专题1.5 分式与分式方程章末重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)

专题1.5 分式与分式方程章末重难点题型
【北师大版】
【考点1 分式及最简分式的概念】 【方法点拨】1.分式：形如
A
B
，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.
2. 最简分式:若分式的分子和分母没有公因式，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简 分式.
【例1】（2019秋•泰安期中）下列各式
2a b -，3x x +，5y π+，a b a b +-，1()x y m -，xy
x
中，分式的个数共有( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【分析】一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式． 【答案】解：由题可得，是分式的有：，
，（x ﹣y ），
，共4个，
故选：C ．
【点睛】本题主要考查了分式的定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．
【变式1-1】（2018春•沈北校级期中）代数式2232
212124513,(2),,,,2,,,
3123213x x x x a x x a a x m t x x b x x a
π-+++-++---
中分式的个数为( ) A ．6个
B ．5个
C ．1个
D ．3个
【分析】根据分式的定义，可得答案． 【答案】解：代数式、
、
、
、
、
的分母中含有字母，属于分式，
共有6个． 故选：A ．
【点睛】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式，注意π是常数不是字母．
【变式1-2】（2019春•温江区期末）下列分式2
410xy
x ，22a b a b ++，22x y x y -+，221a a a +-最简分式的个数有( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【分析】直接利用分式的基本性质化简得出答案． 【答案】解：
＝
，
，
＝x ﹣y ，
＝
＝
，
故只有是最简分式．
故选：D ．
【点睛】此题主要考查了最简分式，正确化简分式是解题关键．
【变式1-3】（2018秋•任城区期中）下列分式23bc
ab c
-，2242x x x --，22
22x xy xy y +-，211m m ++中，最简分式有( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【分析】根据最简分式的定义，逐个判断即可得结论． 【答案】解：∵
＝
，故A 不是最简分式；
＝＝，故B 不是最简分式；
＝，故C 是最简分式；
分式的分子分母没有公因式，故D 最是简分式．
故选：B ．
【点睛】本题考查了最简分式的判断，掌握最简分式的定义是解决本题的关键．
【考点2 分式有意义条件】
【方法点拨】分式有意义的条件：分母不等于0.
【例2】（2019秋•夏津县校级月考）x取何值时，下列分式有意义：
（1）
2 2
3 x
x
+
-
（2）6(3) ||12 x
x
+
-
（3）
26 1
x x +
+
．
【分析】（1）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；
（2）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；
（3）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．
【答案】解：（1）要使有意义，
得2x﹣3≠0．
解得x≠，
当x≠时，有意义；
（2）要使有意义，得
|x|﹣12≠0．
解得x≠±12，
当x≠±12时，有意义；
（3）要使有意义，得
x2+1≠0．
x为任意实数，有意义．
【点睛】本题考查了分式有意义，分式的分母不为零分式有意义．【变式2-1】下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义．
（1）
2
1
m
m
+
-
；（2）
1
23
x
x
+
-
；（3）
21
1
x
x
-
-
；（4）
29
3
x
x
-
-
．
【分析】（1）利用分式有意义的条件是分母不等于零，进而求出即可；（2）利用分式有意义的条件是分母不等于零，进而求出即可；
（3）利用分式有意义的条件是分母不等于零，进而求出即可；
（4）利用分式有意义的条件是分母不等于零，进而求出即可．
【答案】解：（1）m﹣1≠0时，分式有意义，
故m≠1；
（2）2﹣3x≠0时，分式有意义，
故x≠；
（3）x﹣1≠0时，分式有意义，
故x≠1；
（4）x﹣3≠0时，分式有意义，
故x≠3．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不等于零求出是解题关键．
【变式2-2】（2019秋•夏津县校级月考）若分式
13
24
x x
x x
++
÷
++
有意义，求x的取值范围．
【分析】先把除法化为乘法，再根据分式有意义的条件即可得到结果．
【答案】解：∵，
∴x+2≠0且x+4≠0且x+3≠0
解得x≠﹣2、﹣3、﹣4．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是注意分式所有的分母部分均不能为0，分式才有意义．
【变式2-3】（2018秋•宜都市期末）若式子21
31
x
y
+
-
无意义，求代数式2
()()
y x y x x
+-+的值．
【分析】根据式子无意义可确定y的值，再化简代数式（y+x）（y﹣x）+x2，最后代入求值．【答案】解：∵式子无意义，
∴3y﹣1＝0，
解得y＝，
原式＝y2﹣x2+x2
＝y2
＝（）2
＝．
【点睛】本题考查了分式无意义的条件和多项式的化简求值．当分母等于0时，分式无意义． 【考点3 分式值为0的条件】
【方法点拨】满足分式的值为0的条件：分子为0分母不为0.
