后与“建”字所在面相对的面上的字是（ ）A．创B．教C．强D．市
4．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1=15°，
∠2=25°，则∠ABC的大小为（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35° 5．下列运算中，正确的是（ ）
A．x3•x3＝x6B．3x2+2x3＝5x5
C．（x2）3＝x5D．（ab）3＝ab3
6．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为( )
A．4B．5C．6D．7
7．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛(每两队之间都赛一场)，单循
环比赛共进行45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x支队伍参加比赛，则所列方程为（ ）
A．x(x+1)=45B．x(x+1)
2
=45C．x(x-1)=45D．x(x−1)
2
=45
8．如图，AB是半圆O的直径，点D是弧AC的中点，若∠BAC＝44°，则∠DAC等于（ ）A．22°B．44°C．23°D．46°
第3题图第4题图第8题图
9．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC边上的点，DE∥BC，AD＝3BD，四边形BDEC的
面积是28，则△ABC 的面积为（ ） A ．61
B ．62
C ．63
D ．64
10．如图，菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AC 与BD 交于点O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD ＝
DE ，连接BE 分别交AC ，AD 于点F 、G ，连接OG ，则下列结论正确的是（ ）
①OG =12AB ；②与△EGD 全等的三角形共有2个；③S 四边形ODEG ＝S 四边形ABOG ；④由点
A 、
B 、D 、E 构成的四边形是菱形；A ．①③④
B ．①④
C ．①②③
D ．②③④
第9题图 第10题图 第16题图二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．计算： 18−8=　
　.
12．分解因式：x 2−16y 2= ．
13．方程5x +1−4x
=0的解是　
　．
14．已知 a ，b 为实数， 且满足 a−8+8−a =b− 2 ， 则 ab 的值是 .
15．一元二次方程x 2−3x +1=0的两根为x 1和x 2，则x 12+3x 2+2016=　
　.
16．如图，在圆心角为 90° 的扇形OAB 中，半径OA=2 cm ，C 为弧AB 的中点，D ，E 分别是
OA ，OB 的中点，则图中阴影部分的面积为 cm 2 .
三、解答题（一）（本大题共4个小题，共20分）
17．（4分）计算：tan45°+(12
)
−1
+|−2|．
18．（4分）化简，求值：(1−2a−1)÷a 2−6a +9a 2−a
，其中a =4．
19．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=90°．
（1）作AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交BC于点D；
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）连接DA，若BD=6，求CD的长.
第19题图20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程有一个根为x＝1，求m的值及另一个根．
四、解答题（二）（本大题共3个小题，共28分）
21．（8分）如图，建筑物AB垂直于地面，测角机器人先在C处测
得A的仰角为35°，再向着B前进6米到D处，测得A的仰角为
45°.求建筑物AB的高度（结果精确到米）.
（参考数据：tan35°≈0.70，cos35°≈0.82，sin35°≈0.57）
第21题图
22．（10分）为促进师生身心全
面健康发展，进一步推广“阳光
体育”大课间活动，某学校就学
生对A实心球，B立定跳远，C
跑步，D跳绳四种体育活动项目
喜欢情况进行调查，随机抽取
了部分学生，并将调查结果绘
制成图1，图2的统计图，请结
合图中的信息解答下列问题：第22题图
（1）请计算本次被调查的学生总人数和喜欢“跑步”的学生人数；
（2）将两个统计图补充完整；
（3）随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到2名女生的概率．
23．（10分）如图所示，是某个函数图象的一部分，根据图象
回答下列问题：
（1）这个图象所反映的两个变量之间是怎样的函数关系？
（2）请你根据所给出的图象，举出一个合乎情理且符合图
象所示的情形的实际例子；
（3）直接写出你所举的例子中两个变量之间的函数解析
式，并指出自变量的取值范围；
（4）说出图象中A点在你所举例子中的实际意义.
