浙江大学自动控制理论课件

第八章 状态空间分析法
20
自动控制理论
例8-4
已知
T s
Y s U s
s3
6 6s2 11s
6
，求对角标准形实现。
解：极点为
1 1,2 2, 3 3
相应极点的留数为
C1
lim s
s1
1T s
3
C2
lim s
s2
2Ts
6
C3
lims
s3
3T s
3
于是得：
-1 0 0 1 x 0 - 2 0 x 1u
x1 y a1 y1 a2 y1 1u 2u x2 a1x3 1u
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第八章 状态空间分析法
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自动控制理论
对最后一式求导, 并在等号两边分别加上 a3 y1 3u即
a3 y1 3u x1 y a1y a2 y1 1u 2u a3 y1 3u 0
式中Ci
s
Ci
1
!
lim
s1
d ri dsri
s 1r Ts,i 1,2,,r
Ck
lims
sk1
k
T
s
,
k
r
1, r
2,n
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第八章 状态空间分析法
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自动控制理论 令
X
1
s
s
1 1
r
U
s
X
2
s
s
1 1
r 1
U
s
X r-1 s
s
1 1
2
U
s
Xr
s
s
1 1
U
s
Xk
0 0
1 0
an
0 0
an1
0 0 0 0
0 1 a1
x1
x2
x3
x n
0
0 0
bn
u
y x1 1 00x
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第八章 状态空间分析法
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自动控制理论
➢紧邻矩阵A对角线上方的那个元素都1，最后一组元素由原微分方程系 数的负值构成，其余元素均为零 ➢矩阵B除最后一个元素不为零外，其余元素均为零 ➢由这种形式的矩阵A和B构成的状态方程，称为能控标准形
状态空间表达式
状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量间的数学表达式称为状态方程
x1 t a11x1 t a12 x2 t a1n xn t b1ut x 2 t a21x1 t a22 x2 t a2n xn t b2ut
xn t an1x1 t an2 x2 t ann xn t bnut
例8-3 已知
，试写出能控标准形
的状态空间表达式。
x1 0 1 0 x1 0
x 2
0
0
0
x2
0u
x3 2 - 9 - 8 x3 5
y x1 1 0 0x
图8-5
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第八章 状态空间分析法
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自动控制理论
2、传递函数有零点
图8-6
令
Y1 s U s
Y1 s X s
T11 s T12 s T1r s
Ts
T21 s
T22
s
T2r
s
Tm1
s
Tm2
s
Tmr
s mxr
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第八章 状态空间分析法
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自动控制理论
例 8-2已知
0 1 0 0 x 0 0 1x 0u,
0 - 3 - 4 1
y 2 1 0x
s 1 0 1
解：s1 A 1 0 s
s
s
1 k
U s, k
r
1, r
2,n
由上述方程组得
X1s
s
1 1
X 2 s
X2 s
s
1 1
X 3 s
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第八章 状态空间分析法
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自动控制理论
X -1 s
s
1 1
X
s
X
s
s
1 1
U s
Xk
s
s
1 k
U s, k
r
1, r
2,n
y cr x1 cr1 x2 c1 xr cr1 xr1 cr2 xr2 cn xn du
0 0 - 3 1
y 3 - 6 3x
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第八章 状态空间分析法
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自动控制理论
四、得当标准形的实现
设λ1是Ts的γ重极点,其余为相应实极点, 则得
T
s
Y s U s
i1
Ci
s k
d
则Ys
CiU s
n
CkUs dUs
i1 s 1 i k 1 s k
x
1
n1
a1
d0u nx
0 0 0 b n
u
n1
x
n2 x
1 x n1
d0
y
n x1 n1x n2 x2 1xn d0 y
y nn1 1 x du
二、能控标准形实现 设某三阶系统的传递函数为：
Y s U s
Y1 U
s s
Y2 s U s
s3
βs 2 β2s β3 a1s 2 a2s a3
s2 2s 3
a1s 2 a2s a3
U s
s3
a1s 2
1
a2s
a3
y10s2 y10
a1 y10 1u0s y0 a1 y10 a2 y10 1u0 2u0
上式等号右方第一项为零状态响应,第二项为零输入响应
令x3 y1
x2 y1 a1 y1 1u x3 a1x3 1u
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
b11 b12 b1r
;B
b21
b22
b2r
an1
an2
ann
nn
bn1
bn2
bnr
nr
c11 c12 c1n
C
c21
c22
c2n
cm1
cm2
cmn
mn
d11 d12 d1r
D
d 21
式写作
n
y Ci xi du
i 1
1
2
x
1
1
x u
1
n 1
y c1 c2 cn x du
特点：
图8-9
1）矩阵A对角线上元素为传递函数的极点，其余元素均为零，各状
态变量间没有耦合
2）矩阵B是一列向量，其元素均为1
3）矩阵C是一引向量，其元素为T（s）相应极点的留数
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对应的微分方程
yn a2 yn2 an1 y an bnu
令 x2 y xn y n1
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第八章 状态空间分析法
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自动控制理论
则得： x1 x2 x2 x3
xn1 xn xn an x1 an1 x2 a1 xn bnu
x1
x2
xn
0
d 22
d 2r
d m1
dm2
d mr
图8-3
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第八章 状态空间分析法
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自动控制理论
例解：8-1试iR写出L图dd8ti-4所1c示电id路t 的u状c 态方程式
令x1
uc
1 c
idt; x2 i;则得
x1
1 c
x2 ; x2
1 L
x1
R L
x2
1 L
ur
x1 x 2
