2012浙江省高等数学微积分竞赛（经管类）含答案.

2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题
经管类
一、计算题（每小题14分，满分70分）
1求极限lim log ()a
b
x x x x →+∞
+。

2．设()sin ax f x e bx =（,a b R ∈为常数），求()(0)n f 。

装 订 线
3．计算 0
sin d n x x x π
⎰
（n 为正整数）。

4．求积分2
24
1d 1x x x x
+++⎰
5．设函数21()2a
f x x x
=
+，0x >，
常数0a >，试求最小的常数a ，使得()6f x ≥。

二、（满分20分）
证明：111ln 1ln
n
i n n n i =+<<+∑，n +∈
三、（满分20分）
求221
1
(21)2
n
n n
n C n ∞
=-∑的值。

四、（满分20分）
在草地中间有一个半径为R 的圆形池塘，池塘边拴着一只山羊，拴山羊的绳子长为,(02)kR k <<，求山羊能吃到草的草地面积。

五、（满分20分）
（1）求极限lim 2cos
cos cos 482
n n n π
ππ
→∞
（2
）证明2
π
=
经管类
一、计算题 1、若a b ≥
l i m l o g (a b x x x x →+∞
+l i m l o g
(1)l i m l o g (1a b a
b a x x
x x x x a x a --→+∞
→+∞
=+=+
+= 同理，当
a b <时，
l i m l o g
a b x x x x →+∞
+b
=，
所以
l i m l o g a b x x x x →+∞
+m a x (
a b = 2
、解：
()sin cos ax ax f x ae bx be bx e bx bx ⎫'=+=+⎪
⎭
)()cos sin sin cos sin ax e bx bx bx θθθ=+=+
arcsin θ⎛⎫
==
⎝
同理)()sin()cos()f x e
a bx
b bx θθ''=+++
22()sin(2)ax a b e bx θ=++
可得()()()
()()()
/2
/2
22
()22sin()0sin()n n n
ax n f x a b e bx n f a b n θθ=++⇒=+
3、解：
sin d n x x x π
⎰
()0
1
1
sin sin n
n
j j j j x x dx x j xdx ππ
ππ
ππ-====+-∑∑⎰
⎰
()()20
1
sin d 21212n
j n x x x j n n n n n n π
ππππ==+-=++-=+∑⎰
4、解：2442222121(1)(1)x x x x x x x x x ++=++-=+++-
()()22242
221111111d d d 121121/23/41/23/4x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+⎛⎫
∴=+=+ ⎪ ⎪ ⎪++++-+⎝⎭++-+⎝⎭
⎰⎰⎰
1r c t a r C =
5、解：2()0a f x x x '=-
=
0x = 03
2()10a f x x ''=+> ()f x ∴
f
=
=
6= 即8a =时 ()6f x ≥，且在02x =时，(2)6f = 所以min 8a =
二、证明：显然
11111
d d j j j
j x x x j x
+-<<⎰
⎰ 2j ≥
1 1122
11
1111d 1d 1ln n
n n j n j j j j x x n j j x x -===∴=+<+=+=+∑∑∑⎰⎰
另一方面111111111111
d ln n
n n j j j j j x n j j
n x n n --+====+>+=+∑∑∑⎰
三、解：
[]222222122
1(2)!(22)!(22)!1(21)2(21)2(!)2!(1)!22(1)!n
n n n n n n n n C n n n n n n
n ----===---- 而
2212(21)122n n n n -=- 1
22222222111(21)2
2
2
n
n n
n n n n
n n C C C n ---∴=-
- 而
22102
n
n n C → ∴原级数1=
四、解：以过拴羊点与池塘圆心为
x 轴，拴山羊点为原点，则池塘边界圆为
222()x R y R -+=而羊能跑的最大圆周为2222x y k R +=，易知在2
2
R x k =
时，两圆有两个交点
222
2
012d 2
R k S k R x π∴=+⎰
222222arcsin (arcsin 22x x R R k R k R x R R k kR R π
-⎛
⎫=
+-- ⎪⎝
⎭22
22arcsin 22
k k R k R π
=+
22222
1arcsin 14222k k R R R π⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
222
2222arcsin arcsin 12222k k k R R k R R π
π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭
五（1）解：cos cos cos cos cos cos sin /sin 48248222
n n n n n πππππππ
=
1121
111
cos cos cos sin cos sin 4822442sin 2sin 2sin 222
n n n n n n n
n ππππππππ----===
∴原极限22
lim
2sin
2
n n n
π
π
→∞
==
（2
）cos
4
π
=
c o s 8π==
=
c o s 2n π==
2cos cos cos 482n ππππ==
书中横卧着整个过去的灵魂——卡莱尔
人的影响短暂而微弱，书的影响则广泛而深远——普希金
人离开了书，如同离开空气一样不能生活——科洛廖夫
书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉——库法耶夫
书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者———史美尔斯
书籍便是这种改造灵魂的工具。

人类所需要的，是富有启发性的养料。

而阅读，则正是这种养料———雨果。