最新初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编含答案解析(2)

最新初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编含答案解析(2)
一、选择题
1．若数k 使关于x 的不等式组301132x k x x +≤⎧⎪
-⎨-≤⎪⎩只有4个整数解，且使关于y 的分式方程
1
k y -+1＝1y k
y ++的解为正数，则符合条件的所有整数k 的积为（ ）
A ．2
B ．0
C ．﹣3
D ．﹣6
【答案】A 【解析】 【分析】
解不等式组求得其解集，根据不等式组只有4个整数解得出k 的取值范围，解分式方程得出y=-2k+1，由方程的解为整数且分式有意义得出k 的取值范围，综合两者所求最终确定k 的范围，据此可得答案． 【详解】
解：解不等式组30
113
2x k x x +≤⎧⎪
-⎨-≤⎪⎩得：﹣3≤x ≤﹣3k ，
∵不等式组只有4个整数解， ∴0≤﹣
3
k
＜1， 解得：﹣3＜k ≤0， 解分式方程
1
k y -+1＝1y k y ++得：y ＝﹣2k +1，
∵分式方程的解为正数， ∴﹣2k +1＞0且﹣2k +1≠1， 解得：k ＜
1
2
且k ≠0， 综上，k 的取值范围为﹣3＜k ＜0，
则符合条件的所有整数k 的积为﹣2×（﹣1）＝2， 故选A ． 【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组、分式方程的解，有难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
2．解分式方程11
222x x x
-+=--的结果是（ ） A ．x="2"
B ．x="3"
C ．x="4"
D ．无解
【解析】 【分析】 【详解】
解：去分母得：1﹣x+2x ﹣4=﹣1， 解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解． 故选D ．
考点：解分式方程．
3．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（ ） A ．4 1.2540800x x ⨯-=
B ．800800
402.25x x
-= C ．800800
401.25x x -= D ．
800800
401.25x x
-= 【答案】C 【解析】 【分析】
先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即
可． 【详解】
小进跑800米用的时间为
8001.25x 秒，小俊跑800米用的时间为800
x
秒， ∵小进比小俊少用了40秒，
方程是
800800
401.25x x
-=， 故选C ． 【点睛】
本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．
4．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x 公里，根据题意列出的方程正确的是（ ） A ．60(125%)60
60x x
⨯+-=
B ．6060(125%)60x x
⨯+-= C ．
6060
60(125%)x x
-=+
D ．
606060(125%)x x
-=+ 【答案】D
【分析】
设原计划每天修路x公里，则实际每天的工作效率为(125%)x
+公里，根据题意即可列出分式方程.
【详解】
解：设原计划每天修路x公里，则实际每天的工作效率为(125%)x
+公里，
依题意得：6060
60
(125%)
x x
-=
+
．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.
5．如果关于x的不等式（a+1）x>2的解集为x<-1，则a的值是（）．
A．a=3 B．a≤-3 C．a=-3 D．a>3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的解集得出关于a的方程，解方程即可．
【详解】
解：因为关于x的不等式（a+1）x>2的解集为x<-1，
所以a+1＜0，即a＜-1，且
2
1
a+
=-1，解得：a=-3．
经检验a=-3是原方程的根
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了不等式的解集，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．
6．甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（）
A．110100
2
x x
=
+
B．
110100
2
x x
=
+
C．
110100
2
x x
=
-
D．
110100
2
x x
=
-
【答案】A
【解析】
设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．
解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意得：
110
2 x+=
100
x
，
故选A．
7．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的吋间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间. 设规定时间为x天，则可列方程为（）.
A．900900
2
13
x x
⨯=
+-
B．
900900
2
13
x x
=⨯
+-
C．900900
2
13
x x
⨯=
-+
D．
900900
2
13
x x
=⨯
++
【答案】A
【解析】
【分析】
设规定时间为x天，得到慢马和快马所需要的时间，根据速度关系即可列出方程.【详解】
设规定时间为x天，则慢马的时间为（x+1）天，快马的时间是（x-3）天，
∵快马的速度是慢马的2倍，
∴900900
2
13 x x
⨯=
+-
，
故选：A.
【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程.
8．为保证某高速公路在2019年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用30天，如果甲乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务．若设规定的时间为x 天，由题意可以列出的方程是（）
A．
111
103020
+=
--+
x x x
B．
111
103020
+=
++-
x x x
C．
111
103020
-=
++-
x x x
D．
111
102030
+=
-+-
x x x
【答案】B
【解析】
【分析】
设规定的时间为x天．则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单独完成这项工程所需时间是（x+30）天．根据甲、乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务，
列方程为
111
103020
+=
++-
x x x
.
