2019年全国高中数学联赛试题及答案

2019年全国高中数学联赛
一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数x x x f 3245)(---=
的值域是 .
2. 双曲线12
2
=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .
3. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中
3522113,,1,3b a b a b a ====，且存有常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，
则=+βα .
4. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a
x f x x
在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区
间上的最小值是 .
5. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .
6. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin .
7. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 . 二、解答题（本题满分56分）
9. （16分）已知函数)0()(2
3
≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.
10.（20分）已知抛物线x y 62
=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且
421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.
11.（20分）证明：方程02523
=-+x x 恰有一个实数根r ，且存有唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得
+++=3215
2
a a a r r r .
解 答
1. ]3,3[- 提示：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知
)(x f 的值域为]3,3[-.
2. 122
3
≤≤-
a 提示：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即 t a at t g )3()(3-+-=.
由3)3(3
-≥-+-t a at ，0)1(3)1(2
≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知
03)1(≤-+-t at 即
3)(2-≥+t t a . （1）
当1,0-=t 时（1）总成立；
对20,102
≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-
<<-t t t .从而可知 122
3
≤≤-a . 3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为
99
1
(99)99494851k k =-=⨯=∑.
又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为98009848512=+⨯.
3 提示 ：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则
,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+， （2）
（1）代入（2）得961292
++=+d d d ，求得9,6==q d .
从而有βα+=-+-1
9log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即βα+-=-9log )1(36n n 对
一切正整数n 都成立. 从而
βαα+-=-=9log 3,69log ，
求得 3,33==βα，333+=+βα.
5. 4
1-
提示：令,y a x =则原函数化为23)(2
-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.
当10<<a 时，],[1
-∈a a y ,
211max 1()32822
g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=
， 所以
4
1
2213)21()(2min -=-⨯+=y g ；
当
1>a 时，],[1a a y -∈，
2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，
所以
4
1
2232)(12min -=-⨯+=--y g .
综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为4
1
-.
6. 12
17
提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率
为
+⨯+⨯+127)125(127)125(127421712
144
251112
7
=-⨯=.
提示：解法一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则
)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，
)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=B A B .
设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x =，则
⎪⎩⎪⎨
⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,
022111111z y x z x BA m ⎪⎩⎪⎨
⎧=-+-=⋅=-=⋅,
03,
022221211z y x B x A B n 由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==，所
以
cos m n m n α⋅=
⋅，即
2cos cos αα=⇒=
. 所以 4
10sin =
α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设
B
A 1与
1
AB 交于点
,
O
则
1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ .
11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平
面
B PA 1 .
过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .
连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得
3,2,5111=====PO O B O A PA PB .
在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11,即 5
6,532=
∴⋅=
⋅OE OE .
又 5
54562,222111=+
=+=∴=
OE O B E B O B . 4
10
5
542sin sin 111=
==
∠=E B O B EO B α. 8. 336675 提示：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 100420092
2009⨯=C .
把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：
（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；
（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知
O
E
P
C 1
B 1
A 1
C
B
A
100420096100331⨯=+⨯+k ，
所以
110033*********-⨯-⨯=k
200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 即
3356713343351003=-⨯=k .
从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为
33667533567110031=++.
9. 解法一： ,23)(2
c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='c
b a f
c b a f c f 23)1(,43)2
1(,)0( 得
)2
1
(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.
所以
)2
1
(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=
)2
1(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤， 所以38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=2
343
8)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为
3
8
. 解法二：c bx ax x f ++='23)(2
. 设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g .
设 12-=x z ，则11,2
1
≤≤-+=
z z x . 14
322343)21()(2++++++=+=c b a
z b a z a z g z h .
容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . 从而当11≤≤-z 时，
22
)
()(0≤-+≤
z h z h ， 即
214
34302≤++++≤
c b a z a ， 从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知3
8
≤a . 又易知当m x x x x f ++-=2
3438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a
10. 解法一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2
,222
1
0210y y y x x x +==+=
， 0122
1221212123
66
6y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=
.
线段AB 的垂直平分线的方程是
)2(3
0--
=-x y y y . （1） 易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点
C 坐标为)0,5(.
由（1）知直线AB 的方程为)2(3
0-=
-x y y y ，即 2)(3
00
+-=
y y y x . （2） （2）代入x y 62
=得12)(2002+-=y y y y ，即
012222
002=-+-y y y y . （3）
依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以
22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,
32320<<-y .
221221)()(y y x x AB -+-=
2212
0))()3
(
1(y y y -+=
]4))[(91(2122120
y y y y y -++=
))122(44)(9
1(2
02020--+=y y y
)12)(9(3
22
020y y -+=
.
定点)0,5(C 到线段AB 的距离 2
02029)0()25(y y CM h +=-+-==.
2
20209)12)(9(3
121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2
1312
02020y y y +-+=
3202020
)3
92249(2131y y y ++-++≤
73
14
=
.
当且仅当2
0202249y y -=+，即0y =,A B 或
A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值为
73
14
. 解法二：同解法一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.
