2023届辽宁省实验中学部分重点中学协作体高三模拟考试数学试题( PDF版)

辽宁省部分重点中学协作体2023年高考模拟考试
数学
第一命题校：大连市第二十四中学 第二命题校：辽宁省东北育才学校
第I 卷
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}{}1,1,1,2,3A B =-=-，则()
U A B ⋂=ð（ ） A.{}1- B.{}1,3- C.{}2,3 D.{}1,2,3- 2.若复数1i
2i 1i
z +=
+-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A.3 B.3i C.-3 D.3i - 3.0.1
352
,log 4,log 27a b c -===，则（ ）
A.a c b <<
B.a b c <<
C.c a b <<
D.c b a <<
4.随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然.更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用,,,A B C D 表示黄金分割点.若照
片长､宽比例为4:3，设CAB ∠α=，则
1cos2tan sin2α
αα
+-=（ ）
A.18-
B.
18 C.712- D.712
5.现有6个同学站成一排照相，如果甲､乙两人必须相邻，而丙､丁两人不能相邻，那么不同的站法共有（ ）种.
A.144
B.72
C.36
D.24
6.盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长为4cm 的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为（ ）
B. C. D.6cm
7.线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为1，图n 中正六边形的个数记为n a ，所有正六边形的周长之和､面积之和分别记为,n n C S ，其中图n 中每个正六边形的边长是图1n -中每个正六边形边
长的
1
3
，则下列说法正确的是（ ）
A.4294a =
B.3100
3
C =
C.存在正数m ，使得n C m ≤恒成立
D.1
79n n S -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
8.双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左､右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，以C 的实轴为直径的圆记为
D ，过1F 作D 的切线与曲线C 在第一象限交于点P ，且12
24F PF S
a =，则曲线C 的离心率为（ ）
B.
C.1- 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若随机变量210,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭
，下列说法中正确的是（ ）
A.()37
3
10
12333P X C ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B.期望()203E X =
C.期望()3222E X +=
D.方差()3220D X +=
10.已知函数()2cos (0)3
f x x πωω⎛⎫
=-
> ⎪⎝
⎭
在[]0,π上恰有三个零点，则（ ） A.ω的最大值为
196
B.()f x 在[]
0,π上只有一个极小值点 C.()f x 在[]
0,π上恰有两个极大值点 D.()f x 在0,
5π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增 11.已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y
C a b a b
+=>>的左､右焦点，过1F 的直线与C 交于,A B 两点，若
11225,513AF BF BF AF ==，则（ ）
A.221
:6:5AF B
AF F S
S
= B.212tan 5
AF B ∠=
C.椭圆C 的离心率为
12 D.直线2BF 的斜率的绝对值为229
12.如图，矩形ABCD 中，4,2,AB BC E ==为边AB 的中点，沿DE 将ADE 折起，点A 折至1A 处（1A ∉
平面ABCD ），若M 为线段1A C 的中点，二面角1A DE C --大小为α，直线1A E 与平面DEBC 所成角为β，则在
ADE 折起过程中，下列说法正确的是（ ）
A.存在某个位置，使得1BM A D ⊥
B.1A EC 面积的最大值为
C.当α为锐角时，存在某个位置，使得sin 2sin αβ=
D.三棱锥1A EDC -体积最大时，三棱锥1A EDC -的外接球的表面积为16π
第II 卷
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的90%分位数是__________. 14.已知平面向量()()()1,2,2,1,2,a b c t ==-=，若()
a b c +⊥，则t
=__________.
15.在平面直角坐标系xOy 中，笛卡尔曾阐述：过圆222()()(0)x a y b r r -+-=>上一点()00,M x y 的切线
方程()()()()2
00x a x a y b y b r --+--=.若22
:(1)9C x y -+=，直线l 与圆C 相交于,A B 两点，分别以
点,A B 为切点作圆C 的切线12,l l ，设直线1l ，2l 的交点为(),P m n ；若1,4m n ==时，则直线AB 的方程是__________；若圆O ：221x y +=，且l 与圆O 相切，则m 的最小值为__________.