【例3】（2018秋•大荔县期末）如果分式21
22
x x -+的值为0，求x 的值是多少？
【分析】根据分式值．为0的条件：分子为0，分母不为0，求出x 的值即可 【答案】解：依题意得：x 2﹣1＝0且2x +2≠0， 解得x ＝1， 即分式
的值为0时，x 的值是1．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及分式值为零的条件，做题时注意分母不为0的条件．
【变式3-1】（2019秋•东莞市校级期中）当a 取何值时，分式
3||
62a a
-+的值为零． 【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以答案本题． 【答案】解：由分式的值为零，得
3﹣|a |＝0，且6+2a ≠0． 解得a ＝3， 当a ＝3时，分式
的值为零．
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
【变式3-2】（2019秋•北湖区校级月考）当x 取何值时，分式2(3)(2)
9
x x x +--（1）有意义；（2）分式的值为0．
【分析】（1）分式有意义，分母不为零；
（2）分式的值为零时，分子为零，但是分母不为零． 【答案】解：（1）根据题意，得 x 2﹣9≠0， 解得，x ≠±3， 即当x ≠±3时，分式有意义；
（2）根据题意，得（x +3）（x ﹣2）＝0，且x 2﹣9≠0， 解得，x ＝2， 即当x ＝2时，分式
的值为零．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件、分式有意义的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 【变式3-3】对于分式
23x a b
a b x
++-+，当1x =时，分式的值为零，当2x =-时，分式无意义，试求a 、b 的值．
【分析】根据分式的值为零的条件为0的条件可得1+a +b ＝0且a ﹣2b +3≠0，根据分式无意义的条件可得a ﹣2b ﹣6＝0，两者联立可求a 、b 的值． 【答案】解：∵分式，当x ＝1时，分式的值为零，
∴1+a +b ＝0且a ﹣2b +3≠0， 当x ＝﹣2时，分式无意义， ∴a ﹣2b ﹣6＝0， 联立可得
，
解得．
故a 的值是、b 的值是﹣．
【点睛】此题主要考查了分式无意义的条件和分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 【考点4 分式的基本性质】
【方法点拨】分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值 不变.
【例4】（2019春•稷山县期末）若A ，B 为不等于0的整式，则下列各式成立的是( ) A ．
(A A E
E B B E
=g g 为整式） B ．
(A A E E B B E
+=+为整式）
C ．2
2(1)(1)A A x B B x +=+g g
D ．22(1)
(1)
A A x
B B x +=+g g
【分析】分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【答案】解：A ．E 可能为0，故不成立；
B ．不符合分式性质，故错误；
C ．（x +1）2≥0，故错误；
D ．x 2+1＞0，故正确． 故选：D ．
【点睛】本题考查了分式的性质，正确理解分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键，
【变式4-1】（2019秋•龙口市期中）下列各式从左到右变形正确的是( ) A ．
0.220.22a b a b
a b a b
++=
++
B ．231843214332
x y
x y x y x y ++=--
C ．n n a
m m a -=
- D ．
22
1
a b a b a b
+=++ 【分析】根据分式的基本性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可． 【答案】解：A ．分式的分子和分母同时乘以10，应得
，即A 不正确，
B .，故选项B 正确，
C ．分式的分子和分母同时减去一个数，与原分式不相等，即C 项不合题意，
D .
