山东省莱芜市凤城高级中学2016届高三上学期10月第一次阶段性考试数学(文)试题 Word版含答案[ 高考]

凤城高中2013级高三第一次检测 试卷类型A
数学试题（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A ，B ，则A ⊆B 是A ∩B ＝A 成立的是( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2
－b 2
≥0 B ．ac ＞bc C ．ac 2
＞bc 2
D ．2a
＞2b
3．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A ．7
24
B ．－724
C ．24
7
D ．－24
7
4．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x
(a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B ．12x C ．log 1
2x
D ．2
x －2
5．若函数f (x )＝sin
x ＋φ
3
(φ∈)是偶函数，则φ＝( )
A ．π2
B ．2π3
C ．3π
2
D ．5π
3
6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (3，f (3))处的切线方程是y ＝13x ＋2
3，则f (3)＋f ′(3)
的值
是( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
7．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >c C ．a <b <c
D ．a >b >c
8．若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2
＋1在(0,2)内零点的个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
9．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2
＝a 2
－ac ＋c 2
，C －A ＝90°，
则cos A cos C ＝( )
A ．1
4
B ．
24 C ．－1
4
D ．－
2
4
10．已知a ＝(1，sin 2
x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan
x 的值等于( )
A ．1
B ．－1
C ． 3
D ．
22
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．函数y ＝log 12
(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝________. 12．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，b ＝3，则sin A
A ＋C
＝________.
13．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为 π
6，则实数m ＝________.
14．下列命题：
①∀x ∈R ，不等式x 2
＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；
③“若a >b >0且c <0，则c a >c b
”的逆否命题是真命题；
④若命题p ：∀x ∈R ，x 2
＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2
－x －1≤0，则命题p ∧(﹁q )是真命题．其中真命题为________．
15．若函数f (x )＝x ＋m sin x 在R 上单调递增，则实数m 的取值范围为________． 三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16．(本小题满分12分)
已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．
17．(本小题满分12分)
已知f (x )＝4cos x cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3－2.
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．
18．(本小题满分12分)
已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝1，如果对于0<x <y ，都有f (x )>f (y )，
(1)求f (1)；
(2)解不等式f (－x )＋f (3－x )≥－2.
19．(本小题满分12分)
已知函数f (x )＝4x
＋m
2x 是R 上的奇函数．
(1)求m 的值； (2)设g (x )＝2x ＋1
－a .若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点．求实数a 的取值范围．
20．(本小题满分13分)
已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，向量m ＝(sin A －sin B ，sin C )， 向量 n ＝(2sin A －sin C ，sin A ＋sin B )，且m ∥n . (1)求角B ；
(2)若sin A ＝3
5，求cos C 的值．
21．(本小题满分13分) 已知函数 f (x )＝
a x 2－x －
e
x
(x ∈R)，a 为正数．
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)若对任意x 1，x 2∈均有|f (x 1)－f (x 2)|<1成立，求实数a 的取值范围．
凤城高中2013级高三第一次检测
数学试题（文科）参考答案
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．解析：选C 由A ⊆B ，得A ∩B ＝A ；反过来，由A ∩B ＝A ，且(A ∩B )⊆B ，得A ⊆B . 因此，A ⊆B 是A ∩B ＝A 成立的充要条件．
2．解析：选D 在A 中，若a ＝－1，b ＝－2，则a 2
－b 2
≥0不成立； 当c ＝0时，B 、C 不成立.
3．解析：选D 依题意得sin x ＝－1－cos 2
x ＝－35，
tan x ＝sin x cos x ＝－3
4
，
所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝
2×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－341－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－342
＝－247. 4．解析：选A f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1， ∴log a 2＝1.∴a ＝2. ∴f (x )＝log 2x .
5．解析：选C ∵f (x )为偶函数， ∴φ3＝k π＋π
2(k ∈Z )， ∴φ＝3k π＋3
2π(k ∈Z )．
又∵φ∈，∴φ＝3
2
π.
