江西省白鹭洲中学2011-2012学年高二下学期期中考试 数学文

白鹭洲中学2011－2012学年下学期高二年级期中考试
数学试卷(文科）
命题人: 高一年级数学备课组 审题人：罗志远
考生注意:
1、本试卷设试卷Ⅰ、Ⅱ卷和答题卡纸三部分，试卷所有答题都必
须写在答题纸上.
2、答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时就特别注意，
不能错位。

3、考试时间为120分钟，试卷满分为150分.
第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1、复数)1(i i Z +⋅=(i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2、在空间直角坐标系中,点A(—3,4，0）与B(2，—1，6）的距离是
A
．
B
． C ．9 D
3、若是任意实数，且、b a b
a >，则下列不等式成立的是
（ ）
A ．22
b a
>
B ．1<a b
C ．0)lg(>-b a
D ．b a
)3
1
()3
1
(< 4、如果直线l 与直线3x —4y +5=0关于x 轴对称，那么直线l 的方程为 （ ）
A ．3450x y +-=
B ．3450x y ++=
C ．3450x y -+-=
D ．3450x y -++=
5、
45︒，腰和 上底均为1）
（第8题图）
A ．212
+
B ．12
2
+
C ．22
D ．126、下列说法中,正确的是 （ ） A. 命题“若a b <，则2
2am bm <”的否命题是假命题。

B.设,αβ为两个不同的平面,直线α⊆l ,则""l β⊥是 ""
αβ⊥ 成立的充分不必
要条件.
C 。

命题“2
,0x R x
x ∃∈->”的否定是“2,0x R x x ∀∈-<"。

D.已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件.
7、如果执行右面的程序框图，那么输出的S =
（ ） A ．20 B ．90 C ．110 D ．132
8、一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示,
则这个三棱柱的左视图的面积为 ( ）
A.36 B ．8 C ．38 D ．12 9、已知y
x y x y x
31
1,2lg 8lg 2lg ,0,0+=+>>则的最小值是 A ．2
B ．22
C ．4
D ．2
3
极值点
10、已知函数3
21()23
f x x
ax bx c =+++有两个
12,x x 且12,x x 满足12112x x -<<<<，则直线
(1)30bx a y --+=
的斜率的取值范围是（ ）
A ．22,53⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ B ．53,22⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C ．21,⎛⎫- ⎪
D ．22,,⎛
⎫⎛⎫
-∞-+∞ ⎪ ⎪
开始 1k =
0S = 10?
k ≤是
2S S k =+ 1k k =+ 否
输出S
结束 （第7题图）
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题：(本大题共5小题,每小题5分,共25分） 11、抛物线2
2x
y =的焦点坐标是
12、函数3
()34f x x x =-，[0,1]x ∈的最大值是 13、设抛物线2
8y
x =的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线
有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是
14、已知圆2
2:12C x
y +=，直线:4325l x y +=,圆C 上任意一点A 到直线l 的
距离小于2的概率为 15、给出下列四个命题:
①若ABC ∆三边为c b a ,,,面积为S ,内切圆的半径c
b a S
r ++=2,则
由类比推理知四面体ABCD 的内切球半径4
3213S S S S V
R +++=
（其中,V 为四面体的体积,432
1
,,,S S S
S 为四个面的面积）;
②若回归直线的斜率估计值是23.1，样本点的中心为)5,4(,则回归直线
方程是08.023.1+=∧
x y ；
③若偶函数()()
f x x R ∈满足
(2)()
f x f x +=,且[0,1]x ∈时，
()f x x
=，则方程
3()log ||f x x =有3个根．
④若圆02:221=++x y x C
，圆012:2
22
=-++y y x C ,则这两个圆恰有2条公切线．
其中，正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）
程或步骤 ）
16、(本题满分12分)已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R ）. （1）求()f x 的最小正周期和最大值；
（2)若
24f A π
⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，其中A ABC ∆的内角，且2AB =，求边AC 和BC 的长.
17、(本小题满分12分）命题p ：函数()f x =
A ，
命题q :()()()lg 12(1)g x x a a x a ⎡⎤=---<⎣⎦的定义域为B ，若q 是p 的充分条件,求实数a 的取值范围。