不能化简，故选项D 不正确．
故选：B ．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，正确掌握分式的基本性质是解题的关键． 【变式4-2】（2019秋•大名县期中）下列各式中，正确的是( ) A ．3355x x
y y
--
=
- B ．a b a b
c c
+-+-
=
C ．
a b a b
c c
---=
D ．a a
b a a b
-
=
-- 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【答案】解：（A ）原式＝，故选项A 错误；
（B ）原式＝
，故选项B 错误；
（C ）原式＝，故选项C 错误；
故选：D ．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 【变式4-3】（2018秋•奉贤区期末）若分式
22
xy
x y +中的x ，y 的值同时扩大到原来的2倍，则此分式的值(
)
A ．扩大到原来的4倍
B ．扩大到原来的2倍
C ．不变
D ．缩小到原来的
12
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【答案】解：
＝，
故选：C ．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 【考点5 利用分数的基本性质求值】 【例5】若a 、b 都是正实数，且
112
a b a b
-=
+，求22ab a b -的值． 【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后得到一个关系式，代入所求式子中计算即可求出值． 【答案】解：∵﹣＝
＝
，
∴﹣（a ﹣b ）（a +b ）＝2ab ，即a 2﹣b 2＝﹣2ab ， 则
＝
＝﹣．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
【变式5-1】（2019春•禅城区校级月考）已知：
0234
x y z
==≠，求代数式
2x y z x y z +-++的值． 【分析】设t ＝，则x 、y 、z 可以用同一个字母来表示，然后将其代入代数式
，然
后将代数式化简即可． 【答案】解：设t ＝，则
x ＝2t ① y ＝3t ② z ＝4t ③
将①②③代入代数式
，得 ＝
＝， 所以，代数式
的值是．
【点睛】本题体现了转化思想，将未知数x 、y 、z 转化为含有相同字母的量，然后代入所求代数式，只要将代数式化简即可．
【变式5-2】（2019秋•高唐县期末）已知113a b
-=，求分式
232a ab b
a a
b b +---的值．（提示：分式的分子与分母同除以)ab ．
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子分母都除以ab ，分式的值不变，再把换成3计算即可．
【答案】解：分式的分子分母都除以ab ，得
＝＝，
∵＝3， ∴
＝﹣3，
所以原式＝
＝．
【点睛】本题利用分式的基本性质，分子分母都除以ab ，巧妙运用已知条件是解本题的关键，也是解本题的突破口．
【变式5-3】已知实数a 满足2310a a -+=，求下列各式的值： （1）21
()a a
+的值；
（2）22
1a a +
；
（3）44
1
a a +
的值； （4）225121
a a a a ++-+的值．
【分析】（1）已知等式两边除以a ，求出a +的值，即可确定出原式的值； （2）原式利用完全平方公式变形，把a +的值代入计算即可求出值； （3）原式利用完全平方公式变形，把（2）结论代入计算即可求出值； （4）把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【答案】解：（1）已知等式变形得：a +＝3， 则原式＝9；
（2）原式＝（a +）2﹣2＝9﹣2＝7； （3）原式＝（a 2+
）2﹣2＝49﹣2＝47；
（4）由a 2﹣3a +1＝0，得到a 2＝3a ﹣1， 则原式＝
＝8．
【点睛】此题考查了分式方程混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【考点6 分式的化简求值】
【例6】（2019春•潜山市期末）先化简，再求值：2292(3)693
x x x x x x -+--+++，其中1x =-．
【分析】根据分式的加法和减法可以化简题目中的式子，然后将x ＝﹣1代入化简后的式子即可答案本题． 【答案】解：
+（x ﹣3﹣
）
＝
＝
＝ ＝
＝ ＝x ﹣4，
当x ＝﹣1时，原式＝﹣1﹣4＝﹣5．
【点睛】本题考查分式的化简求值，答案本题的关键是明确分式化简求值的方法．
【变式6-1】（2019春•合肥期末）先化简，再求值：3(2)(1)2
m m m ++
÷+-．其中﹣2≤m ≤2且m 为整数，请你从中选取一个喜欢的数代入求值．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2≤m ≤2且m 为整数中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可答案本题．
【答案】解：（m +2+
）÷（m +1） ＝
＝
＝
＝， ∵﹣2≤m ≤2且m 为整数，
∴当m ＝0时，原式＝＝．
【点睛】本题考查分式的化简求值，答案本题的关键是明确分式化简求值的方法．
【变式6-2】（2019春•卫辉市期末）先化简：
223626699
a a a a a a +-+++-g ，然后从﹣3≤a ≤3的范围内选取一个合适的整数作为a 的值代入求值．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件找出a 的值代入原式即可求出答案．
【答案】解：
•+ ＝
×… ＝
＝
∵a ≠±3，0
∴取a ＝1，原式＝＝2
【点睛】本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于中等题型．
【变式6-3】（2018秋•长安区校级月考）（1）先化简：
2
344
(1)
11
a a
a
a a
-+
-+÷
++
，并从0，1
-，2中选一个
合适的数，作为a的值代入求值．
（2）先化简后求值：
