压痕法测试金属材料力学性能理论
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压痕理论的应用
Step 1 首先在接触表面屈服→表面形成的塑性区
Step 2塑性区不断扩展→材料发生完全的塑性变形
c
a
h*
第29页/共53页
通过压头下的应力场进行分析，计算出材料的临界平均压力。在压痕试验过程中，不同的阶段，分析材料的应力场是不同的。 首先，赫兹弹性接触理论，其次是孔洞模型理论。在表面形成塑性区域之前，运用赫兹弹性接触理论来分析应力；随着应力的不断增加，塑性区域不断增大，直到发生完全塑形变形，运用孔洞模型理论来分析应力。
为了确定的临界点，应该分析压痕试验的全过程，在压痕试验中，随着载荷不断增加，压头下逐渐形成一个塑性区域，塑性区域不断增加直到该区域扩展到接触表面。
第23页/共53页
材料出现完全的塑形区域
(c/a 不变)
第16页/共53页
约束条件
裂纹尖端处
塑性区域受到弹性区域的限制
压头下
相似的约束条件
裂纹尖端处存在应力约束效应，同样，在压头下压的过程中，在压头下也存在一定的应力约束效应。通过分析相同约束条件，可以找出裂纹扩展时与压痕试验临界断裂点之间的联系。
第17页/共53页
R=250m
第6页/共53页
塑性变形与弹性变形的分析不尽相同，在塑性变形区域中，压头下材料存在一定的挤出和凹陷的现象。 大多数研究已经表明，塑性区域的挤出和凹陷现象与加工硬化指数n和最大压痕深度hmax与压头半径R比值存在一定的关系，因此材料表面的塑性行为可以表示为公式，可以通过有限元分析方法得出hpile：
压痕法简介
压痕法被广泛应用于研究材料的屈服强度、抗拉强度、加工硬化指数、弹性模量、残余应力以及断裂韧性。因此，它实现了在役设备材料拉伸性能的连续性监控，以及对在役设备的结构完整性评估提供了可靠的保障。 试验过程主要是采用控制位移或者控制载荷方法，记录整个试验过程中的试验力F，相应的压痕深度h和时间。试验结果是一组关于试验力及相应的压痕深度的函数。
很少变形或者基本不变形
大的塑形变形
标准
应力控制在裂纹尖端的临界断裂应力(sf)
应变控制在裂纹尖端的临界断裂应变 (ef)
断裂时所需的能量
当应力达到临界断裂应力
当应变达到临界断裂应力
断裂形式
脆性断裂模型
韧性断裂模型
第25页/共53页
脆性断裂模型
第26页/共53页
临界条件
εrr
临界应力(pressure) at h*
第40页/共53页
塑性功
塑性功可用流动应力和工程断裂应变来表示。运用材料的某些性能参数可以确定压痕断裂韧性
第41页/共53页
力学参数的确定
通过压痕参数来确定
测量参数
rc
ef
通过压痕试验来确定
第42页/共53页
为了求得压痕断裂韧性，应该知道方程中所有的力学参数。 通过压痕法的载荷深度曲线可以确定材料的屈服强度、抗拉强度以及弹性模量。 泊松比可以被认为是0.3。 但是，塑性区尺寸和断裂应变不能直接通过压痕试验来确定，需要通过压痕参数来确定。
第34页/共53页
等效断裂能量的计算法则
Step 1
等效断裂能量所需的总压力
Step 2
因此，等效断裂能量可以运用断裂时所需的总压力来表示，总压力是通过赫兹弹性接触理论所得的压力和孔洞模型中压力增加量来表示。 总压力是由材料的屈服强度乘以一个常数表示，由于材料的不同，等效断裂能量所需的临界压力不尽相同。
通过单轴拉伸试验可以测得材料断裂时的应变。因此，通过计算拉伸曲线的面积来确定断裂时所需的应变能。
第39页/共53页
假设
Peel and Frosyth研究称，裂纹在扩展的过程中，弹性能量的释放量与裂纹尖端处的塑性功是相等。他们认为，每单位面积释放的弹性能与每单位面积所做的塑性功相等，它是由塑性区域的尺寸和韧度来确定的。
Indenter
[Material : API X70]
loading
2.3 3.0
裂纹尖端处的三轴应力与压头下的三轴应力相似
单边切口悬臂梁(SENB)
压痕法（Indentation）
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1、通过接触深度确定接触面积
第5页/共53页
在压痕试验过程中，压头下的材料伴随着弹性变形和塑性变形，在确定压痕深度的过程中，必须考虑挤出和凹陷现象。通过接触力学的方法确定弹性变形的深度hd:
Lmax是载荷-深度曲线上的最大载荷，ε是压头形状参数。这里S是刚度，即初始卸载曲线的斜率。
这里hpile是塑性挤出高度，hc是接触深度，R是球的半径。
第7页/共53页
压头与材料的接触面积如下式所示：
第8页/共53页
2、确定真应力和真应变