【详解】
设规定时间为x天，则
甲队单独一天完成这项工程的
1
10 +
x
，
乙队单独一天完成这项工程的
1
30
x+
，
甲、乙两队合作一天完成这项工程的
1
20 x-
.
则
111
103020
+=
++-
x x x
.
故选B.
【点睛】
此题考查分式方程，解题关键在于由实际问题抽象出分式方程.
9．中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗．汾阳月饼不仅汾阳人爱吃，而且风靡省城市场．省城某商场在中秋节来临之际购进A、B两种汾阳月饼共1500个，已知购进A种月饼和B种月饼的费用分别为3000元和2000元，且A种月饼的单价比B种月饼单价多1元．求A、B两种月饼的单价各是多少？设A种月饼单价为x元，根据题意，列方程正确的是( )
A．30002000
1500
1
x x
+=
+
B．
20003000
1500
1
x x
+=
+
C．30002000
1500
1
x x
+=
-
D．
20003000
1500
1
x x
+=
-
【答案】C
【解析】
【分析】
设A种月饼单价为x元，再分别表示出A种月饼和B种月饼的个数，根据“购进A、B两种汾阳月饼共1500个”，列出方程即可.
【详解】
设A种月饼单价为x元，则B种月饼单价为(x-1)元，
根据题意可列出方程30002000
1500
1
x x
+=
-
，
故选C.
【点睛】
本题考查分式方程的应用，读懂题意是解题关键.
10．已知A 、C 两地相距40千米，B 、C 两地相距50千米，甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发到C 地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C 地．设乙车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A ．
405012x x =- B ．
4050
12x x
=- C ．
405012
x x =+ D ．
4050
12x x
=+ 【答案】B 【解析】
试题解析：设乙车的速度为x 千米/小时，则甲车的速度为（x-12）千米/小时， 由题意得，4050
12x x
=-． 故选B ．
11．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得 A ．25301018060
(%)x x -=+ B ．2530
10180(%)x x -=+ C ．
302510
18060
(%)x x -=+
D ．
3025
10180(%)x x
-=+
【答案】A 【解析】
若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程． 解：设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，
()253010180%60
x x -=+ 故选A ．
12．若关于x 的方程
333x m m
x x
++--=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜92 B ．m ＜
92
且m≠32
C ．m ＞﹣9
4
D ．m ＞﹣9
4且m≠﹣34
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，
整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=
29
2
m
-+
，
已知关于x的方程
3
33
x m m
x x
+
+
--
=3的解为正数，
所以﹣2m+9＞0，解得m＜9
2
，
当x=3时，x=
29
2
m
-+
=3，解得：m=
3
2
，
所以m的取值范围是：m＜9
2
且m≠
3
2
．
故答案选B．
13．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为()
A．3036
10
1.5
x x
-=B．
3030
10
1.5
x x
-=
C．
3630
10
1.5x x
-=D．
3036
10
1.5
x x
+=
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数-改良后种植的亩数10
=亩，根据等量关系列出方程即可．
【详解】
设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，
根据题意列方程为：3036
10
1.5
x x
-=．
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
14．关于x的方程
2
1
11
ax
x x
-=
++
的解为非正数，且关于x的不等式组
22
5
3
3
a x
x
+
⎧
⎪
+
⎨
⎪⎩
„
…
无解，
那么满足条件的所有整数a的和是（）
A．﹣19 B．﹣15 C．﹣13 D．﹣9
【答案】C
【解析】
解：分式方程去分母得：ax﹣x﹣1=2，整理得：（a﹣1）x=3，由分式方程的解为非正数，
得到
3
1
a-
≤0，且
3
1
a-
≠﹣1，解得：a＜1且a≠﹣2．
不等式组整理得：
2
2
4
a
x
x
-
⎧
≤
⎪
⎨
⎪≥
⎩
，由不等式组无解，得到
2
2
a
-
＜4，解得：a＞﹣6，∴满足
题意a的范围为﹣6＜a＜1，且a≠﹣2，即整数a的值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，则满足条件的所有整数a的和是﹣13，故选C．
点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．若关于x的分式方程
3
2
22
x m m
x x
+
+=
--
有增根，则m的值为（）
A．1-B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程，满足即可．
【详解】
解：方程两边都乘x﹣2，
得x+m﹣3m＝2（x﹣2），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，2+m﹣3m＝0，
∴m＝1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，难度适中．确定增根可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定可能的增根；
②化分式方程为整式方程；
③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根．
16．《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x 天，则可列方程为（ ） A ．900900
213
x x ⨯=+- B ．
900900
213
x x =⨯+- C ．
900900213
x x ⨯=-+ D ．
900900
213x x =⨯-+ 【答案】A 【解析】 【分析】
设规定时间为x 天，可得到慢马和快马需要的时间，根据快马的速度是慢马的2倍的速度
关系即可列出方程． 【详解】
解：设规定时间为x 天，则慢马需要的时间为（x +1）天，快马的时间为（x -3）天， ∵快马的速度是慢马的2倍
∴
900900
213x x ⨯=+- 故选A ． 【点睛】
本题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程．
17．某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A ．
600480
40x x =- B ．
600480
40x x =+ C ．600480
40x x =+ D ．600480
40
x x =- 【答案】B 【解析】 【分析】
由题意分别表达出原来生产480台机器所需时间和现在生产600台机器所需时间，然后根据两者相等即可列出方程，再进行判断即可． 【详解】
解：设原计划每天生产x 台机器，根据题意得：
480600
40
x x =+.