2
22
141
2211
a a
a a a a
--
÷
+-+-
g，其中a满足20
a a
-=．
【分析】（1）根据分式的混合计算的法则进行计算，先算括号内的，除以一个数等于乘以这个数的倒数，分式乘法先约分，再相乘，x只能取0，而不能取﹣1，2，应注意．
（2）先将各自的分子、分母进行因式分解，再转化为乘法，约分后，整体代入即可求出结果．
【答案】解：（1）
＝（﹣）×
＝×
＝；
∵x≠﹣1，x≠2，
∴x＝0，
当x＝0时，原式＝＝1．
（2）
＝××
＝（a﹣2）（a+1）
＝a2﹣a﹣2；
当a2﹣a＝0时，原式＝﹣2．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握计算法则、熟练进行分解因式是解题的关键．
【考点7 解分式方程】
【方法点拨】分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
【例7】（2019秋•武冈市期中）解方程：
（1）
3
2
22
x x x
-
-=
--
2111
x x x +--【分析】（1）根据解分式方程的过程进行计算即可；
（2）先确定公分母，再进行计算即可．
【答案】解：（1）3﹣2（x ﹣2）＝﹣x
解得x ＝7
经检验：x ＝7是原方程的根
∴原方程的解是x ＝7．
（2）2（1﹣x ）+5（1+x ）＝10
解得x ＝1
检验：把x ＝1代入到（x +1）（x ﹣1）中，
得：（1+1）×（1﹣1）＝0
∴原分式方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是解分式方程要进行验根．
【变式7-1】（2019秋•临淄区期中）解分式方程
（1）
22411x x =-- （2）2113222x x x x
+=++ 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【答案】解：（1）去分母得：2x +2＝4，
解得：x ＝1，
经检验x ＝1是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：x +x +2＝32，
解得：x ＝15，
经检验x ＝15是分式方程的解．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【变式7-2】（2019秋•岱岳区期中）解方程：
（1）31144x x x
--=--
242x x
--【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【答案】解：（1）去分母得：3﹣x +1＝x ﹣4，
解得：x ＝4，
经检验x ＝4是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：4x ＝6x ﹣12﹣1，
解得：x ＝6.5，
经检验x ＝6.5是分式方程的解．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【变式7-3】（2019秋•泰安期中）解下列分式方程：
（1）
2214111x x x +=+-- （2）29472393
x x x x +-=+-- 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【答案】解：（1）方程两边同乘（x +1）（x ﹣1）得：2（x ﹣1）﹣（x +1）＝4，
去括号得：2x ﹣2﹣x ﹣1＝4，
解得：x ＝7，
检验：当x ＝7时，（x +1）（x ﹣1）≠0，
∴x ＝7是原方程的解；
（2）方程两边同乘3（x ﹣3）得：2x +9＝3（4x ﹣7）+6（x ﹣3）
解得：x ＝3，
检验：当x ＝3时，3（x ﹣3）＝0，
∴x ＝3是原方程的增根∴原方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【考点8 分式方程的增根】
【例8】（2019•大城县一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?1322x x
+=--． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是2x =，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【分析】（1）把？＝5代入方程，进而利用解分式方程的方法答案即可；
（2）设？为m ，利用分式方程的增根答案即可．
【答案】解：（1）方程两边同时乘以（x ﹣2）得5+3（x ﹣2）＝﹣1
解得x ＝0
经检验，x ＝0是原分式方程的解．
（2）设？为m ，
方程两边同时乘以（x ﹣2）得m +3（x ﹣2）＝﹣1
由于x ＝2是原分式方程的增根，
所以把x ＝2代入上面的等式得m +3（2﹣2）＝﹣1，m ＝﹣1
所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣1．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【变式8-1】（2018春•安岳县期末）关于x 的方程：
12111ax x x
+-=--． （1）当3a =时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求a 的值．
【分析】（1）把a 的值代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x 的值，代入整式方程即可求出a 的值．
【答案】解：（1）当a ＝3时，原方程为﹣＝1， 方程两边同时乘以（x ﹣1）得：3x +1+2＝x ﹣1，
解这个整式方程得：x ＝﹣2，
检验：将x ＝﹣2代入x ﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0，
∴x ＝﹣2是原方程的解；
（2）方程两边同时乘以（x ﹣1）得ax +1+2＝x ﹣1，
若原方程有增根，则x ﹣1＝0，
解得：x ＝1，
将x ＝1代入整式方程得：a +1+2＝0，