在压痕试验中，运用球形压头来测试拉伸性能，可以通过不断变化的应力场来确定应力和应变。 当材料与压头接触时，弹性变形能在卸荷后完全恢复。但在使用球形压头的情况下，在其中发生的初始弹性——弹塑性变形的间隔是极其之短，因此，可以认为是完全塑性变形，并提出了平均压力（由压痕载荷和接触面积转化而来的）和真应力之间的关系，如下式所示：
这里ψ是塑性约束因子，Ac是接触面积，L是载荷。
第9页/共53页
应变与材料本身无关，与压头和材料的接触角度有一定的关系。可以运用如下正切函数来表示应变：
这里ξ可以通过有限元分析法获得，θ是压头和材料的接触角度
第10页/共53页
3、确定本构方程
在压痕试验中，所测试的应力和应变存在一定的关系。试验过程中，所获得的应力和应变能很好的符合在多点拉伸试验的本构方程，并通过该方程绘出真应力和真应变曲线。在材料的塑性变化过程中，霍格蒙方程涵盖了大部分普通金属材料，表示为幂指数关系。但是，奥氏体材料存在简单的线性关系，如下式所示。
运用有限元方法分析了裂纹尖端处和球形压头下方材料的应力状态。这些结果表明，球形压头下材料与裂纹尖端处的应力集中现象是相似的。 因此，在特定的深度下，球形压头下的材料变化与裂纹尖端处材料的变化相似。
第19页/共53页
压痕法测试断裂韧性
相似的情况
第20页/共53页
我们比较了两种方法每一步的应力场的变化情况。在压头没有接触材料时，材料没有什么变化，这与裂纹尖端处的材料相似。 在裂纹扩展的开始，裂纹首先发生钝化现象，裂纹尖端处逐渐形成一个塑性区域。同时，随着载荷的不断增加，压头下的材料也在发生塑形变形。 最后，可以研究不稳定裂纹在发生完全塑性变形时，裂纹的扩展能量与压头下材料发生完全塑形变形时压痕能量，存在何种关系。
临界条件
脆性断裂是在外界应力大于材料的临界应力时瞬间发生断裂，在压痕试验中，运用平均压力来表示该过程，在加载的过程中，只要压痕深度达到临界值时，材料的平均压力也达到最大值。
第27页/共53页
假设
材料在刚形成完全的塑形区域=形成的等效断裂能量
假设平均压力达到临界平均压力时，压头下的材料发生完全塑性变形，这个时候，认为形成等效断裂能。 因此，在材料达到完全塑性变形时，c/a塑形的扩展速率恒定不变。
第32页/共53页
孔洞模型理论 (E-P theory)
塑性区域内的内力(a ≤ r ≤ c)
在材料发生完全塑性变化(r = a)之前，内部压力不断发生变化：
by K.E. Puttick (1977)
core
第33页/共53页
表面上发生塑性变形后，这时已经不能用弹性理论来解释材料的变化，因此应该运用新的理论来解释材料的变化，即弹塑性理论。 约翰逊的孔洞模型可以解释塑性区域的内应力分布情况。但是，Pm不能直接计算出来。 在塑性区的边界处，利用应力场方程可以计算Pi，由于Pm与Pi没有直接的联系，因此很难通过Pi计算出Pm 。 然而，最终的临界平均压力可以出来，因为Pm与Pi的增加量是相同的。 Pi的变化（在刚开始形成塑性区域到该区域发生完全塑形变形）是可以通过以下方程求出。
塑形区域不断扩大(c/a ↑)
c
a
c
a
h*
随着塑性区域的不断增大，塑性区域半径与压头半径，c/a不断增加，试验开始时，c/a快速增加，随着深度不断增加，c/a达到最大值，压头下的材料发生完全塑性变形。这时的压痕能量等效断裂所需的能量。
第24页/共53页
脆性材料
韧性材料
断裂表面
变形量
第21页/共53页
能量等效过程
= 裂纹扩展所需的能量
压痕法所测试等效的断裂能量
分析材料在压头下变化情况
通过分析压头下应力场来确定他们之间的联系。在压痕试验中，等效的断裂能量与裂纹扩展所需的能量存在一定的联系。因此，如何确定临界压痕点所具有的断裂能是关键。
第22页/共53页
下压过程
材料的表面开始出现塑形区域
(5)在深度h*来确定等效的断裂能量
第36页/共53页
韧性材料模型
第37页/共53页
临界条件
εrr
临界应变，h*
临界条件
当材料在外界作用力下，材料发生临界应变时，所需的应变能是韧性断裂等效的断裂能量。
第38页/共53页
临界应变 ，h*
临界条件
在断裂应变时，材料吸收的应变能=抗张能量
第2页/共53页
强度
第3页/共53页
拉伸性能的测试步骤
第4页/共53页
在仪器压痕技术中，为了确定材料的机械性能，首先要确定材料与压头的接触面积。由于压头较小，很难直接测量压痕的大小。但是，接触面积与接触深度和压头的几何形状存在一定的关系，因此确定压痕试验的接触深度至关重要，压痕深度可以通过载荷-深度曲线中获得。
断裂韧度
第14页/共53页
断裂测试
裂纹扩展直到断裂
压头
仪器压痕测试
无裂纹无断裂
压痕法测试断裂韧性
断裂测试和仪器压痕测试的联系是什么?
以金属为例,
第15页/共53页
