2020-2021学年新教材高中数学 第9章 统计 9.1.1 简单随机抽样学案(含解析)新人教

统计
9.1 随机抽样9.1.1 简单随机抽样
学
习目标核心素养
1.通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解
决问题的过程．(重点)
2.掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法．(重点、难点) 通过对简单随机抽样的概念和应用的学习，培养数据分析素养.
在我国，食品安全问题越来越受到人们的关注，党中央、国务院和各级政府部门也高度重视，从制度建设和管理上都做了大量的、卓有成效的工作，取得了良好的效果．问题：某报告称，食品质量检测人员对某品牌牛奶的抽检合格率为99.9%，你知道这一数据是怎么得到的吗？
1．全面调查和抽样调查
调查方式普查抽样调查
定义对每一个调查对象都进行调查的方法，
称为全面调查，又称普查
根据一定目的，从总体中抽取一部分个
体进行调查，并以此为依据对总体的情
况作出估计和推断的调查方法，称为抽
样调查
相关概念 总体：在一个调查中，我们把调查对象
的全体称为总体.
个体：组成总体的每一个调查对象称为
个体 样本：我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本. 样本量：样本中包含的个体数称为样本量
2.简单随机抽样的概念 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N (N 为正整数)个个体，从中逐个抽取n (1≤n ＜N )个个体作为样本 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各
个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽
样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽
样
简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 3.抽签法
先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌．最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数．
4．随机数法
(1)定义：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生与总体中个体数量相等的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数．
(2)产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数；②用信息技术生成随机数．
5．总体均值和样本均值
(1)总体均值：一般地，总体中有N 个个体，它们的变量值分别为Y 1，Y 2，…，Y N ，则Y ＝Y 1＋Y 2＋…＋Y N N ＝1N ∑i ＝1
N
Y i 为总体均值，又称总体平均数． (2)总体均值加权平均数的形式：如果总体的N 个变量值中，不同的值共有k (k ≤N )个，不妨记为Y 1，Y 2，…，Y k ，其中Y i 出现的频数f i (i ＝1,2，…，k )，则总体均值还可以写成加
权平均数的形式Y ＝1N ∑i ＝1
k
f i Y i .
(3)如果从总体中抽取一个容量为n 的样本，它们的变量值分别为y 1，y 2，…，y n ，则称y －＝y 1＋y 2
＋…＋y n n ＝1n i ＝1
n
y i 为样本均值，又称样本平均数． 思考1：采用抽签法抽取样本时，为什么将编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌？
[提示] 为了使每个号签被抽取的可能性相等，保证抽样的公平性．
思考2：抽签法有什么优点和缺点？
[提示] (1)优点：简单易行，当总体的个体数不多时，使总体处于“搅拌”均匀的状态比较容易，这时，每个个体都有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性．
(2)缺点：仅适用于个体数较少的总体，当总体容量较大时，费时费力又不方便，况且，如果号签搅拌的不均匀，可能导致抽样不公平．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)抽签法和随机数法都适用于总体容量和样本容量较小时的抽样． ( )
(2)利用随机数法抽取样本时，选定的初始数是任意的，但读数的方向只能是从左向右读．
( )
(3)利用随机数法抽取样本时，若总体容量为100，则给每个个体分别编号为1,2,3， (100)
( )
[提示] (1)正确．
(2)错误．读数的方向也是任意的．
(3)错误．应编号为00,01,02， (99)
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．使用简单随机抽样从 1 000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是
( )
A ．抽签法
B ．随机数法
C ．随机抽样法
D ．以上都不对 B [由于总体相对较大，样本容量较小，故采用随机数法较为合适．]
3．用抽签法抽取的一个容量为5的样本，它们的变量值分别为2,4,5,7,9，则该样本的平均数为( )
A ．4.5
B ．4.8
C ．5.4
D ．6
C [y ＝2＋4＋5＋7＋95
＝5.4.]
简单随机抽样的判断【例1】下列5个抽样中，简单随机抽样的个数是( )
①一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件；
②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
③某班从50名同学中，选出5名数学成绩最优秀的同学代表本班参加数学竞赛；
④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．
A．0 B．1
C．2 D．3
B[根据简单随机抽样的特点逐个判断．①不是简单随机抽样．因为一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件它不是“逐个”抽取．②不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．③不是简单随机抽样．因为5名同学是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．④是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样．综上，只有④是简单随机抽样．]
简单随机抽样必须具备的特点
1被抽取样本的总体中的个体数N是有限的；
2抽取的样本是从总体中逐个抽取的；
3简单随机抽样是一种等可能的抽样.,如果三个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样.
