“回归教材”课例_第3讲第1课时《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》

3 2.
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第四章 三角函数、解三角形
26
三角函数公式应用的解题思路 (1)角的转换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未 知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α －β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，π4＋α＋π4－α＝π2，α2 ＝2×α4等．
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第四章 三角函数、解三角形
28
课下作业
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第四章 三角函数、解三角形
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第四章 三角函数、解三角形
30
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第四章 三角函数、解三角形
11
教材例题、习题再回顾
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第四章 三角函数、解三角形
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第四章 三角函数、解三角形
13
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第四章 三角函数、解三角形
14
三角函数公式的直接应用 (师生共研)
(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)已知 sin θ＋sin θ＋π3 ＝1，则 sin θ＋π6 ＝
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第四章 三角函数、解三角形
7
(3)y＝3sin x＋4cos x 的最大值是 7.( × ) (4)公式 tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ可以变形为 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－ tan αtan β)，且对任意角 α，β 都成立． ( × )
＝1，所以 sin(α＋β)＝－12. 【答案】 (1)B (2)－12
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第四章 三角函数、解三角形
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(1)三角函数公式活用技巧 ①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式； ②tan αtan β，tan α＋tan β(或 tan α－tan β)，tan(α＋β)(或 tan(α－β))三者中 可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
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第四章 三角函数、解三角形
8
二、易错纠偏 常见 误区 (1)不会逆用公式，找不到思路； (2)不会合理配角出错．
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第四章 三角函数、解三角形
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1．tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°·tan 40°＝________． 解析：因为 tan 60°＝tan(20°＋40°) ＝1t－anta2n0°20＋°ttaann4400°°， 所以 tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝ 3－ 3tan 20°tan 40°，所以原式＝ 3－ 3tan 20°tan 40°＋
第四章 三角函数、解三角形
第3讲 简单的三角恒等变换 第1课时 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式
数学
第四章 三角函数、解三角形
1
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第四章 三角函数、解三角形
2
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝□1 __c_o_s_α_c_o_s__β_＋__si_n__α_si_n__β____． C(α＋β)：cos(α＋β)＝□2 ___c_o_s_α_c_o_s_β_－__s_i_n_α_s_i_n_β____． S(α＋β)：sin(α＋β)＝□3 __s_i_n_α_c_o_s_β__＋__co_s__α_s_in__β____． S(α－β)：sin(α－β)＝□4 ___s_i_n_α__co_s__β_－__c_o_s_α_s_in__β___．
_____1_－__2_si_n_2_α____． 2tan α T2α：tan 2α＝□11 _____1_－__t_a_n_2_α__________
α≠π4＋k2π，且α≠kπ＋π2，k∈Z.
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第四章 三角函数、解三角形
常用结论
记准 4 个必备结论
(1)降幂公式：cos2α＝1＋c2os
＝
4 5
，
因
为
β
－
π 4
∈
π2，34π
，
所
以
cos
β－π4
＝
－
7 25
，
cos
α＋π4
＝
cos(α＋β)－β－π4＝cos(α＋β)cosβ－π4＋sin(α＋β)sinβ－π4＝－45.
【答案】 －45
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第四章 三角函数、解三角形
24
角度二 三角函数公式中变“名”
求值：1＋2sicnos202°0°－sin
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第四章 三角函数、解三角形
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(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题 ①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系； ②注意特殊角的应用，当式子中出现12，1， 23， 3等这些数值时，一定要 考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．
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10° 10°
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第四章 三角函数、解三角形
25
＝2csoisn1100°°－2cos
10°＝cos
10°－2sin 2sin 10°
20°
＝cos
10°－2sin(30°－10°) 2sin 10°
cos ＝
10°－212cos 10°－ 2sin 10°
23sin
10°
＝
23ssinin1100°°＝
第四章 三角函数、解三角形
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两角和、差及倍角公式的灵活应用 (多维探究)
角度一 三角函数公式中变“角” 已知 α，β∈34π，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－π4＝2245，则 cosα＋π4＝
________．
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第四章 三角函数、解三角形
23
【解析】 由题意知，α＋β∈32π，2π，sin(α＋β)＝－35<0，所以 cos(α＋β)
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第四章 三角函数、解三角形
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三角函数公式的逆用与变形应用
(师生共研)
(1)在△ABC 中，若 tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则 cos C 的值为( )
A．－
2 2
√B．
2 2
1 C.2
D．－12
(2)已知 sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则 sin(α＋β)＝________．
a2a＋b2.
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5
公式再推导
第四章 三角函数、解三角形
6
一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立．( √ ) (2)对任意角 α 都有 1＋sin α＝sinα2＋cosα22.( √ )
2α，sin2α＝1－c2os
2α .
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋
φ)其中sin φ＝
a2b＋b2，cos φ＝
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第四章 三角函数、解三角形
27
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导 公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦． [提醒] 转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知 式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．
19
(2)因为 sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， 所以 sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1 ①， cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0 ②， ①②两式相加可得 sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)
α，β，α－β≠π2＋kπ，k∈Z.
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第四章 三角函数、解三角形
4
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
公式再推导
S2α：sin 2α＝□7 _2_s_in__α_c_o_s_α_______．
C2α：cos 2α＝□8 _c_o_s_2α_－__s_i_n_2α____＝□9 ___2_c_o_s_2_α_－__1_____＝□10
公式再推导
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第四章 三角函数、解三角形
3
tan α＋tan β
公式再推导
T(α＋β)：tan(α＋β)＝□5 ___1__－__ta_n__α_t_a_n_β______________________
α，β，α＋β≠π2＋kπ，k∈Z. tan α－tan β T(α－β)：tan(α－β)＝□6 ________1_＋__ta_n__α_t_a_n_β___________________
3tan 20°tan 40°＝ 3. 答案： 3
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第四章 三角函数、解三角形
10
2．sin 15°＋sin 75°的值是________．
解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°
＝ 2sin(15°＋45°)＝ 2sin 60°＝ 26.
答案：
6 2
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第四章 三角函数、解三角形
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【解析】 (1)由 tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得1t－antaAn＋AttaannBB＝－1，
即 tan(A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)，
所以
A＋B＝34π，所以
C＝π4，cos
C＝
2 2.
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第四章 三角函数、解三角形
10°tan15°－tan
5°.
【解】
原式＝2×2si2nco1s02°10c°os
10°－sin
10°csions
55°°－csions
5° 5°
＝ cos 2sin
1100°°－sin
10°·cossin255°°－cossin52°5°
＝2csoisn1100°°－sin
10°·1cos 2sin
√
A.12
B．
3 3
C.23
D．
2 2
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第四章 三角函数、解三角形
15
【解析】 (1)因为 sin θ＋sin θ＋π3
＝32sin
θ＋
3 2 cos
θ＝
3sin
θ＋π6＝1，
所以 sin θ＋π6＝ 33，故选 B.
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第四章 三角函数、解三角形
16
利用三角函数公式时应注意的问题 (1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简 记为：“同名相乘，符号相反”． (2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．