第23题图
五、解答题（三）（本大题共2个小题，共24分）
24．（12分）如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平
分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB、DC
交于点E，连接BC，CF．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=6，DE=8，求BE的长；
（3）求证：AF+2DF=AB．第24题图25．（12分）把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF 从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从
△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．
图（1）图（2）
（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；
（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．
2023—2024学年第二学期九年级联考数学试题答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．A2．B3．C4．A5．A6．C7．D8．C9．D10．A
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．212．(x+4y)(x−4y)13．x=414．415．2024
16．π2−1
2+2
2
三、解答题（一）（本大题共4个小题，共20分）17．【答案】解：tan45°+(1
2
)−1+|−2|
=1+2+2………..3分
=5．………..4分
18．【答案】解：(1−2
a−1)÷a2−6a+9
a2−a
=a−1−2
a−1÷(a−3)
2
a(a−1)
………..1分
=a−3 a−1⋅
a(a−1)
(a−3)2
………..2分
=
a
a−3，………..3分
当a=4，原式=4
4−3
=4．………..4分
19．【答案】解：（1）如图所示：DE为所求
………..3分
（2）∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD=6，………..4分∵∠B=30°，
∴∠DAB=∠B=30°，
∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠CAB=60°，
∴∠CAD=60°﹣30°=30°，………..5分
∴CD=1
2
AD=3，………..6分
20．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4ac
＝22﹣4×1×[﹣（m﹣2）] ………..1分
＝4m﹣4≥0.………..2分
解得：m≥1．………..3分
（2）解：将x＝1代入原方程，1+2﹣（m﹣2）＝0，
解得：m＝5，………..4分
∴原方程为x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴m的值为5，方程的另一个根为x＝﹣3．………..6分
四、解答题（二）（本大题共3个小题，共28分）
21．【答案】解：设AB的高度为x米
在Rt△ABD中，∠ADB=45°
∴DB=AB=x ………..1分
∵CD=6
∴CB=CD+BD=6+x ………..2分
在Rt△ABC中，∠C=35°
tan C=AB
CB
………..4分
即tan350=x
x+6
∴
x
x+6
=0.70 ………..6分
解得x=14 ………..7分
∴建筑物AB的高度为14米………..8分
22．【答案】（1）解：由图形可知：A实心球的人数是15人，占学生总人数的10%，
∴被调查的学生总人数为15÷10%=150(人)，………..2分
∴喜欢“跑步”的学生人数为150−(15+45+30)=60(人)；………..4分（2）解：喜欢“跑步”的学生占学生总人数1−(10%+30%+20%)=40%，
补全统计图如下：
………..6分
（3）解：画树状图得：
………..8分
∵共有12种等可能的结果，刚好抽到2名女生的有2种情况，
∴刚好抽到2名女生的概率为2
12=1
6
．………..10分
23．【答案】（1）这两个变量之间是反比例函数关系；………..2分
（2）本题答案不唯一，如蓄电池的电压为定值，则电流y（A）与电阻x（Ω）成反比例关系；
………..5分
（3）函数解析式为：y=6
x
，自变量的取值范围：x＞0 ………..7分
（4）点A的坐标为（2,3），表示当电阻为2Ω时，电流为3A.………..10分
五、解答题（三）（本大题共2个小题，共24分）24．【答案】（1）解：
连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AF，
∴∠D=90°，
∴∠ACB=∠D，
∵AC平分∠BAF，
∴∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，
∴∠ABC=∠ACD，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB=∠ACD，
∵∠OCB+∠ACO=∠ACO+∠ACD=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线………..4分（2）解：∵AD=6，DE=8，
∴AE= AD2+DE2=10，
∵OC∥AD，
∴∠OCE=∠ADE，
∴△OCE∽△ADE，
∴OE AE =OC AD
，
即10−r
10=
r 6，
∴r= 15
4
，
∴BE=10﹣15
2= 5
2
………..8分
（3）解：过C作CG⊥AE于G，
在△ACG与△ACD中，
{∠GAE=∠DAC
∠CGA=∠CDA
AC=AC
，
∴△ACG≌△ACD，
∴AG=AD，CG=CD，
∵BC=CF，
在Rt△BCG与Rt△FCD中，
{CG=CD
BC=CF，
∴Rt△BCG≌Rt△FCD，
∴BG=FD，
∴AF+2DF=AD+DF=AG+GB=AB，
即AF+2DF=AB．………..12分25．【答案】（1）解：AP=2t
∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
∴AQ=8﹣t，
t的取值范围是：0≤t≤5；………..3分
（2）解：过点P 作PG ⊥x 轴于G ，可求得AB=10，SinB= 45
，PB=10﹣2t ，EB=6﹣t ，
∴PG=PBSinB= 45
（10﹣2t ）
∴y=S △ABC ﹣S △PBE ﹣S △QCE = = −1310t 2+445t =−1310(t−4413
)2
+968
65∴当 t =4413
（在0≤t ≤5内），y 有最大值，y 最大值= 96865 （cm 2）
………..7分
（3）解：若AP=AQ ，则有2t =8﹣t 解得： t =83
（s ） 若AP=PQ ，如图①：过点P 作PH ⊥AC ，则AH=QH= 8−t 2
，PH ∥BC
∴△APH ∽△ABC ，∴AP AH =AB AC ，即 2t
8−t 2
=108 ，
解得： t =4021
（s ）若AQ=PQ ，如图②：过点Q 作QI ⊥AB ，则AI=PI= 12
AP=t
∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，∴△AQI∽△ABC
∴AI
AQ=
AC
AB
即t
8−t
=8
10
，
解得：t=32
9
（s）
综上所述，当t=8
3或40
21
或32
9
时，△APQ是等腰三角形．………..12分。