2023年高考数学一轮复习点点练37二项式定理含解析理

点点练37二项式定理
一基础小题练透篇
1．已知(2x ＋1)n
的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则n ＝( ) A ．7B ．6C ．5D ．4
2．[2022·上海市月考]在⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 7
的二项展开式中，系数最大的是第________项( ) A ．3B ．4C ．5D ．6
3．若⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x n
展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A ．10B ．20C ．30D ．120
4．[2022·福建省莆田市月考]若(2x ＋1)8
＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2
＋…＋a 8(x ＋1)8
，则a 3＝( )
A ．56
B ．448
C ．－56
D ．－448
5．[2022·重庆市检测]若(x 2
＋1)(4x ＋1)8
＝a 0＋a 1(2x ＋1)＋a 2(2x ＋1)2
＋…＋a 10(2x ＋1)10
，则a 1＋a 2＋…a 10等于( )
A ．2
B ．1
C ．54
D ．－1
4
6．[2022·江西省联考]已知(x ＋1)4
＋(x －2)8
＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2
＋…＋a 8(x －1)8
，则a 3＝( )
A ．64
B ．48
C ．－48
D ．－64
7．[2022·上海市模拟]已知(3x －1x
)n
展开式各项系数之和为64，则展开式中第5项的
二项式系数是________．
8．[2022·福建省质检]若二项式(1x
＋2x )n
的展开式中二项式系数和为64，则该二项
展开式的常数项的值为________．
二能力小题提升篇
1.[2022·辽宁省凤城市月考]在(x －1)n
的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，则n ＝( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
2．[2022·江西省赣抚吉联考](2x －x －1)6
的展开式中含x －3
项的系数为( )
A ．－60
B ．－240
C ．60
D ．240
3．[2022·上海市一模]二项式⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 30
的展开式中，其中是有理项的项数共有( )
A ．4项
B ．7项
C ．5项
D ．6项
4．[2022·吉林省吉林市月考]若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x n
的展开式中所有项的系数和为164，则展
开式中二项式系数最大的项为( )
A ．－52x 3
B ．154
x 4C ．－20x 3D ．15x 4
5．[2022·广东省广州市调研]若(1－x )5
(1－2x )4
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 9x 9
，则a 1＋a 2
＋…＋a 9的值为________．
6．[2022·浙江嘉兴检测]已知⎝
⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n
展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和
小240，则n ＝________；展开式中的系数最大的项是________．
三高考小题重现篇
1.[2020·北京卷]在(x －2)5
的展开式中，x 2
的系数为( ) A ．－5B ．5C ．－10D ．10
2．[2019·全国卷Ⅲ](1＋2x 2
)(1＋x )4
的展开式中x 3
的系数为( ) A ．12B ．16C ．20D ．24
3．[2020·全国卷Ⅰ]⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y 2
x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3
的系数为( )
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
4．[2020·全国卷Ⅲ]⎝
⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 6
的展开式中常数项是______(用数字作答).
5．[2021·上海卷]若(x ＋a )5
，则x 2
的系数为80，则a ＝________．
6．[2021·浙江卷]已知多项式(x －1)3
＋(x ＋1)4
＝x 4
＋a 1x 3
＋a 2x 2
＋a 3x ＋a 4，则a 1＝________，a 2＋a 3＋a 4＝________．
四经典大题强化篇
1.已知(2x －1)5
＝a 0x 5
＋a 1x 4
＋a 2x 3
＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值： (1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|；
(3)a 1＋a 3＋a 5.
2．[2022·江苏省镇江市模拟]已知(x 2
＋2
x
)m
的展开式中，第4项的系数与倒数第4
项的系数之比为1
2
.
(1)求m 的值；
(2)求展开式中所有项的系数和与二项式系数和； (3)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．
点点练37 二项式定理
一 基础小题练透篇
1．答案：C
解析：因为（2x ＋1）n
的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，所以C 2
n ＝C 3
n ，由组合数的性质可得n ＝2＋3＝5.
2．答案：C
解析：在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7的展开式中，通项公式为T r ＋1＝C r 7 ·x 7－r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x r
＝（－1）r C r 7
x 7－2r ，故第r ＋1项的系数为（－1）r C r
7 ，当r ＝0，2，4，6时，系数为正，
因为C 0
7 <C 1
7 ＝C 6
7 <C 2
7 <C 4
7 ，
所以当r ＝4时，系数最大的项是第5项． 3．答案：B
解析：根据题意可得2n
＝64，解得n ＝6，
则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 6展开式的通项为C r 6 x 6－r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x r
＝C r 6 x 6－2r
，
令6－2r ＝0，得r ＝3，所以常数项为：C 36
x 6－3
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 3
＝C 36 ＝20.
4．答案：D
解析：由题意，（2x ＋1）8
＝[2（x ＋1）－1]8
＝a 0＋a 1（x ＋1）＋a 2（x ＋1）2
＋…＋a 8
（x ＋1）8
，
通项T r ＋1＝C r 8 [2（x ＋1）]8－r
×（－1）r ，0≤r ≤8，r ∈N *，令r ＝5，可得a 3＝C 58 ×23
×
（－1）5＝－448.
5．答案：D
解析：令x ＝0，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝（0＋1）×（0＋1）8
＝1，令x ＝－12
，则
a 0＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫14
＋1×（－2＋1）8＝54，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝1－54＝－14
.
