菱形与正方形的性质和判定讲义

对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． 边的性质：对边平行且四边相等．边的性质：对边平行且四边相等． 图形，也是轴对称图形．图形，也是轴对称图形． 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为
【例3】如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）求证：BE=BF；
的长．
（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．
【例4】如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC
于E连接BE．Array（1）证明：∠APD=∠CBE；
（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱
，为什么？
形ABCD
面积的，为什么？
23 3
的距离
的距离 ．
43
则该菱形的
则该菱形的面积
面积是（）3
，则菱形ABCD的面积
的面积
为
的面积等于
的面积等于 是
A
E D B
O
C
P
F E D
G A C'D
A
正方形的定义：正方形的定义： （边）（边） （角）（角） 又是又是 . ： （ （：既是：既是 四边形是正方形．四边形是正方形． 形？有形？有 种选法是两个等边三角形等边三角形，与交于，
°＝ °∶2. ＝ °＝ °的度数是的度数是
＝ °
第9题图题图 第10题图题图 第12题图
E
F
D
A
F
D
A
D
C
E
F
度时，度时，
四边形MNFE 是菱形．（将答案直接填写在横线上）（将答案直接填写在横线上）
课堂练习：
18、将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是的长是 . 
19、如图，在正方形ABCD 中，P 、Q 分别是AD 、BC 上的点，将四边形ABQP 沿PQ 翻折，
使得点A 落在CD 边的M 上，若12AB =，13PQ =，则CM 的长度为______ 
20、 边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B ¢处，点A
对应点为A ¢，且C B ¢=3，则AM 的长是的长是
Q
N
M
B
C
A
D P
N
E
F
M
D'
A'
B'
C'
A
B
C D
16、如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的边的中点中点E 处，折痕为AF ，若6CD =，则AF 等于___________．
17、如图，将一张对边平行的纸条先沿EF 折叠，点A 、B 分别落在'A 、'B 处，处，线段线段FB ¢与AD 交
于点M ，再将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在'C 、'D 处，且使MD ¢经过点F ．
（1）求证：四边形MNFE 是平行四边形； （2）当翻折角BFE =∠
3
．
．
23432，则它的边长是，则它的边长是 . ，则它的对角线长是，则它的对角线长是 . 如图所示，E 为正方形对角线BD 上一点，且BE=BC ，则∠BEC=________DCE=__________ 如图，E 是正方形ABCD 一点，且C B CE E D 为3．
13、正方形ABCD 的对角线交于O ，则图中共有_______个等腰个等腰直角三角形直角三角形，共有________对全等三角形。

14、E 为正方形对角线AC 上一点，且AE=AB ，则∠ABE=__________． 15、如图，正方形ABCD 的周长为15 cm ，则，则矩形矩形EFCG 的周长是__________．
三．解答题三．解答题
16． 已知：如图所示，在
ABCD 中，∠BAD 的平分线与BC 边相交于点E ，∠ABC 的平分线与
AD 边相交于点F ．求证：四边形ABEF 是菱形．是菱形．
17、 如图，已知：△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，DE ∥AC 交BC 于E ，DF ∥BC 交AC 于F .请问四边形DECF 是菱形.吗?说明理由. 
E
D
C
B
C
B
A
D
E
F
G。