实际上，压痕断裂韧性主要是研究陶瓷材料，陶瓷材料在压痕试验中，在压痕载荷下存在实际裂纹。许多研究者研究压痕裂纹与试样传统断裂试验的裂纹长度上的关系。 然而，在金属的情况下，不发生在压痕开裂。因为这个原因，许多研究人员试图了解压痕临界点与裂试验裂纹扩展的联系。我们通过以下理论，确定断裂试验和压痕测试试验之间的关系。
第43页/共53页
塑性区的尺寸, rc
P
Plastic flow
Elastic constraint
Plastic zone
主要是弹性约束
主要是塑性流变
塑性区域较小时
塑性区域较大时
回弹能力
断裂应变, ef
根据试验可以确定均匀应变和断裂应变之间的关系
,
第44页/共53页
塑性区的大小是由塑性流变和弹性约束之间的平衡关系决定的。如果材料的弹性约束占主导地位，塑性区的尺寸会比较小，反之亦然。运用材料的回弹能力可以表示塑性区尺寸的弹性影响，即弹性变形时材料的吸收能量。由于塑性区尺寸与回弹能力存在一定的关系，因此可以用压痕试验所测的回弹能力来计算塑性区的尺寸。回弹能力与弹性模量和屈服强度有关。 运用类似的方法，韧性材料必须考虑断裂应变。材料的延展性是指材料发生变形而没有断裂的情形，通常可以通过拉伸试验获得的延伸率来表示。更换的塑性区尺寸术语回弹的功能，可以通过压痕试验得到的。它由屈服强度和弹性模量。 用类似的方法，断裂应变可以在延展性考虑。延性特征在何种程度上的可变形的材料无骨折通常是由拉伸试验得到的断裂伸长率。运用延伸率理论，可以发现均匀应变与断裂应变成线性关系。因此，可以运用均匀应变来表示断裂应变。
第35页/共53页
脆性材料的断裂韧性
Pm - h curve
载荷深度曲线
- 每一个卸载深度时的平均压力
(1) 压痕试验
(6) 确定断裂韧度 (KJC)
(2) 通过屈服强度 σys 来计算 Pmc
- 屈服强度σys通过载荷深度曲线计算所得
(3) 绘制Pm-h 曲线
-
(4) 确定 h*
- 通过ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱm-h曲线在 Pmc 确定深度
第30页/共53页
Hertz 弹性接触理论
接触区域的外应力 (r ≥ a)
当(r = a)接触区域的径向应力满足屈服准则
由Von Mises’ 屈服准则，可得下式
第31页/共53页
根据赫兹弹性接触理论，压头与试样是弹性接触的。接触区域的外应力可以用以下公式来表示。当r=a，接触区域表面刚好发生塑性变形。 因此，运用von-mises‘准则，可以确定平均压力与屈服强度成正比，C1是常数，取决于材料和压头的几何形状。
这里K是常量，n为加工硬化指数。
第11页/共53页
应力应变曲线的绘制
第12页/共53页
4、确定材料的拉伸性能
从本构方程来看，屈服强度是通过0.2%的条件屈服强度和方程式的常数A之间的关系来确定的。极限抗拉强度通过代表性的应变和基于张力不稳定性的相应的加工硬化指数计算而来的。
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压痕理论的应用
Step 1 首先在接触表面屈服→表面形成的塑性区
Step 2塑性区不断扩展→材料发生完全的塑性变形
c
a
h*
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通过压头下的应力场进行分析，计算出材料的临界平均压力。在压痕试验过程中，不同的阶段，分析材料的应力场是不同的。 首先，赫兹弹性接触理论，其次是孔洞模型理论。在表面形成塑性区域之前，运用赫兹弹性接触理论来分析应力；随着应力的不断增加，塑性区域不断增大，直到发生完全塑形变形，运用孔洞模型理论来分析应力。
为了确定的临界点，应该分析压痕试验的全过程，在压痕试验中，随着载荷不断增加，压头下逐渐形成一个塑性区域，塑性区域不断增加直到该区域扩展到接触表面。
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材料出现完全的塑形区域
(c/a 不变)
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约束条件
裂纹尖端处
塑性区域受到弹性区域的限制
压头下
相似的约束条件
裂纹尖端处存在应力约束效应，同样，在压头下压的过程中，在压头下也存在一定的应力约束效应。通过分析相同约束条件，可以找出裂纹扩展时与压痕试验临界断裂点之间的联系。
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R=250m
第6页/共53页
塑性变形与弹性变形的分析不尽相同，在塑性变形区域中，压头下材料存在一定的挤出和凹陷的现象。 大多数研究已经表明，塑性区域的挤出和凹陷现象与加工硬化指数n和最大压痕深度hmax与压头半径R比值存在一定的关系，因此材料表面的塑性行为可以表示为公式，可以通过有限元分析方法得出hpile：
