第4讲 电磁感应中的动力学和能量问题习题(1)

第九章章末检测
1．如图1所示，导线框abcd与通电直导线在同一平面内，两者彼此绝缘，直导线通有恒定电流并通过ad和bc的中点，当线框向右运动的瞬间，则()．
图1
A．线框中有感应电流，且按顺时针方向
B．线框中有感应电流，且按逆时针方向
C．线框中有感应电流，但方向难以判断
D．由于穿过线框的磁通量为零，所以线框中没有感应电流
解析
由安培定则可判知通电直导线周围磁场如图所示．当ab导线向右做切割磁感线运动时，由右手定则判断感应电流为a→b，同理可判断cd导线中的感应电流方向为c→d，ad、bc两边不做切割磁感线运动，所以整个线框中的感应电流是逆时针方向的．
答案 B
2．边长为a的闭合金属正三角形框架，完全处于垂直于框架平面的匀强磁场中，现把框架匀速拉出磁场，如图2所示，则选项图中电动势、外力、外力功率与位移图象规律与这一过程相符合的是()．
图2
解析 框架匀速拉出过程中，有效长度l 均匀增加，由E ＝Bl v 知，电动势均
匀变大，A 错、B 对；因匀速运动，则F 外＝F 安＝BIl ＝B 2l 2v R ，故外力F 外随
位移x 的增大而非线性增大，C 错；外力功率P ＝F 外v ，v 恒定不变，故P
也随位移x 的增大而非线性增大，D 错．
答案 B
3.如图3所示，金属棒ab 置于水平放置的金属导体框架cdef 上，棒ab 与框架接触良好．从某一时刻开始，给这个空间施加一个斜向上的匀强磁场，并且磁场均匀增加，ab 棒仍静止，在磁场均匀增加的过程中，关于ab 棒受到的摩擦力，下列说法正确的是 ( )．
图3
A ．摩擦力大小不变，方向向右
B ．摩擦力变大，方向向右
C ．摩擦力变大，方向向左
D ．摩擦力变小，方向向左
解析 由法拉第电磁感应定律和安培定则知，ab 中产生的电流的大小恒定，方向由b 到a ，由左手定则，ab 受到的安培力方向向左下方，F ＝BIL ，由于B 均匀变大，F 变大，F 的水平分量F x 变大，静摩擦力F f ＝F x 变大，方向向右，B 正确．
答案 B
4．如图4甲所示，光滑导轨水平放置在与水平方向夹角为60°的斜向下的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度B 随时间t 的变化规律如图乙所示(规定斜向下为正方向)，导体棒ab 垂直导轨放置，除电阻R 的阻值外，其余电阻不计，
导体棒ab 在水平外力F 作用下始终处于静止状态．规定a →b 的方向为电流的正方向，水平向右的方向为外力F 的正方向，则在0～t 1时间内，能正确反映通过导体棒ab 的电流i 和导体棒ab 所受水平外力F 随时间t 变化的图象是 ( )．
图4
解析 由楞次定律可判定回路中的电流方向始终为b →a ，由法拉第电磁感应定律可判定回路中电流大小恒定，故A 、B 错；由F 安＝BIL 可得F 安随B 的变化而变化，在0～t 0时间内，F 安方向斜向右下，故外力F 与F 安的水平分力
等值反向，方向向左为负值；在t 0～t 1时间内，F 安的水平分力方向改变，故
外力F 方向也改变为正值，故C 错误，D 正确．
答案 D
5．在光滑的水平面上方，有两个磁感应强度大小均为B ，方向相反的水平匀强磁场，如图5所示．PQ 为两个磁场的边界，磁场范围足够大．一个边长为a 、质量为m 、电阻为R 的金属正方形线框，以速度v 垂直磁场方向从如图实线位置开始向右运动，当线框运动到分别有一半面积在两个磁场中时，线框的速度为v /2，则下列说法正确的是( )．
图5
A ．此过程中通过线框截面的电荷量为2Ba 2R
B ．此时线框的加速度为B 2a 2v 2mR
C ．此过程中回路产生的电能为38m v 2
D ．此时线框中的电功率为B 2a 2v 2R
解析 对此过程，由能量守恒定律可得，回路产生的电能E ＝12m v 2－12m ×14v 2
＝38m v 2，选项C 正确；线圈磁通量的变化ΔΦ＝Ba 2，则由电流定义和欧姆定
律可得q ＝ΔΦR ＝Ba 2R ，选项A 错误；此时线框产生的电流I ＝2Ba v 2R ＝Ba v R ，由
牛顿第二定律和安培力公式可得加速度a 1＝2BIa m ＝2B 2a 2v mR ，选项B 错误；由
电功率定义可得P ＝I 2
R ＝B 2a 2v 2R ，选项D 正确． 答案 CD
6．如图6所示，PN 与QM 两平行金属导轨相距1 m ，电阻不计，两端分别接有电阻R 1和R 2，且R 1＝6 Ω，ab 导体的电阻为2 Ω，在导轨上可无摩擦地滑动，垂直穿过导轨平面的匀强磁场的磁感应强度为1 T ．现ab 以恒定速度v ＝3 m/s 匀速向右移动，这时ab 杆上消耗的电功率与R 1、R 2消耗的电功率之和相等，求：
图6
(1)R 2的阻值．
(2)R 1与R 2消耗的电功率分别为多少？
(3)拉ab 杆的水平向右的外力F 为多大？
解析 (1)内外功率相等，则内外电阻相等，
6R 26＋R 2
＝2，解得R 2＝3 Ω. (2)E ＝BL v ＝1×1×3 V ＝3 V ，
总电流I ＝E R 总＝34
A ＝0.75 A ， 路端电压U ＝IR 外＝0.75×2 V ＝1.5 V ，
P 1＝U 2R 1
＝1.526 W ＝0.375 W ， P 2＝U 2R 2
＝1.523 W ＝0.75 W. (3)F ＝BIL ＝1×0.75×1 N ＝0.75 N.