16.关于x 的不等式221e ln 12ln 0x a x x a +-+++≥在()0,∞+上恒成立，则a 的最小值是__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题10分）已知数列{}n a 的前n 项的积()()
()*
122
n n n T n N ++=∈
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足n n b na =，求
2023
1sin 2n
n n b π=⎛⎫⋅ ⎪⎝
⎭
∑. 18.（本小题12分）某高中为大力提高高中生的体能，预计在年初推出六项体育运动项目，要求全校每名学生必须参加一项体育运动，且只参加一项体育运动，在这一整年里学生不允许更换体育运动项目，并在年终进行达标测试.一年后分项整理得到下表：
未达标率是指：某一项体育运动未达到规定标准的学生数与该项运动的学生数的比值. 假设所有体育项目是否达标相互独立.
（1）从全校随机抽取1名同学，求该同学是“第四项体育运动项目中的达标者”的概率；
（2）从参加第四项和第五项体育运动项目的同学中各随机选取1人，求恰有1人获得体育达标的概率； （3）假设每项体育运动项目学生未达标的概率与表格中该项体育运动项目未达标率相等，用“1k ξ=”表示第k 项体育运动项目达标，“0k ξ=”表示第k 项体育运动项目未达标()1,2,3,4,5,6k =.计算12,D D ξξ并直接写出方差123456,,,,,D D D D D D ξξξξξξ的大小关系（不用写出计算过程）.
19.（本小题12分）将函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的图像向左平移
6
π
个单位，再将其纵坐标不
变，横坐标变为原来的2倍得到()sin 3g x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图像. （1）设()()sin cos ,2,1,sin cos a x x b x x =-=⋅，当,42x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，求()()a b h x f x ⋅=的值域；
（2）在
①cos B =
a =1
b =三个条件中任选两个，补充到以下问题中，并完成解答. 在ABC 中，,,a b
c 分别是角,,A B C 所对的三条边，(
)g A =__________，__________.求ABC 的面积ABC
S
.
20.（本小题12分）在如图的空间几何体中，ABC 是等腰直角三角形，90BAC ∠=，四边形BCED 为直角梯形，,90,1,4,2,BC DE DBC BD BC DE F ∠====∥为AB 的中点.
（1）证明：DF ∥平面ACE ； （2
）若AD =
CE 与平面ADB 所成角的正弦值.
21.（本小题12分）已知曲线Γ在x 轴上方，它上面的每一点到点()0,2Q 的距离减去到x 轴的距离的差都是2.若点,,A B C 分别在该曲线Γ上，且点A C ､在y 轴右侧，点B 在y 轴左侧，ABC 的重心G 在y 轴上，直线AB 交y 轴于点M 且满足3AM BM <，直线BC 交y 轴于点N .记,,ABC AMG CNG 的面积分别为
123,,S S S
（1）求曲线Γ方程； （2）求
23
1
S S S
+的取值范围.
22.（本小题12分）已知函数()2ln a x f x x x
=
+. （1）若()f x 在1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）若()()g x xf x =，且()()()12123g x g x x x ==≠，证明：22
12a x x ae <<.
2022-2023学年度下学期模拟考试高三年级数学科试卷
答案
一､单选题
1-8CCBDABDA
二､多选题
9.BCD 10.BD 11.ABD 12.BD
三､填空题
13.21 14.