故选B ． 【点睛】
读懂题意，用含x 的代数式表达出原来生产480台机器所需时间为480
x
天和现在生产600台机器所需时间为
600
40
x +天是解答本题的关键．
18．关于x 的分式方程
26
344
ax x x -+=---的解为正数，且关于x 的不等式组172
2x a x x >⎧⎪
⎨+≥-⎪⎩有解，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值之和为（ ）
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
【答案】C 【解析】 【分析】
根据分式方程的解为正数即可得出a ＜2且a≠1，根据不等式组有解，即可得出a ＞-5，找出-5＜a ＜2且a≠1中所有的整数，将其相加即可得出结论． 【详解】
解分式方程
26344
ax x x -+=---得：x=4
3a -，
因为分式方程的解为正数，
所以
43a -＞0且
4
3a -≠4， 解得：a ＜3且a≠2，
解不等式172
2x a x x >⎧⎪
⎨+≥-⎪⎩，得：x≤a+7，
∵不等式组有解， ∴a+7＞1， 解得：a ＞-6，
综上，-6＜a ＜3，且a≠2，
则满足上述要求的所有整数a 的绝对值的和为： |-5|+｜-4｜+｜-3｜+｜-2｜+｜-1｜+｜0｜+｜1｜=16， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组有解，找出-6＜a ＜3且a≠2是解题的关键．
19．初二18班为课外体育活动购买了实心球和跳绳．已知跳绳的单价比实心球的单价贵40元，购买实心球总花费为1610元，购买跳绳总花费为1650元，购买实心球的数量比跳绳的数量多8个，求实心球的单价．设实心球单价为x 元，所列方程正确的是（ ） A ．
16501610840x x -=+ B ．16501610840x x -=+ C ．16101650840
x x -=+ D ．16101650840x x -=+ 【答案】C
【解析】
【分析】
设实心球单价为x 元，则跳绳单价为()40x +元，根据“购买实心球的数量比跳绳的数量多
8个”即可得到方程．
【详解】 解：设实心球单价为x 元，则跳绳单价为()40x +元，根据题意得，
16101650840
x x -=+． 故选：C
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，解答本题的关键是审清题意，找到等量关系即可得解．
20．2019年7月30日阳朔至鹿寨高速公路建成通车，已知从阳朔至鹿寨国道的路程为150km ，现在高速路程缩短了20km ，若走高速的平均车速是走国道的2.5倍，所花时间比走国道少用1.5小时，设走国道的平均车速为/xkm h ，则根据题意可列方程为（ ）
A ．15020150 1.52.5x x --=
B ．15015020 1.52.5x x
--= C ．15015020 1.52.5x x --= D ．15020150 1.52.5x x
--= 【答案】C
【解析】
【分析】
根据“走高速用的时间比走国道少花1.5小时”列出方程即可得出答案.
【详解】 根据题意可得，走高速所用时间150202.5x -小时，走国道所用时间150x
小时 即15015020 1.52.5x x
--= 故答案选择C.
【点睛】
本题考查的是分式方程在实际生活中的应用，根据公式“路程=速度×时间”及其变形列出等式是解决本题的关键.。