拉普拉斯变换性质

F ( s a)
注： 这个性质表明了一个象原函数乘以指数函数 e 后取Laplace变换等于将其象函数作位移。
at
例5：求 L[eat t m ]
解：
已经知道：
m L t
(m 1) s m 1
根据上述位移性质可知：
(m 1) L e t ( s a)m1
•在半平面Re(s)>c上一定存在, •右端的积分在Re(s)c1>c上绝对收敛而且一致收敛, •并且在Re(s)>c的半平面内, F(s)为解析函数。
§2.2 拉普拉斯变换的性质
1、线性性质 2、微分性质 3、积分性质 4、位移性质 5、延迟性质 6、初值定理与终值定理
*
1 线性性质
若 , 是常数， 设 f1 t , f2 t , 满足拉普拉斯变换存在条件，
4 位移性质
设 L f t F s
,
at L e 则有： f t F s a
, (Re( s a ) 0)
证： 有如下
L[e f (t )] eat f (t ) e st d t
at 0


0
f (t ) e ( s a )t d t
F1 s F2 s
f1 t f2 t .
注： 这个性质表明函数线性组合的Laplace变换等于各函数Laplace变换 的线性组合。
设 f1 t , f2 t , 满足拉普拉斯变换存在条件，
L f1 t F1 s ,
L f1 t F1 s
则有：
,
L f2 t F2 s
L αf1 t βf 2 t αL[ f1 t ] βL[ f 2 t ]
-1 -1 L-1 α F s β F s α L [F s ] β L [F2 s ] 2 1 1
L h ' t sL h t h 0 sL h t
1 1 L[ f '(t ) d t ] L[ f (t )] F ( s ) 0 s s
t
h(0) 0
注： 这个性质表明了一个函数积分后取Laplace变换等于这个函数的 Laplace变换除以参数s。

的Laplace变换等于它的其象函数乘
例7：求函数
解：
0 u(t ) 1
t t
的laplace变换
已经知道： L u (t ) 1 s
根据上述延迟性质可知：
1 L u (t ) e s s
6 初值定理与终值定理
设 L f t F s
重复应用上述积分性质，可以得到：
t t t 1 L dt dt f t dt n F s s 0 0 0 n次
此外，根据laplace变换存在定理，还可以得到象函数的积分性质：
f (t ) L[ ] F (s) d s s t
n-1
(Re( s) c)
特别地：
i 0
f (0) f '(0) f (n-1) (0) 0
有：
L[ f ( n) (t )] = sn F(s)
(Re(s) c)
注： 这个性质表明可以把一个f（t）的微分方程转化为F（s）的代数方 程，因此它对分析线性系统有着重要的作用。
,
2 L f '' t s F s sf 0 f ' 0
Re s c
一般地，
L[ f ( n) (t )] = sn F(s) -sn-1 f (0) sn-2 f '(0) f (n-1) (0)
s n F(s) - s n-1-i f (i ) (0)
则有：lim
t 0 s
, 且
lim sF ( s)
s
存在，
f (t ) lim sF ( s)
or
f (0) lim sF ( s)
s
sF(s)的所有奇点全在s平面的左半平面，则：
t
lim f (t ) lim sF ( s)
s 0
or
f ( ) lim sF ( s)
or
f (t ) tL1[ F (s)ds]
s

f t 一般地，有 L n ds ds F ( s)ds t s s s n次
sinh t 例 4： 求 f t 的laplace变换。 t
解：
拉普拉斯变换的存在定理
若函数f(t)满足: 1： 在t0的任一有限区间上分段连续； 2： 当t时, f(t)的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数 M>0及c0, 使得 |f(t)| M ect, 0t< 则f(t)的拉普拉斯变换

F ( s)
0
f (t ) e st d t
有：
s L f t e F s or
s L1 e F s f t
证： 根据laplace变换有如下
L[ f (t )]
u t
0
f (t ) e d t
st


解：
由于：
L sin kt
k s2 k 2
根据上述象函数微分性质可知： k d[ 2 ] 2 2ks L t sin kt = - s k 2 , 2 2 ds (s k ) 同理：
Re( s) 0
L t cos kt = -
d[
s ] 2 2 2 2 s k s k , ds (s 2 k 2 )2
at m
例6：求 L[eat sin kt ]
解：
已经知道：
k L sin kt 2 s k2
根据上述位移性质可知：

L e
at
k sin kt ( s a)2 k 2
5 延迟性质
设 L f t F s
, 当t<0时，f (t ) 0, 则对任一非负实数
f (t ) f (t ) st 根据： L[ ] e d s F ( s) d s 0 s t t

令s＝0， 有：
0 f (t ) d s F (s) d s 0 t
例如：


0
sin t 1 dt 2 d s arctan s |0 0 s 1 t 2
例1：求 f t cos kt 的laplace变换
解：
由于： f (0) 1,
f '(0) 0, f '' (0) k 2 cos kt,
2 2 L k cos kt = L f '' t s F s sf 0 f ' 0
0
f (t ) e d t
st


f (t ) e st d t
0
s

0
f (u) e s (u )d u
e


0
f (u) e su d u e s F (s)
(Re(s) c)
注： 这个性质表明时间函数延迟 s e 以指数因子 。
st
st 0
|
s
0
f (t ) e st d t
(Re(s) c)
sL[ f (t )] f (0)
注： 这个性质表明了一个函数求导后取Laplace变换等于这个函数的 Laplace变换乘以参数s，再减去函数的初值。
推论：
则有：
L f t F s
,
L f ' t sF s f 0
证： 根据Laplace变换，有如下
L[ f '(t )] =
0
Re s c
f '(t ) e st d t

对右端积分利用分部积分法，可得


0
f '(t ) e d t f (t ) e
(m) m m L m ! = L f t s F s = s L f t
而：
L m ! = m !L 1
所以：
m L t
m! s
m! s m 1
(Re( s) 0)
根据laplace逆变换存在定理，还可以得到象函数得微分性质： 若： 则：
L f2 t F2 s

st L α f t β f t ( α f ( t ) f ( t )) e dt 2 1 2 1 0
αf1 (t ) e d t + f 2 (t ) e st d t
Re( s ) 0
3 积分性质
设 L f t F s
则有：
,
t 1 L f t dt F s 0 s
t 0
证： 设 h(t ) f (t ) e st d t , 则有：h '(t ) f (t ), 由上述微分性质，有
k 2Lcos kt = s2L cos kt s
移项化简，得：
s L[cos kt ] = 2 s + k2
(Re( s ) 0)
例2：求 f t t m 的laplace变换（m是正整数）
解：
由于：f (0) 1, f '(0) 0, f (m-1) (0) 0, f (m) (0) m!,
s 0
1 因为： L sinh t 2 s 1
根据上述象函数微分性质可知：
1 sinh t L = L[sinh t ]ds 2 ds s 1 t s s 1 s 1 ln |s 2 s 1


1 s 1 ln 2 s 1
f (t ) dt 存在， 如果： t 0
F '(s) L[tf (t )],
L f t F s
,
Re s c.
一般地，有：
F (n) (s) (1)n L[t n f (t )],
Re s c.
例3：求 f t t sin kt 的laplace变换（m是正整数）
st 0 0


= α

0
f1 (t ) e d t +
st

0
f 2 (t ) e st d t
＝αL[ f1 t ] βL[ f 2 t ] αF1 s βF2 s
2 微分性质
L f t F s
则有：