18、（本小题满分12分）某产品生产成本C 与产量q （*N q ∈）的函数关系式为q C 4100+=，销售单价p 与产量q 的函数关系式为q p 8
125-=．
⑴产量q 为何值时，利润最大？
⑵产量q 为何值时，每件产品的平均利润最大？
19、（本小题满分12分）如图，平行四边形ABCD 中,1=CD ,
60=∠BCD ,且
CD BD ⊥,正方形ADEF 和平面ABCD 垂直,H G ,是BE DF ,的中点．
（1）求证：CDE BD 平面⊥； (2）求证://GH 平面CDE ； (3）求三棱锥CEF D -的体积．
20、（本小题满分13分)已知圆C 的方程为2
24x y +=，过点(2,4)M 作圆C
的两条切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆
22
:1(0)x y T a b +=>>
（1)求椭圆T 的方程；
（2）是否存在斜率为12的直线l 与曲线T 交于P 、Q 两不同点，使得52
OP OQ ⋅=（O 为坐标原点），若存在，求出直线l 的方程，否则，
说明理由．
21、(本小题满分14分）已知函数1ln )(+-=ax x x f ,R a ∈是常数． （1)求函数)(x f y =的图象在点))1( , 1(f P 处的切线 l 的方程； (2）证明函数)(x f y =（1≠x ）的图象在(1)中切线 l 的下方； （3）讨论函数)(x f y =零点的个数．
白鹭洲中学2011－2012学年下学期高二年级期中考试
数学试卷（文科）答题卡
考生注意：
1、考生务必用黑色签字笔填写试题答案、字体工整、笔迹清楚。

2、答题前,请考生将密封线内的姓名、班级、考号填写清楚。

3、保持卷面清洁，不得折叠、不要弄破。

一、选择题：（每题5分，共50分）
二、填空题：（每题5分，共25分）
11、____________ 12、____________ 13、
14、____________ 15、____________
姓名 学号
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16、（12分）
17、(12分）
18、（12分）
学必求其心得，业必贵于专精
A
C 19、（12分）
20、(13分）
21、（14分）
白鹭洲中学2011－2012学年下学期高二年级期中考试
数学试卷（文科）
参考答案
一、选择题
二、填空题：
11、（0，1
2）；12、1 ；13、[1,1]
-；14、1
6
；15、
①②④.
三、解答题
16、（1)解：()2sin cos cos2
f x x x x
=+
sin2cos2
x x
=+……2分
22
x x
⎫
=⎪⎪
⎭
2
4
x
π
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
. ……4分∴()f x的最小正周期为2
2
π
π
=, 最大值
为
……6分
（2
）因为()
24
f A
π
=
即()
243
f A
ππ
==∴sin sin3
A
π
=
分
2
33sin 21=⋅⋅=
∆A AC AB S 3AC ∴= …………………10分
由余弦定理得：2
222cos 7BC
AC AB AB AC A =+-⋅⋅=
∴
BC = …………………………12分
17、
解 ：由题意得{},1,1|≥-<=x x x A 或 …… 3分
{},12|+<<=a x a x B
…… 6分
p q 是的充分条件，A B ⊆∴ …… 7分 1211≥-≤+∴a a 或 2
12≥-≤∴a a 或 …… 9分
又1<a ，12
12<≤-≤∴a a 或 …… 11分
故所求实数a 的取值范围是(]⎪⎭
⎫⎢⎣⎡⋃-∞-1,212,。

……
12分
18、⑴销售收入2
8
1
25q q p q R -=⨯=……1分 利润100218
12
-+-=-=q q
C R L （2000<<q ,不影响赋分）……3分
782)84(8
1
2+--=q L (4)
分，所以产量84=q 时，利润L 最大……5分
⑵每件产品的平均利润)1008
1(21)(q
q q
L q f +-==……7分 因为8
100
2
1008
1≥+q
q 当且仅当220=q 时等号成立 ……9分。