压痕法简介
压痕法被广泛应用于研究材料的屈服强度、抗拉强度、加工硬化指数、弹性模量、残余应力以及断裂韧性。因此，它实现了在役设备材料拉伸性能的连续性监控，以及对在役设备的结构完整性评估提供了可靠的保障。 试验过程主要是采用控制位移或者控制载荷方法，记录整个试验过程中的试验力F，相应的压痕深度h和时间。试验结果是一组关于试验力及相应的压痕深度的函数。
很少变形或者基本不变形
大的塑形变形
标准
应力控制在裂纹尖端的临界断裂应力(sf)
应变控制在裂纹尖端的临界断裂应变 (ef)
断裂时所需的能量
当应力达到临界断裂应力
当应变达到临界断裂应力
断裂形式
脆性断裂模型
韧性断裂模型
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脆性断裂模型
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临界条件
εrr
临界应力(pressure) at h*
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塑性功
塑性功可用流动应力和工程断裂应变来表示。运用材料的某些性能参数可以确定压痕断裂韧性
第41页/共53页
力学参数的确定
通过压痕参数来确定
测量参数
rc
ef
通过压痕试验来确定
第42页/共53页
为了求得压痕断裂韧性，应该知道方程中所有的力学参数。 通过压痕法的载荷深度曲线可以确定材料的屈服强度、抗拉强度以及弹性模量。 泊松比可以被认为是0.3。 但是，塑性区尺寸和断裂应变不能直接通过压痕试验来确定，需要通过压痕参数来确定。
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等效断裂能量的计算法则
Step 1
等效断裂能量所需的总压力
Step 2
因此，等效断裂能量可以运用断裂时所需的总压力来表示，总压力是通过赫兹弹性接触理论所得的压力和孔洞模型中压力增加量来表示。 总压力是由材料的屈服强度乘以一个常数表示，由于材料的不同，等效断裂能量所需的临界压力不尽相同。
通过单轴拉伸试验可以测得材料断裂时的应变。因此，通过计算拉伸曲线的面积来确定断裂时所需的应变能。
第39页/共53页
假设
Peel and Frosyth研究称，裂纹在扩展的过程中，弹性能量的释放量与裂纹尖端处的塑性功是相等。他们认为，每单位面积释放的弹性能与每单位面积所做的塑性功相等，它是由塑性区域的尺寸和韧度来确定的。
Indenter
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裂纹尖端处的三轴应力与压头下的三轴应力相似
单边切口悬臂梁(SENB)
压痕法（Indentation）
第18页/共53页
1、通过接触深度确定接触面积
第5页/共53页
在压痕试验过程中，压头下的材料伴随着弹性变形和塑性变形，在确定压痕深度的过程中，必须考虑挤出和凹陷现象。通过接触力学的方法确定弹性变形的深度hd:
Lmax是载荷-深度曲线上的最大载荷，ε是压头形状参数。这里S是刚度，即初始卸载曲线的斜率。
这里hpile是塑性挤出高度，hc是接触深度，R是球的半径。
第7页/共53页
压头与材料的接触面积如下式所示：
第8页/共53页
2、确定真应力和真应变
在压痕试验中，运用球形压头来测试拉伸性能，可以通过不断变化的应力场来确定应力和应变。 当材料与压头接触时，弹性变形能在卸荷后完全恢复。但在使用球形压头的情况下，在其中发生的初始弹性——弹塑性变形的间隔是极其之短，因此，可以认为是完全塑性变形，并提出了平均压力（由压痕载荷和接触面积转化而来的）和真应力之间的关系，如下式所示：
这里ψ是塑性约束因子，Ac是接触面积，L是载荷。
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应变与材料本身无关，与压头和材料的接触角度有一定的关系。可以运用如下正切函数来表示应变：
这里ξ可以通过有限元分析法获得，θ是压头和材料的接触角度
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3、确定本构方程
在压痕试验中，所测试的应力和应变存在一定的关系。试验过程中，所获得的应力和应变能很好的符合在多点拉伸试验的本构方程，并通过该方程绘出真应力和真应变曲线。在材料的塑性变化过程中，霍格蒙方程涵盖了大部分普通金属材料，表示为幂指数关系。但是，奥氏体材料存在简单的线性关系，如下式所示。
运用有限元方法分析了裂纹尖端处和球形压头下方材料的应力状态。这些结果表明，球形压头下材料与裂纹尖端处的应力集中现象是相似的。 因此，在特定的深度下，球形压头下的材料变化与裂纹尖端处材料的变化相似。