[跟进训练]
1．为了进一步严厉打击交通违法，交警队在某一路口随机抽查司机是否酒驾，这种抽查是( )
A．简单随机抽样B．抽签法
C．随机数法D．以上都不对
D[由于不知道总体的情况(包括总体个数)，因此不属于简单随机抽样．]
抽签法的应用【例2】从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴．
[解] 第一步，将20架钢琴编号，号码是01,02， (20)
第二步，将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．
第三步，将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀．
第四步，从盒中不放回地逐个抽取5个号签，使与号签上编号相同的钢琴进入样本．
1．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．
2．应用抽签法时应注意的问题：
(1)编号时，如果已有编号可不必重新编号；
(2)号签要求大小、形状完全相同；
(3)号签要均匀搅拌；
(4)根据实际需要采用有放回或无放回抽取．
[跟进训练]
2．为迎接2022年北京冬奥会，奥委会现从报名的某高校30名志愿者中选取6人组成奥运志愿小组，请用抽签法设计抽样方案．
[解] (1)将30名志愿者编号，号码分别是01,02， (30)
(2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．
(3)将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀．
(4)从盒中不放回地逐个抽取6个号签，使与号签上编号相同的志愿者进入样本．
随机数法及其综合应用[探究问题]
1．某工厂有2 000名工人，从中选取20人参加职工代表大会，采用简单随机抽样方法进行抽样，是用抽签法还是随机数法？为什么？
[提示] 采用随机数法，因为工人人数较多，制作号签比较麻烦，所以采用随机数法．2．某工厂的质检人员采用随机数法对生产的100件产品进行检查，若抽取10件进行检查，应如何对100件产品编号？
[提示] 可对这100件产品编号为：001,002,003， (100)
【例3】某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验．
(1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？
(2)如果用随机试验生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号．
162,277,943,949,545,354, 821,737, 932,354,873,520,964,384,
263,491,648,642,175,331,572,455,068,877,047,447,672,172,065,025,834,216,337,663,
013,785,916,955,567,199,810,507,175,128,673,580,667.
(3)质监局对该公司生产的袋装牛奶检验的质量指标有两个：一是每袋牛奶的质量满足500±5g，二是10袋质量的平均数≥500g，同时满足这两个指标，才认为公司生产的牛奶为合格，否则为不合格．经过检测得到10袋袋装牛奶的质量(单位：g)为：
502,500,499,497,503,499,501,500,498,499.
计算这个样本的平均数，并按照以上标准判断牛奶质量是否合格．
[解] (1)第一步，将500袋牛奶编号为001,002， (500)
第二步，用随机数工具产生1～500范围内的随机数．
第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的袋装牛奶进入样本．
第四步，重复上述过程，直到产生不同的编号等于样本所需要的数量．
(2)应抽取的袋装牛奶的编号为：
162,277,354,384,263,491,175,331,455,068. (3)y ＝502＋500＋499＋497＋503＋499＋501＋500＋498＋49910
＝499.8＜500，所以该公司的牛奶质量不合格．
1．该公司对质监部门的这种检验方法并不认可，公司自己质检部门抽取了100袋牛奶按照本例(3)检验标准，统计得到这100袋袋装牛奶的质量都满足500±5g，平均数为500.4g ，你认为质监局和公司的检验结果哪一个更可靠？为什么？
[解] 该公司的质检部门的检验结果更可靠．因为质监局抽取的样本较少，不能很好地反映总体，该公司的质检部门抽取的样本量较大，一般来说，样本量大的会好于样本量小的．尤其是样本量不大时，增加样本量可以较好地提高估计的效果．
2．为进一步加强公司生产牛奶的质量，规定袋装牛奶的质量变量值为
Y i ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，质量不低于500 g 0，质量低于500 g ，公司质监部门又抽取了一个容量为50的样本，其质量变
量值如下：
1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1
据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500 g 的比例．
[解] 由样本观测数据，计算可得样本平均数为y ＝0.56，据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500 g 的比例约为0.56.
随机数法的注意点
1当总体容量较大，样本容量不大时，可用随机数法抽取样本.
2用随机数法抽取样本，为了方便，在编号时需统一编号的位数.
3掌握利用信息技术产生随机数的方法和规则.
一、知识必备
1．简单随机抽样的相关概念以及抽签法和随机数法的抽样步骤．
2．当总体容量和样本容量都不大时，用抽签法抽样；当总体容量较大，样本容量不大时，用随机数法抽样．
二、方法必备
1．要判断所给的抽样方法是不是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的三个特点：总体有限、逐个抽取、等可能抽取．
2．一个抽样试验能否用抽签法，关键看总体和样本的容量是否较少．
1．(多选题)下面抽样方法不属于简单随机抽样的是( )
A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B．某饮料公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查
C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动
D．从10台手机中逐个不放回地随机抽取2台进行质量检验(假设10台手机已编号，对编号进行随机抽取)
ABC[选项A中，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；选项B中，一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的要求，故错误；选项C中，50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误；选项D符合简单随机抽样的要求．]
2．抽签法确保样本代表性的关键是( )
A．制签B．搅拌均匀
C．逐一抽取D．抽取不放回
B[若样本具有很好的代表性，则每一个个体被抽取的机会相等，故需要对号签搅拌均匀．]
3．“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01,02，…，33.一位彩民用随机数法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第5
列和第6列的数字开始，从左向右读数，则依次选出来的第5个红色球的编号为( )
7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A ．01
B ．02
C ．14
D ．19
A [从随机数表中第1行第5列和第6列的数字开始，从左向右读数，依次是65(舍去)，72(舍去)，08,02,63(舍去)，14,02(舍去)，14(舍去)，43(舍去)，19,97(舍去)，14(舍去)，01,98(舍去)，32；选出来的这6个数为：08,02,14,19,01,32，第5个红色球的编号为01.]
4．在总体为N 的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N 的值为________．
120 [据题意30N
＝0.25，故N ＝120.] 5．某展览馆在22天中(全年中随机抽取的数据)每天进馆参观的人数如下：180,158,170,185,189,180,184,185,140,179,192,185,190,
165,182,170,190,183,175,180,185,147可估计全年该展览馆平均每天参观的人数约为________．
177 [根据题意，可用样本均值近似估计总体均值y －＝122
×(180＋158＋170＋185＋189＋180＋184＋185＋140＋179＋192＋185＋190＋165＋182＋170＋190＋183＋175＋180＋185＋147)＝177.]。