普通高等教育“九五”部级重点教 材
自动控制理论
第八章
状态空间分析法
2021/8/20
作者： 浙江大学 邹伯敏 教授
第八章 状态空间分析法
1
自动控制理论
用传递函数表示系统数学模型的局限性
1）只描述系统输入与输出的关系,不涉及系统内部的状态变量 2）无法表示时变系统，非线性系统和非零初始条件下的线性定 常系统 3）不可能获得某种意义下的最优性能
于是得： x1 a3 x3 3u x2 x1 a2 x3 2u x1 x2 a1x3 1u y y1 y2 x3 du
x1 0 0 - a 3 x1 3
x2
1
0
- a2
x2
2
u
x3 0 1 - a1 x3 1
y 0 0 1x du
具有这种形式的动态方程叫能观标准化。
8
自动控制理论
第二节 传递函数与动态方程间的关系
由动态方程求系统的传递函数
设： xt Axt but yt Cxt dut SXs x0 AX s bus Y s CX s
考虑到x0 0,于是得
T
s
Y V
s s
CsI
A
1
b
d
对于多输入多输出系统：
Ts Cs1 A1B D
其中
写成向量矩阵形式
xt Axt but 式中x x1x2 xn T , x x1x2 xn T
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第八章 状态空间分析法
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自动控制理论
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
,
an1
an2
ann
b1
b
b2
bn
➢系统的输出量与状态变量、输入量间的数学表达式称为输出 方程、单输出系统输出方程
➢用状态变量描述系统的特点
1）它是输入—状态—输出间的时域描述即：
uxy
2）输入引起系统内部状态的变量是一个动态过程——向量微分方程， 由状态和输入确定输出的变化是一个量的变换过程——代数方程；
3）系统的状态变量选择不是唯一的,一个n阶系统,只能有n个状态变量, 不能多也不能少
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第八章 状态空间分析法
Y s
U s
n i1
Ci s λi
d,d
b0
n
Ys
Ci U s dus
i1 s λi
令
Xi s
U s
s i
,i
1,2,, n
则
sXi s i xi s U s
n
Y s Ci xi s dus i 1
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自动控制理论
取拉氏反变换
x i i xi u
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自动控制理论
对于一个n阶系统：
T s
Y s Us
1s n1
2 s n2
图8-8
n1s n
sn a1sn1 a2sn2 an1s an
d
0 0 0
1 0 0
x
0
1 00
0 0
0
01
- an - a n-1
- a2 a1
x
n n1 2 1
u
y 0 00 1x du
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第八章 状态空间分析法
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自动控制理论
三、对角标准形的实现
设
Ts
其中
Y s U s
b0 s n
M ssn
b1s n1 bn1s bn
a1ssn 1san21s asn
nMN则ss
0
1 L
1 c R L
x1 x2
0
1
u
r
L
y
1 c
0
x1 x2
图8-4
➢状态变量的选择不是唯一的。不同状态变量的选择所得到的动
态方程也是不同的，但它们都描述同一个系统。
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第八章 状态空间分析法
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自动控制理论
➢选择一组状态变量的条件
1）在t 时刻的x(t)是由x(t0)和t≥t0时的u(t)唯一确定； 2）在y时刻的y(t)是由该时刻的x(t)和u(t)唯一确定。
1
S 2
S(S 1)(S 2)
0 3 s 4
由传递函数列写动态方程
求T(s)。
yn a1 y n1 a2 y n2 an1 y an y b0u n b1u n1 bn1u bnu
T s
Y s Us
sn
b0 s n b1sn1 bn1s bn a1sn1 a2 sn2 an1s
用状态空间表达式描述系统的主要优点
1）数学模型简单，易于计算 2）利用状态反馈能使系统的极点任意配置
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第八章 状态空间分析法
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自动控制理论
第一节 状态变量描述
状态、状态变量
dvt 1 Ft
dt m
dxt vt
dt
vt
vt0
1 m
t
t0
F τ
dτ
图8-1
xt
xt0
t
t0
vt0
an
d
β1sn1 β2 sn2 βn1s s n a1sn1 a2 sn2 an1s
βn an
,式中d b0
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自动控制理论
一、能控标准形
1、传递函数无零点
Y s U s
sn
a1s n1
bn a2sn2
an1s an
d
图8-7
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第八章 状态空间分析法
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自动控制理论
其中Y2 s dUs 直接传递部分
Y1 s U s
s3
βs 2 β2s β3 a1s 2 a2s
a3
y a1y1 a2 y1 a3 y1 u 2u 3u
在非零初始条件下, 对上式取拉氏变换后得
Y1 s
s3
1 m
t
dτ
t0
t
t0
F tdt
X(t0)和v(t0)——t=t0时的状态
如果已知外力F(t)和X(t0)、v(t0)——就可计算出t>t0 任何时候的X(t0)和v(t0)。
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第八章 状态空间分析法
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自动控制理论
令x1t, x2 t,, xn t为系统的一组状态变量 xt x1t, x2 t,, xn tT 为相应的状态向量
X s U s
,Ys
y1s
dUs
其中 X U
s s
s n
a1s n1
1 a2 s n2
an1s
an
Y1 s X s
β1s n1 β2 s n2 βn1s βn
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第八章 状态空间分析法
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自动控制理论
0 1 0 0 0
x
y
0
0
0 an a
y1
0
0
0
0
yt c1x1t c2 x2 t cn xn t dut
即：y Cxt dut,
c 1 n
➢状态方程与输出方程统称为状态空间表达式或动态方程。
对于多输入、多输出系统：
xt Axt But yt Cxt Dut
图8-2
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