第19页/共53页
压痕法测试断裂韧性
相似的情况
第20页/共53页
我们比较了两种方法每一步的应力场的变化情况。在压头没有接触材料时，材料没有什么变化，这与裂纹尖端处的材料相似。 在裂纹扩展的开始，裂纹首先发生钝化现象，裂纹尖端处逐渐形成一个塑性区域。同时，随着载荷的不断增加，压头下的材料也在发生塑形变形。 最后，可以研究不稳定裂纹在发生完全塑性变形时，裂纹的扩展能量与压头下材料发生完全塑形变形时压痕能量，存在何种关系。
临界条件
脆性断裂是在外界应力大于材料的临界应力时瞬间发生断裂，在压痕试验中，运用平均压力来表示该过程，在加载的过程中，只要压痕深度达到临界值时，材料的平均压力也达到最大值。
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假设
材料在刚形成完全的塑形区域=形成的等效断裂能量
假设平均压力达到临界平均压力时，压头下的材料发生完全塑性变形，这个时候，认为形成等效断裂能。 因此，在材料达到完全塑性变形时，c/a塑形的扩展速率恒定不变。
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孔洞模型理论 (E-P theory)
塑性区域内的内力(a ≤ r ≤ c)
在材料发生完全塑性变化(r = a)之前，内部压力不断发生变化：
by K.E. Puttick (1977)
core
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表面上发生塑性变形后，这时已经不能用弹性理论来解释材料的变化，因此应该运用新的理论来解释材料的变化，即弹塑性理论。 约翰逊的孔洞模型可以解释塑性区域的内应力分布情况。但是，Pm不能直接计算出来。 在塑性区的边界处，利用应力场方程可以计算Pi，由于Pm与Pi没有直接的联系，因此很难通过Pi计算出Pm 。 然而，最终的临界平均压力可以出来，因为Pm与Pi的增加量是相同的。 Pi的变化（在刚开始形成塑性区域到该区域发生完全塑形变形）是可以通过以下方程求出。
塑形区域不断扩大(c/a ↑)
c
a
c
a
h*
随着塑性区域的不断增大，塑性区域半径与压头半径，c/a不断增加，试验开始时，c/a快速增加，随着深度不断增加，c/a达到最大值，压头下的材料发生完全塑性变形。这时的压痕能量等效断裂所需的能量。
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脆性材料
韧性材料
断裂表面
变形量
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能量等效过程
= 裂纹扩展所需的能量
压痕法所测试等效的断裂能量
分析材料在压头下变化情况
通过分析压头下应力场来确定他们之间的联系。在压痕试验中，等效的断裂能量与裂纹扩展所需的能量存在一定的联系。因此，如何确定临界压痕点所具有的断裂能是关键。
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下压过程
材料的表面开始出现塑形区域
(5)在深度h*来确定等效的断裂能量
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韧性材料模型
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临界条件
εrr
临界应变，h*
临界条件
当材料在外界作用力下，材料发生临界应变时，所需的应变能是韧性断裂等效的断裂能量。
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临界应变 ，h*
临界条件
在断裂应变时，材料吸收的应变能=抗张能量
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强度
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拉伸性能的测试步骤
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在仪器压痕技术中，为了确定材料的机械性能，首先要确定材料与压头的接触面积。由于压头较小，很难直接测量压痕的大小。但是，接触面积与接触深度和压头的几何形状存在一定的关系，因此确定压痕试验的接触深度至关重要，压痕深度可以通过载荷-深度曲线中获得。
断裂韧度
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断裂测试
裂纹扩展直到断裂
压头
仪器压痕测试
无裂纹无断裂
压痕法测试断裂韧性
断裂测试和仪器压痕测试的联系是什么?