6．答案：C
解析：由（x ＋1）4
＋（x －2）8
＝[（x －1）＋2]4
＋[（x －1）－1]8
＝a 0＋a 1（x －1）＋
a 2（x －1）2＋…＋a 8（x －1）8，得a 3·（x －1）3＝C 14 ·（x －1）3·2＋C 5
8 ·（x －1）3·（－
1）5
，
∴a 3＝8－C 5
8 ＝－48.故选C. 7．答案：15
解析：取x ＝1代入二项式得⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1x n
＝（3－1）n ＝2n
＝64，解得n ＝6，第5项的二项
式系数为C 4
6 ＝15.
8．答案：240
解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x n
展开式的二项式系数和为2n
＝64，解得n ＝6，
故展开式中第r ＋1项为：T r ＋1＝C r
6 ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1x 6－r （2x ）r ＝C r 6 2r x 3r
2－6
，r ＝0，1， (6)
令3r 2－6＝0，得r ＝4，所以展开式中的常数项为T 5＝C 46 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x 2()2x 4＝15×16＝240. 二 能力小题提升篇
1．答案：C
解析：因为在（x －1）n
的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，即C 5
n 最大，所以n ＝10.
2．答案：C
解析：二项式（2x －x －1）6
的展开式T r ＋1＝C r 6 ·（2x ）6－r ·（－x －1）r ＝（－1）r ·2
6
－r
·C r
6 ·x 6－3r
2，
当r ＝4，此时T 5＝60x －3，可得（2x －x －1）6展开式中x －3
项的系数为60. 3．答案：D
解析：二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 30的展开式中，通项公式为C r 30 ·（x ）30－r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫13x r ＝C r
30
·x 15
－5
6
r ，
0≤r ≤30，∴r ＝0，6，12，18，24，30时满足题意，共6项． 4．答案：A
解析：令x ＝1可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝164＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－126
，所以n ＝6，展开式有7项，所以二
项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 6展开式中二项式系数最大的为第4项T 4＝（－1）3C 36 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫126－3
x 3＝－5
2
x 3.
5．答案：－1
解析：由条件得：在等式左右两边取x ＝0，计算得a 0＝1，令x ＝1，计算得
a 0＋a 1＋…＋a 9＝0，于是a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1.
6．答案：4 108x 5
解析：⎝
⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n
展开式中，各二项式系数的和比各项系数的和小240，即2n
－（3＋1）
n
＝－240，化简得22n －2n －240＝0，解得2n ＝16或2n
＝－15（不合题意，舍去），所以n ＝
4.所以⎝
⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x 4
＝81x 8＋4×27x 5＋6×9x 2＋4×3x ＋1x 4，展开式中的系数最大的项是108x 5
.
三 高考小题重现篇
1．答案：C
解析：由二项式定理得（x －2）5
的展开式的通项T r ＋1＝C r 5 （x ）5－r （－2）r ＝C r
5 （－2）r
x 5－r
2，令5－r 2
＝2，得r ＝1，所以T 2＝C 15 （－2）x 2＝－10x 2，所以x 2
的系数为－10.
2．答案：A
解析：展开式中含x 3
的项可以由“1与x 3
”和“2x 2
与x ”的乘积组成，则x 3
的系数为C 3
4 ＋2C 1
4 ＝4＋8＝12.
3．答案：C
解析：要求⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y 2
x （x ＋y ）5的展开式中x 3y 3的系数，只要分别求出（x ＋y ）5
的展开式
中x 2y 3
和x 4
y 的系数再相加即可，由二项式定理可得（x ＋y ）5
的展开式中x 2y 3
的系数为C 3
5 ＝
10，x 4
y 的系数为C 15
＝5，故⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y 2
x （x ＋y ）5的展开式中x 3y 3
的系数为10＋5＝15.
4．答案：240
解析：展开式的通项为T r ＋1＝C r
6 （x 2
）6－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x r
＝2r C r 6 x 12－3r
，令12－3r ＝0，解得r ＝4，
故常数项为24C 4
6 ＝240.
5．答案：2
解析：（x ＋a ）5
的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5 x 5－r a r
，令5－r ＝2，得r ＝3，则C 3
5 a 3＝80，
解得a ＝2.
6．答案：5 10
解析：（x －1）3
＝x 3
－3x 2
＋3x －1， （x ＋1）4
＝x 4
＋4x 3
＋6x 2
＋4x ＋1， 所以a 1＝1＋4＝5，a 2＝－3＋6＝3，
a 3＝3＋4＝7，a 4＝－1＋1＝0，
所以a 2＋a 3＋a 4＝10.
四 经典大题强化篇
1．解析：（1）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1. （2）令x ＝－1，得－35
＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5. 由（2x －1）5
的通项T r ＋1＝C r 5 （－1）r ·25－r
·x
5－r
，
知a 1，a 3，a 5为负值，
所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35
＝243. （3）由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， －a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35
， 得2（a 1＋a 3＋a 5）＝1－35， 所以a 1＋a 3＋a 5＝1－35
2
＝－121.
2．解析：（1）展开式的通项为T r ＋1＝C r
m
·（x 2）m －r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －1
2r
＝C r m ·2r ·x 2m －
5r 2， ∴展开式中第4项的系数为C 3m ·23
，倒数第4项的系数为C m －3m ·2
m －3
，
∴C 3m ·23
C m －3m ·2
m －3
＝12，即12m －6＝12，∴m ＝7. （2）令x ＝1可得展开式中所有项的系数和为37
＝2187，展开式中所有项的二项式系数和为27
＝128.
（3）展开式共有8项，由（1）可得当2m －5r
2为整数，即r ＝0，2，4，6时为有理项，
共4项，
∴由插空法可得有理项不相邻的概率为A 4
4 A 4
5 A 88 ＝1
14.。