解得：a ＝﹣3．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【变式8-2】（2018春•洛宁县期中）m 为何值时，关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根？ 【分析】先去分母得2（x +2）+mx ＝3（x ﹣2），整理得（m ﹣1）x +10＝0，由于关于x 的方程
+＝会产生增根，则（x +2）（x ﹣2）＝0，解得x ＝﹣2 或x ＝2，然后把x ＝﹣2 和x ＝2分别代入（m ﹣1）x +10＝0即可得到m 的值． 【答案】解：原方程化为+＝，
方程两边同时乘以（x +2）（x ﹣2）
得2（x +2）+mx ＝3（x ﹣2），
整理得（m ﹣1）x +10＝0，
∵关于x 的方程 +＝会产生增根，
∴（x +2）（x ﹣2）＝0，
∴x ＝﹣2 或x ＝2，
∴当x ＝﹣2时，（m ﹣1）×（﹣2）+10＝0，解得m ＝6，
当x ＝2时，（m ﹣1）×2+10＝0，解得m ＝﹣4，
∴m ＝﹣4或m ＝6时，原方程会产生增根．
【点睛】本题考查了分式方程的增根：先把分式方程转化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程的分母为0，则这个整式方程的解就是分式方程的增根．
【变式8-3】（2018秋•克东县期末）若关于x 的方程322133x mx x x
---=---无解，求m 的值． 【分析】方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解可得m ﹣1＝0或将x ＝3代入整式方程，即可求出m 的值．
【答案】解：去分母得：3﹣2x +mx ﹣2＝﹣x +3，
整理得：（m ﹣1）x ＝2，
当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解；
当m﹣1≠0时，x﹣3＝0，
即x＝3时，方程无解，
此时＝3，即m＝，
所以m＝1或m＝．
【点睛】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使分式方程左右两边相等的未知数的值，且分式方程分母不为0．
【考点9 分式方程的应用之行程问题】
【例9】（2019秋•正定县期中）A市到B市的距离约为210km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从A 市去B市．小刘比小张晚出发1小时，最后两车同时到达B市，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．
（1）求小轿车和大货车的速度各是多少．（列方程答案）
（2）当小刘出发时，求小张离B市还有多远．
【分析】（1）设大货车的速度为x千米/小时，则小轿车的速度为1.5x千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合小轿车比大货车少用1小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据小张离B市的距离＝A，B两市间的距离﹣小张的速度×小张出发的时间，即可求出结论．【答案】解：（1）设大货车的速度为x千米/小时，则小轿车的速度为1.5x千米/小时，
依题意，得：﹣＝1，
解得：x＝70，
经检验，x＝70是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝105．
答：大货车的速度为70千米/小时，小轿车的速度为105千米/小时．
（2）210﹣70×1＝140（千米）．
答：当小刘出发时，小张离B市还有140千米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式9-1】（2019•云南模拟）在“要致富先修路”的思想指导下，近几年云南的交通有了快速的变化，特别是“高铁网络”延伸到云南以后，许多地区的经济和旅游发生了翻天覆地的变化，高铁列车也成为人们外出旅行的重要交通工具．假期里小明和爸爸从昆明到某地去旅游，从昆明到该地乘汽车行驶的路程约为
800km，高铁列车比汽车行驶的路程少50km，高铁列车比汽车行驶的时间少5h．已知高铁列车的平均时速是汽车平均时速的2.5倍，求高铁列车的平均时速．
【分析】设汽车的平均时速为xkm/h，则高铁列车的平均时速为2.5xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合高铁列车比汽车行驶的时间少5h，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【答案】解：设汽车的平均时速为xkm/h，则高铁列车的平均时速为2.5xkm/h，
依题意，得：﹣＝5，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合题意，
∴2.5x＝250．
答：高铁列车的平均时速为250km/h．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式9-2】（2019•宜宾）甲、乙两辆货车分别从A、B两城同时沿高速公路向C城运送货物．已知A、C 两城相距450千米，B、C两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米/小时，甲车比乙车早半小时到达C城．求两车的速度．
【分析】设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x+10）千米/时，路程知道，且甲车比乙车早半小时到达C城，以时间做为等量关系列方程求解．
【答案】解：设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x+10）千米/时．
根据题意，得：+＝，
解得：x＝80，或x＝﹣110（舍去），
∴x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．
当x＝80时，x+10＝90．
答：甲车的速度为90千米/时，乙车的速度为80千米/时．
【点睛】本题考查分式方程的应用、分式方程的解法，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．根据时间＝，列方程求解．