设4,,,2
22121222211=+>==t t t t t x t x ，则1
6161
0521222
121t t t t S ABC =
∆的绝对值, 2
222122112
))656665(2
1(t t t t t t S ABC --+=∆
221221)5()(23
+-=t t t t )5)(5)(24(2
3
212121++-=t t t t t t
3
)3
14(23≤,
所以7314≤
∆ABC S , 当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42
221=+t t ，即,6
571-=t
6
572+-
=t ,66(
(33
A B +或
A B -时等号成立.
所以，ABC ∆面积的最大值是
73
14
. 11.令252)(3
-+=x x x f ，则056)(2
>+='x x f ，所以)(x f 是严格递增的.又
043)21(,02)0(>=<-=f f ，故)(x f 有唯一实数根1
(0,)2
r ∈.
所以 3
2520r r +-=，
3
152r r -=4710
r r r r =++++.
故数列),2,1(23 =-=n n a n 是满足题设要求的数列. 若存有两个不同的正整数数列 <<<<n a a a 21和 <<<<n b b b 21满足
5
2321321=
+++=+++ b b b a a a r r r r r r ， 去掉上面等式两边相同的项，有
+++=+++321321t t t s s s r r r r r r ，
这里 <<<<<<321321,t t t s s s ，所有的i s 与j t 都是不同的.
不妨设11t s <，则
++=++<21211t t s s s r r r r r ，
112
111111
121211=--<--=
++≤++<--r
r r r r s t s t ，
矛盾.故满足题设的数列是唯一的.
加 试
1. （40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．
2. （40分）设k 是给定的正整数，1
2
r k =+
．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r =(1)(()),2l f f r l -≥．证明：存有正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不
小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥
，11=⎡⎤⎢⎥．
3. （50分）给定整数2n >，设正实数12,,
,n a a a 满足1,1,2,
,k a k n ≤=，记
12,1,2,,k
k a a a A k n k
++
+=
=．
求证：
1
1
1
2
n n
k k k k n a A ==--<
∑∑． 4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12
n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中
的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？
解 答
1. 用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ． 因为2
PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） (
)()
22
2
2
PO r KO r
=-+-，
同理
()(
)
22222QK QO r KO r =-+-，
所以 2222
PO PK QO QK -=-， 故OK ⊥PQ ． 由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是
AQ AP
QN PM
=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得
1NB DE AQ
BD EA QN
⋅⋅=， ②
M
1MC DE AP
CD EA PM
⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得NB MC BD CD =， 所以ND MD
BD DC
=
，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆.
注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得
PK KF AK KE ⋅=⋅， ④
则P ，E ，F ，A 四点共圆，故
PFE PAE BCE ∠=∠=∠，
从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是
PK PF PE PC ⋅=⋅， ⑤
⑤-④，得
2
PK PE PC AK KE =⋅-⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）． 注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．
2. 记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()
()m f r 为整数．
下面我们对2()v k v =用数学归纳法． 当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时
()111()1222f r k k k k ⎛
⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎢⎥⎝⎭
为整数． 假设命题对1(1)v v -≥成立．
对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式
1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+
，
这里，0i α=或者1，1,2,
i v v =++．
F
E Q
P
O
N
M K D
C
B
A
于是
()111()1222f r k k k k ⎛
⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭
2122
k k k =
+++ 11211212(1)2()222
v v v v v v v ααα-++++=+++⋅++⋅+++ 12k '=+， ① 这里
1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++⋅++⋅+
++. 显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，12r k ''=+
经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明．
3. 由01k a <≤知，对11k n ≤≤-，有110,0k n i i i i k a
k a n k ==+<≤<≤-∑∑．
注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y -<，于是对11k n ≤≤-，有
1
1111k
n n k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭∑∑ 11111n k
i i i k i a a n k n =+=⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭∑∑ 1
1111max ,n
k i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎫<-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∑∑ 111max (),n k k n
k n ⎧⎫⎛⎫≤--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ 1k n
=-
， 故 111n n n
k
k n k k k k a A nA A ===-=-∑∑∑ ()11
1
1n n n k n k k k A
A A A --===-≤-∑∑ 111n k k n -=⎛⎫<- ⎪⎝
⎭∑12n -=．
4. 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边
上标上a ，如果颜色不同，则标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点1A 上的
设置（共有4种），按照边上的字母能够依次确定点23,,,n A A A 上的设置．为了使得最终回到1A 时
的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数
等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍．
设标有a 的边有2i 条，02
n i ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b 的边有2j 条，202n i j -⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选择2i 条边标记a 的有2i n C 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22j n i C -种方法，其余的边标记c ．由乘
法原理，此时共有2i n C 22j n i C -种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为
222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
∑∑． ① 这里我们约定001C =．
当n 为奇数时，20n i ->，此时
22221202n i j n i n i j C -⎡⎤⎢⎥⎣⎦
---==∑． ②
代入①式中，得
()()2222222221222000044222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦----====⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
∑∑∑∑ 00
22(1)(21)(21)n n
k
n k k n k k n n n
n k k C C --===+-=++-∑∑ 31n =+．
当n 为偶数时，若2n i <，则②式仍然成立；若2
n i =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为
222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑()122210412n i n i n i C ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦--=⎛⎫ ⎪⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭
∑
()2221024233n i n i n n i C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
--==+=+∑．
综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n +种；当n 为
偶数时有33n +种．。