并且2200<<q 时，f 单调递增;200220
<<q 时，f
单调递减……10分。

又因为29220
28<<，且)29()28(f f >，所以产量28=q 时，每件产品的
平均利润L 最大……11分
19、（1）证明:平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD
AD ED ⊥
∴ABCD ED 平面⊥ ——-———---—2分 ∴BD ED ⊥
又 CD BD ⊥
∴CDE BD 平面⊥ -——-—-—-4分
(2）证明:连结EA ，则G 是AE 的中点
∴EAB ∆中，AB GH // ——--—-—---—-—--6分 又 CD AB // ∴//GH CD
∴//GH 平面CDE —-——--—----——8分
（3）解：设BCD Rt ∆中BC 边上的高为h 依题意:312
122
1⋅⋅=⋅⋅h ∴2
3
=
h
即:点C 到平面DEF 的距离为2
3 —--—--———---———10
分
∴
3
3
23222131=
⋅⋅⋅⋅==--DEF C CEF D V V
-----———--————-——12分
20（Ⅰ）由题意：一条切线方程为：2x =,设另一条切线方程为：
4(2)y k x -=-。

2分
2=，解得:34
k =，此时切线方程为:35
42
y x =+ 切线方程与圆方程联立得：
68
,55
x y =-=
，则直线
AB
的方程为
22=+y x
(4)
令0=x ,解得1=y ,∴1=b ； 令0y =,得2x =,∴2=a 故
所
求椭圆方程为
14
22
=+y x ………。

6分
（Ⅱ）设存在直线m x y +=21满足题意,联立22121
4
y x m x y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪+=⎪⎩
整理得022222
=-++m mx x
，
令),(1
1
y x P ,),(2
2
y x Q ，则 ∴m x x
221
-=+，22221-=m x x ，
0)1(8)2(22>--=∆m m ，即
22<m
(8)
由52
OP OQ ⋅=,得:252121=+y y x x
)
2
1
)(21(21212121m x m x x x y y x x +++=+
2
212125155()(1)4222x x m x x m m =+++=-=
所以，m =22<m
……….12分
因此不存在直线满足题
意． ……….13分 21、⑴1)1(+-=a f ,a f k
l
-==1)1(/......1分，所以切线 l 的方程为 )1()1(-⨯=-x k f y l ，即x a y )1(-= (2)
分．
(2)作1ln )1()()(+-=--=x x x a x f x F ,0>x ……3分，则
)1(1
11)(/x x
x x F -=-=
，解0)(/=x F 得1=x ……4分．
……5分
所以0>∀x 且1≠x ，0)(<x F ,x a x f )1()(-<，即函数)(x f y =（1≠x ）的图像在直线 l 的下方……6分．
（3))(x f 有零点，即01ln )(=+-=ax x x f 有解,x x a 1ln +=……7分
2
2/ln )1(ln 1x x
x x a -
=+-=
,解0/
=a
得1=x ……8分，
类似⑴列表讨论知1≤a ，即若)(x f 有零点，则1≤a ；若1>a ，则)(x f 无零点……9分.
若1=a ，1ln )(+-=x x x f ，由⑴知)(x f 有且仅有一个零点1=x ……10分 若0≤a ，1ln )(+-=ax x x f 单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较知
)
(x f 有且仅有一个零点（或:直线1-=ax y 与曲线x y ln =有一个交
点）……11分 若10<<a ，解01)(/
=-=
a x x f
得)1( 1
>=a
x ,类似⑴列表讨论知，)(x f 在a x 1=
处
取最大值……12分，
01
ln )1(>=a
a f ,由幂函数与对数函数单调性比较知,当x 充分大时0)(<x f ,即)(x f 在单调递减区间) , 1(∞+a
有且仅有一个零点……13分；
又因为0)1(<-=e
a e
f ，所以)(x f 在单调递增区间)1 , 0(a
有且仅有一个零
点,综上所述,当1>a 时，)(x f 无零点；当1=a 或0≤a 时，)(x f 有且仅有一个零点；当10<<a 时，)(x f 有两个零点……14分．
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