答案 (1)3 Ω (2)0.375 W ；0.75 W (3)0.75 N
7．如图7所示，abcd 是一个质量为m ，边长为L 的正方形金属线框．如从图示位置自由下落，在下落h 后进入磁感应强度为B 的磁场，恰好做匀速直线运动，该磁场的宽度也为L .在这个磁场的正下方h ＋L 处还有一个未知磁场，金属线框abcd 在穿过这个磁场时也恰好做匀速直线运动，那么下列说法正确的是 ( )．
图7
A ．未知磁场的磁感应强度是2B
B ．未知磁场的磁感应强度是2B
C ．线框在穿过这两个磁场的过程中产生的电能为4mgL
D ．线框在穿过这两个磁场的过程中产生的电能为2mgL
解析 设线圈刚进入第一个磁场时速度大小为v 1，那么mgh ＝12m v 21，v 1＝2gh .
设线圈刚进入第二个磁场时速度大小为v 2，那么v 22－v 21＝2gh ，v 2＝2v 1.根
据题意还可得到，mg ＝B 2L 2v 1R ，mg ＝B x 2L 2v 2R 整理可得出B x ＝ 2
2B ，A 、B
两项均错．穿过两个磁场时都做匀速运动，把减少的重力势能都转化为电能，所以在穿过这两个磁场的过程中产生的电能为4mgL ，C 项正确、D 项错． 答案 C
8．如图8-甲所示，一边长L ＝2.5 m 、质量m ＝0.5 kg 的正方形金属线框，放在光滑绝缘的水平面上，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度B ＝0.8 T 的匀强磁场中，它的一边与磁场的边界MN 重合，在水平力F 作用下由静止开始向左运动，经过5 s 线框被拉出磁场，测得金属线框中的电流随时间变化的图象如图乙所示．在金属线框被拉出的过程中
图8-
(1)求通过线框截面的电荷量及线框的电阻．
(2)写出水平力F 随时间变化的表达式．
(3)已知在这5 s 内力F 做功1.92 J ，那么在此过程中，线框产生的焦耳热是多少？
解析 (1)根据q ＝I －
Δt ，由It 图象得：q ＝1.25 C
又根据I －＝E －
R ＝ΔΦR Δt ＝BL 2
R Δt ，得R ＝4 Ω. (2)由电流图象可知，感应电流随时间变化的规律：I ＝0.1t
由感应电流I ＝BL v R ，可得金属线框的速度随时间也是线性变化的，v ＝RI BL ＝
0.2t
线框做匀加速直线运动，加速度a ＝0.2 m/s 2
线框在外力F 和安培力F A 作用下做匀加速直线运动，F －F A ＝ma
所以水平力F 随时间变化的表达式为
F ＝(0.2t ＋0.1) N.
(3)当t ＝5 s 时，线框从磁场中拉出时的速度v 5＝at ＝1 m/s
线框中产生的焦耳热为Q ＝W －12m v 25＝1.67 J.
答案 (1)1.25 C 4 Ω (2)F ＝(0.2t ＋0.1) N
(3)1.67 J
9．如图9-所示，水平放置的平行金属导轨宽度为d ＝1 m ，导轨间接有一个阻值为R ＝2 Ω的灯泡，一质量为m ＝1 kg 的金属棒跨接在导轨之上，其电阻为r ＝1 Ω，且和导轨始终接触良好．整个装置放在磁感应强度为B ＝2 T 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下．现
对金属棒施加一水平向右的拉力F ，使金属棒从静止开始向右运动．求：
图9
(1)若金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ＝0.2，施加的水平恒力为F ＝10 N ，则金属棒达到的稳定速度v 1是多少？
(2)若金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ＝0.2，施加的水平力功率恒为P ＝6 W ，则金属棒达到的稳定速度v 2是多少？
(3)若金属棒与导轨间是光滑的，施加的水平力功率恒为P ＝20 W ，经历t ＝1 s 的过程中灯泡产生的热量为Q R ＝12 J ，则此时金属棒的速度v 3是多少？ 解析 (1)由I ＝Bd v 1R ＋r
和F 安＝BId 可得F 安＝B 2d 2v 1R ＋r
根据平衡条件可得F ＝μmg ＋F 安
解得v 1＝(F －μmg )(R ＋r )B 2d 2＝(10－0.2×1×10)(2＋1)22×12
m/s ＝6 m/s
(2)稳定后F ＝μmg ＋B 2d 2v 2R ＋r
且P ＝F v 2 整理得2v 22＋3v 2－9＝0
解得v 2＝1.5 m/s
(3)金属棒和灯泡串联，由Q＝I2Rt得灯泡和金属棒产生的热量比Q R
Q r＝
R
r
根据能量守恒Pt＝1
2m v
2
3
＋Q R＋Q r
解得v3＝2(Pt－Q R－Q r)
m＝
2(20×1－12－6)
1m/s＝2 m/s.
答案(1)6 m/s(2)1.5 m/s(3)2 m/s。