三相电压不平衡度评估的算法原理

设在一段连续时间内，对电压进行均匀采样得到了采样序列 ，从中
取出一个周期T内的N个点,记为
，此时若离散时间点为t
= kT/ N（采样时间间隔dt=T/N），在此离散点u (t) 的采样值为u (k)
，则
（9）
根据离散时间序列 的数据, 按照离散傅立叶变换的理论,可以导 出计算第n次谐波系数An，Bn的公式：
（10） 其中n= 1 ,2 ,3 , ..., N-1。则第n 次谐波的幅值Cn为
，当n取1时就可以得到基波的幅值。 但是这里存在一个计算量的问题，也就是实现算法的程序执行时间 问题。考虑x(n)是长度为N的复数序列的一般情况，对某一个k值，直接 计算X(k)值需要N次复数乘法，(N-1)次复数加法。因此，对所有N个k 值，共需 次复数乘法，以及N(N-1)次复数加法运算。当N>>1时，N(n1)≈N2。由上述可见，N点DFT的乘法和加法运算次数均与 成正比。当N 较大时，运算量相当可观。所以，必须减少其运算量，才能使DFT在工 程计算中得到应用。于是J.W.Cooley和J.W.Tukey于1965年根据DFT导出 了快速傅立叶变换算法（FFT）。迄今为止，快速傅立叶变换的发展方 向主要有两个：一个是针对N等于2的整数次幂的算法，如基2算法、基4 算法和分裂基算法等；另一个是N不等于2的整数次幂的算法，它是以 Winograd为代表的一类算法。因为FFT是DFT的一种快速算法，所以FFT 的运算结果必然满足DFT的基本性质。它使用一些算法上的技巧大大减 少了DFT的运算量，使得计算机计算FFT时的速度更快。
综上所述，电压不平衡度是三相电压不平衡评估的基本参量。不同 的电压不平衡度定义会产生不同的评估结果。为使评估结果具有一致性 和对比性，需要采用相同的合理定义。经过以上对电压不平衡度各种定 义的对比分析，本文对线电压的测量，采用比较简单的公式25定义；如 果测量的是相电压，仍然采用对称分量法，本文即采用对称分量法。
2.3对称分量法 为了量化三相系统电压或电流的不平衡，采用对称分量法。三相系 统分解成的正序、负序和零序系统，用下标 1、2、0 来表示。它们采 用三相电压或电流矢量的矩阵变换来计算。下标 a、b、c 来表示不同 的相。这里的数学表达式是针对电压U而言，但是这个变量可以用电流I 替代，没有任何问题。如图2。
称为基波分量；
（n≥2）为高次谐波。[9]傅立叶分析方法相当于光谱分析中的三棱
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镜，而信号f(t)相当于一束白光，将f(t) “通过”傅立叶变换分析后 可得到信号的“频谱”。通过傅立叶变换，我们就能在全新的频率时空 来认识信号f(t)。一方面可能使在时域研究中比较复杂的问题在频域中 变得简单起来，简化其分析过程；另一方面信号与系统的物理本质在频 域中能更好地被揭示出来。傅立叶变换包括连续信号的傅立叶变换和离 散信号的傅立叶变换，这里主要涉及到离散信号的傅立叶变换。对给定 的实的或复的离散时间信号序列x0,x1,…,xN-1，设该序列绝对可和， 即满足：
但是对称分量法包含电压矢量计算，需要测量三相电压的大小和相 位，这就提高了对仪器性能的要求。于是，有些标准就推荐了一些基于 线电压方均根值的三相电压不平衡度估算法。
2.4.2基于线电压的其它不平衡度计算方法 线电压的特点就是没有零序分量，不必考虑中性点位移。基于线电
压方均根值的不平衡度定义汇总见表2[12]。除了公式25是精确计算， 与公式4结果相同之外，其它方法计算的电压不平衡度均受负序电压的 幅值和相位影响。
在电能质量分析领域，傅立叶变换得到了广泛的应用。但是，在运 用FFT时，必须满足以下条件：一要满足采样定理的要求，即采样频率 必须是最高信号频率的2倍以上；二要满足被分析的波形必须是稳态 的、随时间周期变化的。当采样频率或信号不能满足上述条件时，利用 FFT分析就会产生“频谱混叠”和“频谱泄露”现象，给分析带来误 差。[10]