【变式9-3】（2019•高淳区二模）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3200米．甲同学先步行200米，然
后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的1
3
，公交车的速度是乙骑
自行车速度的3倍．甲、乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到8分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
【分析】（1）设乙骑自行车的速度为xm/min，则公交车的速度是3xm/min，甲步行速度是xm/min，根据题意列方程即可得到结论；
（2）8×200＝1600米即可得到结果．
【答案】解：（1）设乙骑自行车的速度为xm/min，则公交车的速度是3xm/min，甲步行速度是xm/min，由题意得：﹣8＝+．
解得x＝200．
经检验x＝200原方程的解
答：乙骑自行车的速度为200m/min．
（2）当甲到达学校时，乙同学还要继续骑行8分钟，
所以8×200＝1600（m）．
答：乙同学离学校还有1600m．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意得到甲的运动速度是解题关键．
【考点10 分式方程的应用之工程问题】
【例10】（2019秋•滦州市期中）列方程解应用题
某工程队修建一条1200m的道路，由于施工过程中采用了新技术，所以工作效率提高了50%，结果提前4天完成任务．
（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？
（2）这项工程，如果要求工程队提前两天完成任务，那么实际的工作效率比原计划增加百分之几？
【分析】（1）设这个工程队原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路（1+50%）x米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前4天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设实际的工作效率比原计划增加的百分比为y，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前2天完成任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【答案】解：（1）设这个工程队原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路（1+50%）x米，
依题意，得：﹣＝4，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意．
答：这个工程队原计划每天修建道路100米．
（2）设实际的工作效率比原计划增加的百分比为y，
依题意，得：﹣＝2，
解得：y＝0.2＝20%．
经检验，y＝20%是原方程的解，且符合题意．
答：实际的工作效率比原计划增加20%．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键
【变式10-1】（2018秋•徽县期末）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？
【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，根据甲队完成的工作量+乙队完成的工作量＝总工作量（单位1），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）由（1）可求出甲、乙单独施工所需天数，再利用两队合作完工所需时间＝总工作量÷（甲队一天完成的工作量+乙队一天完成的工作量），即可求出结论．
【答案】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x 天完工，
依题意，得：+＝1，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．
答：这项工程的规定时间是30天．
（2）由（1）可知：甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，
1÷（+）＝18（天）．
答：甲乙两队合作完成该工程需要18天．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式10-2】（2018秋•江北区期末）在我市区某中学美化校园招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙合做12天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天，需付工程款2万元．若该工程计划在35天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据甲完成的部分+乙完成的部分＝总工程量（单位1），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出结论；
（2）设甲、乙两队全程合作需要y天完成该工程，根据甲完成的部分+乙完成的部分＝总工程量（单位1），即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再分别求出甲队单独完成以及甲、乙两队全程合作完成该工程所需费用，比较后即可得出结论．
【答案】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，
依题意，得：+＝1，
解得：x＝45，
经检验，x＝45是所列分式方程的解，且符合题意．
答：乙队单独完成这项工程需要45天．
（2）设甲、乙两队全程合作需要y天完成该工程，
依题意，得：+＝1，
解得：y＝18．
甲队单独完成该工程所需费用为3.5×30＝105（万元）；
∵乙队单独完成该工程需要45天，超过35天的工期，
∴不能由乙队单独完成该项工程；
甲、乙两队全程合作完成该工程所需费用为（3.5+2）×18＝99（万元）．
∵105＞99，。