23 15.94y = 72-
四､解答题
17.解：（1）
123n n T a a a a =，
∴当2n ≥时，()()()()112/221/2n
n n n n n T a T n n n
-+++=
==+. 当11,3n a ==，满足上式，
()2n
n a n
+∴=
（3）
2n n b na n ==+
()()()20231357202120231
sin
(2)50610122
n n n b b b b b b b π
=∴⋅=-+-++-=-⨯=-∑
18.（1）由题意知，全校总人数是140503002008005102000+++++= 第四项体育运动中达标的人数是2000.75150⨯= 故所求概率为
150
0.0752000
=. （2）设事件
A 为“从第四项体育运动项目中随机选取一人获得体育达标”，则()P A 估计为0.75
设事件B 为“从第五项体育运动项目中随机选取一人获得体育达标”.则()P B 估计为0.8.故所求概率为
()()()P AB AB P AB P AB +=+
()()()()()()110.750.20.250.80.35P A P B P A P B =-+-=⨯+⨯=⋯
（3）120.24,0.16D D ξξ==
142536D D D D D D ξξξξξξ>>=>>
19.解：（1）()sin cos 2sin cos sin cos 1sin2sin2x x x x x x
h x x x
-+-=
=+
设()sin cos ,0,,0,1444t x x x x t πππ⎛
⎫⎛⎫=-=--∈∴∈ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭ 22
11sin2,11
11t t x y t t t
=-∴=
+=+-- 又因为y 在()0,1t
∈上单调递增，则()1,y ∞∈+，所以()h x 的值域为()1,∞+
（2）
()
sin 33
g A A A ππ⎛
⎫=+=∴= ⎪⎝
⎭
选①②
：
sin cos
sin a B B a
b A
=
==
==；
11sin 22
ABC
S
ab C =
=
==
选①③
：11sin 122ABC
a S a
b C =
====
. 选②③：因为2
1
31212
c c =
+-⋅⋅⋅
所以220c c --=则2c =或1c =-（舍） 1sin 2ABC
S
bc A ==
20.解：（1）法一：证明：取BC 中点为G ，连接FG 和DG ，有//FG AC ，
FG ∴∥平面ACE ，
又,DG EC DG ∴∥∥平面,
ACE FG DG G ⋂=，
∴平面DGF ∥平面ACE .
又DF
⊂平面,DGF DF ∴∥平面ACE
法二：取BC AC ､中点G K ､，连接,,
,EK FK F K
分别是,AB AC 的中点，,FK GC FK GC ∴=∥，
又
,DE GC DE GC =∥，所以,DE FK DE FK =∥，
KEDF ∴为平行四边形DF EK ∴∥
又
DF ⊄平面,ACE EK ⊂平面ACE ，
DF ∴∥平面ACE
（2）法一：
四边形BCED 为梯形，2,4,DE BC G ==为BC 中点，
DE CG ∴∥，即四边形GCED 为平行四边形，CE GD ∴∥.
∴要求CE 与平面ABD 所成角，只需求DG 与平面ABD 所成角，连接,GE AG
由题意可知，,,AG BC GE BC BC ⊥⊥∴⊥面AGE ， 又
BC ⊂平面ABC ∴平面ABC ⊥平面AGE ，
∴点E 到面ABC 的距离就是点E 到AG 的距离.