（7）
则有：
（8）
被称为序列 的离散傅立叶变换（DFT）。实际上，在对非正弦 周期信号的测量时，一般无法得到实际电压的函数，记录数据一般都不 是连续的，而是在一段连续时间内，使电压信号经过模数转换按一定频 率来采样得到用有限字长表示的离散时间信号。为了计算出各次谐波的 幅值，只需从采样序列中截取整数个周期就可以计算各次谐波的幅值。
由上面的公式14可见，对于一个周期为N 的离散的有限长序列，利 用Matlab中的FFT函数计算出基波和各次谐波系数X(k)后，再乘以2/N得 到复数An-jBn，而实部和虚部的平方和再开方对应的是幅值，虚部除以 实部在取反正切对应的就是相位。即通过FFT可得到与基于连续信号傅 立叶级数等效的基波和各次谐波的真正幅值与真正相位。这样的幅值和 相位有若干个点，是和采样点频率有关系的，但是每个点上的幅值和相
位信息是互相对应的。 傅里叶原理表明，任何连续测量的信号，都可以表示为不同频率的
正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接 测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频 率、振幅和相位。因此，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成 了易于分析的频域信号。在设计滤波器的时候，使用FFT我们可以迅速 得到原始信号的频谱。通过对频谱进行进一步分析，就可以得知有效信 号和噪声的频率范围，这样就可以确定滤波器的相关参数了。另外的一 些时候，我们需要对频域信号进行加工的时候也需要使用FFT将原始信 号转换成频域信号，进行完相关处理之后再使用反FFT将其还原成时域 信号。本文中利用FFT滤除谐波和噪声的影响，就可以很容易地获得基 波分量的幅值和相位。
2. 4三相电压不平衡度的计算 三相电压的测量对象有相电压和线电压两种。基于这两种测量对 象，目前所采纳的定义不同的电压不平衡度的计算结果是不相同的。
2.4.1基于负序的电压不平衡度计算方法 如公式4所示，当不考虑负序分量的相位时，在三相三线制系统 中，用户一般接在相间电压上，电压不平衡度就只由线电压的负序分量 决定。在三相四线制中，由以上的推导分析已知，基于负序的线电压和 相电压的不平衡度是相等的；但值得注意的是，当电源中性点和负荷中 性点之间存在电位差时，即使基于负序的电压不平衡度相等，零序电压 也可以使三相相电压的幅值相差比较大，基于电压幅值定义的不平衡度 结果也就大有不同。对于这种情况，除了基于负序的电压不平衡度外， 还需要补充基于零序的电压不平衡度定义。 从敏感设备的受影响角度来看，对电压不平衡度比较敏感的三相旋 转设备一般是基于线电压工作，负序电压的含量决定了对其危害的严重 程度，因此，基于负序的电压不平衡度评估是非常重要的。目前，标准 普遍采用并提出限值的也主要是基于负序的三相电压不平衡度定义，对 称分量法的公式4的定义既适合有零序分量的多相系统，也适合不含零 序分量的多相系统。我国电能质量国标就采用了公式4的定义。
表2：基于线电压方均根值的不平衡度定义汇总表
2.2快速傅里叶变换 设电力系统中电压信号可用一个周期函数来表示,即： u(t)=u(t+kT)，式中T为周期函数的周期，且k=0，1,2,3……电力系统 中电压、电流一般都满足狄里赫利条件, 因此可以分解成如下形式的傅 立叶级数：
也可以写成下面的形式：
（5） （6）
其中
；
；
；
A0为函数的直流分量；
三相电压不平衡度评估的算法原理
2.1三相电压不平衡度的定义 三相电压不平衡度为三相电压不平衡的特征指标，其定义式为：
（4）
式中： U1——三相电压的正序分量方均根值，单位为伏（KV）； U2——三相电压的负序分量方均根值，单位为伏（KV）； U0——三相电压的零序分量方均根值，单位为伏（KV）。 将公式4中U1、U2、U0换为I1、I2、I0则为相应的电流不平衡度 εI2和εI0。