以金属为例,
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实际上，压痕断裂韧性主要是研究陶瓷材料，陶瓷材料在压痕试验中，在压痕载荷下存在实际裂纹。许多研究者研究压痕裂纹与试样传统断裂试验的裂纹长度上的关系。 然而，在金属的情况下，不发生在压痕开裂。因为这个原因，许多研究人员试图了解压痕临界点与裂试验裂纹扩展的联系。我们通过以下理论，确定断裂试验和压痕测试试验之间的关系。
第43页/共53页
塑性区的尺寸, rc
P
Plastic flow
Elastic constraint
Plastic zone
主要是弹性约束
主要是塑性流变
塑性区域较小时
塑性区域较大时
回弹能力
断裂应变, ef
根据试验可以确定均匀应变和断裂应变之间的关系
,
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塑性区的大小是由塑性流变和弹性约束之间的平衡关系决定的。如果材料的弹性约束占主导地位，塑性区的尺寸会比较小，反之亦然。运用材料的回弹能力可以表示塑性区尺寸的弹性影响，即弹性变形时材料的吸收能量。由于塑性区尺寸与回弹能力存在一定的关系，因此可以用压痕试验所测的回弹能力来计算塑性区的尺寸。回弹能力与弹性模量和屈服强度有关。 运用类似的方法，韧性材料必须考虑断裂应变。材料的延展性是指材料发生变形而没有断裂的情形，通常可以通过拉伸试验获得的延伸率来表示。更换的塑性区尺寸术语回弹的功能，可以通过压痕试验得到的。它由屈服强度和弹性模量。 用类似的方法，断裂应变可以在延展性考虑。延性特征在何种程度上的可变形的材料无骨折通常是由拉伸试验得到的断裂伸长率。运用延伸率理论，可以发现均匀应变与断裂应变成线性关系。因此，可以运用均匀应变来表示断裂应变。
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脆性材料的断裂韧性
Pm - h curve
载荷深度曲线
- 每一个卸载深度时的平均压力
(1) 压痕试验
(6) 确定断裂韧度 (KJC)
(2) 通过屈服强度 σys 来计算 Pmc
- 屈服强度σys通过载荷深度曲线计算所得
(3) 绘制Pm-h 曲线
-
(4) 确定 h*
- 通过ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱm-h曲线在 Pmc 确定深度
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Hertz 弹性接触理论
接触区域的外应力 (r ≥ a)
当(r = a)接触区域的径向应力满足屈服准则
由Von Mises’ 屈服准则，可得下式
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根据赫兹弹性接触理论，压头与试样是弹性接触的。接触区域的外应力可以用以下公式来表示。当r=a，接触区域表面刚好发生塑性变形。 因此，运用von-mises‘准则，可以确定平均压力与屈服强度成正比，C1是常数，取决于材料和压头的几何形状。
这里K是常量，n为加工硬化指数。
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应力应变曲线的绘制
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4、确定材料的拉伸性能
从本构方程来看，屈服强度是通过0.2%的条件屈服强度和方程式的常数A之间的关系来确定的。极限抗拉强度通过代表性的应变和基于张力不稳定性的相应的加工硬化指数计算而来的。
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