,DE BC DE ∴⊥∥面,90,2,AGE AED DE AD AE ∠∴===∴=
又
1,2GE AG ==
∴点E 到AG 的距离为
在三棱锥D ABG -中，D ABG E ABG V V --==，根据1,S ABD
BD AD AB ====， 记点G 到面
ABD 的距离为h ，由
13D ABG G ABD V V h h --====
所以CE 与平面
ABD 所成角的正弦值为
h DG =
法二：过点A 作平面ABC 的垂线AT ，以,,AB AC AT 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
如图所示
设点(
)(
)(
))
()0,0,0,,0,,,,,A B C G
D a b c ，
1,BD CD AD ===
222222222222(1(177
BD a b c CD a b c AD a b c ⎧=-++=⎪⎪
∴=+-+=⎨⎪=++=⎪
⎩
a b c ∴===
D ∴ 设平面ADB 的一个法向量为(),,n x y z =，
()
223,,,22,0,0BD AB ⎛
⎫=--= ⎪ ⎪⎝
(0
0,23,0
n BD n n AB ⎧⋅=⎪⇒=⎨
⋅=⎪⎩ 又32523,,,5GD GD ⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭
2105
sin cos co s |n CE n GD α=
⋅>=⋅=
∣， 故CE 与平面ADB 21解（1）曲线上每一点到点()0,2Q 的距离减去到X 轴的距离的差都是2，即曲线上每一 点到点()0,
2Q 的距离与到直线2y =-的距离相等， 所以曲线Γ为抛物线，
248(0)p x y x =∴=≠
（2）设点()()()112233123,,,,,,0,0,0A x y B x y C x y x x x <>>
3
2,ABG CBG AM CN S S S AB S BC ==
G 为ABC 的重心113
ABG CBG S S S ∴== 213111,33AM CN S S S S AB BC
∴=⋅=⋅ 由相似三角形可知311232
,AM CN x x AB x x BC x x ==--且1230x x x ++= 可得2331112321133AM CN S S x x S AB BC x x x x ⎛⎫⎛⎫+=⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
1121212132x x x x x x x ⎛⎫+=+ ⎪-+⎝⎭
令2312111111,2312312S S x u u u x S u u u u ++⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭
()()132312u u ⎛⎫=+ ⎪ ⎪-+⎝⎭
因为3AM BM <，所以123x x <-，故103
u -<<， ()()220122,29u u u u ⎛⎫-+=+-∈-
- ⎪⎝⎭
231113,660S S S +⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭， 22.（1）函数()2ln a x f x x x =+的定义域为1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， 求导得：()3ln 20x x x a f x x
'--=≥恒成立， 即2ln a x x x ≤-在1,e e
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦恒成立，令()ln h x x x x =-，则()ln h x x '=-
当()1,1,0x h x e ⎡⎤
⎥⎦'∈>⎢⎣，则()h x 单调递增，[]
()1,,0x e h x ∈'<，则()h x 单调递减，而()()min 12,0,()0200h h e h x h e a a e e
⎛⎫==∴==∴≤∴≤ ⎪⎝⎭ （2）因为()g x ln a x x =+，则()2x a g x x
-='， 当0a ≤时，()0g x '>恒成立，则()g x 在()0,∞+上单调递增，不合题意 当0a >时，()0g x '<的解集为()()0,,0a g x >'的解集为(),a ∞+， 即()g x 的单调增区间为(),a ∞+，单调减区间为()0,a ，
依题意：()min g()1ln 3x g a a ==+<，解得()20,a e ∈，
设12x x <，则120x a x <<<，要证212x x a >，即证221a x a x >>，即证()221a g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭
， 即证()211a g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，设()()()22ln 2ln ,0,a a x x g x g x a x a x x a ϕ⎛⎫=-=+--∈ ⎪⎝⎭， 则()2
2221()0a x a x x x a ax
ϕ--=--=<'，即()x ϕ在()0,a 上单调递减，有()()0x a ϕϕ>=， 即()()()2g 0,a x g x a x ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，则()211g a x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭
成立，因此212x x a >成立. 要证212x x ae <，即证2
21ae a x x <<，即证()221g ae x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即证()211g ae x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 即证()11123ln ln 2,0,x x a x a e
<-++∈， 而()1111ln 33ln a x a x x x +=⇔=-，即证()()1
112
1ln 3ln ,0,x x x a e <+-∈， 令()()()
22T ln 3ln ,0,x x x x e e =+-∈，则()()2113ln T x x x e =-+-'， 设()()()2G 3ln ,0,x x x x e
=-∈，求导得()2ln 0G x x =->'， 即()G x 在()20,e 上单调递增，则有()()220G x G e e <<=，
即()()0,T T x x '<在()20,e 上单调递减，而()()20,0,a e ⊆， 当()0,x a ∈时，()()()21T x T a T e
>>=， 则当()0,x a ∈时，()21ln 3ln x x e <
+-成立，故有212x x ae <成立， 所以2212a x x ae <<.。