6．解析：选B 因为切点(3，f (3))在切线上，所以f (3)＝1＋23＝5
3，
又因为切点处的导数为切线的斜率，
所以f ′(3)＝1
3
，所以f (3)＋f ′(3)＝2.
7．解析：选B ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233，
b ＝log 29－log 23＝log 233，
∴a ＝b .
又∵函数y ＝log a x (a >1)为增函数，
∴a ＝log 233>log 22＝1，c ＝log 32<log 33＝1， ∴a ＝b >c .
8．解析：选C 依题意得f ′(x )＝x 2
－2ax ，
由a >2可知，f ′(x )在x ∈(0,2)时恒为负，即f (x )在(0,2)内单调递减， 又f (0)＝1>0，f (2)＝8
3－4a ＋1<0，
因此f (x )在(0,2)内只有一个零点． 9．解析：选C 依题意得a 2
＋c 2
－b 2＝ac ，
∴ cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac
＝ac 2ac ＝1
2
.又0°<B <180°， 所以B ＝60°，C ＋A ＝120°. 又C －A ＝90°，
所以C ＝90°＋A ，A ＝15°， cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A ) ＝－1
2sin 2A
＝－12sin 30°＝－14
.
10．解析：选A 由|a ·b |＝|a ||b |知，
a ∥
b ，所以sin 2x ＝2sin 2x ，
即2sin x cos x ＝2sin 2
x ，而x ∈(0，π)， 所以sin x ＝cos x ，tan x ＝1.
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．解析：由3x －a >0得x >a 3.因此，函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞，
所以a 3＝2
3
，即a ＝2.答案：2
12．解析：
sin A A ＋C ＝sin A sin B ＝a b ＝23.答案：2
3
13．解析：选B 根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m 2×9＋m 2
＝3
2， 即3＋3m ＝3×9＋m 2
，两边平方并化简得63m ＝18， 解得m ＝3，经检验符合题意. 3
14．解析： 由x 2
＋2x >4x －3推得x 2
－2x ＋3＝(x －1)2
＋2>0恒成立，故①正确； 根据基本不等式可知要使不等式log 2x ＋log x 2≥2成立需要x >1，故②正确； 由a >b >0得0<1a <1b ，又c <0，可得c a >c
b
，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；
命题p 是真命题，命题q 是真命题，所以p ∧(﹁)q )为假命题，故④不正确． 答案：①②③
15．解析：∵f ′(x )＝1＋m cos x ，
∴要使函数f (x )＝x ＋m sin x 在R 上单调递增， 则1＋m cos x ≥0对任意实数x 都成立． ∵－1≤cos x ≤1，
①当m ＞0时，－m ≤m cos x ≤m ， ∴－m ≥－1，∴0＜m ≤1； ②当m ＝0时，显然成立；
③当m ＜0时，m ≤m cos x ≤－m ，∴m ≥－1，∴－1≤m <0. 综上，－1≤m ≤1. 答案：
三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16．解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－16. (1)①∵|a ＋b |2
＝a 2
＋2a ·b ＋b 2
＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴|a ＋b |＝4 3.
②∵|4a －2b |2
＝16a 2
－16a ·b ＋4b 2
＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b |＝16 3. (2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )， ∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0， ∴k a 2
＋(2k －1)a ·b －2b 2
＝0，
即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．
17．解：(1)因为f (x )＝4cos x cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3－2
＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12cos x ＋32sin x －2
＝3sin 2x ＋2cos 2
x －2 ＝3sin 2x ＋cos 2x －1 ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.
所以f (x )的最小正周期是T ＝2π
2＝π.
(2)因为－π6≤x ≤π
4，
所以－π6≤2x ＋π6≤2π
3
.
于是当2x ＋π6＝π2，即x ＝π
6
时，
f (x )取得最大值1；
当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π
6
时，
f (x )取得最小值－2.
18．解：(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)， 所以f (1)＝0.
(2)f (－x )＋f (3－x )≥－2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，
f (－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3－x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
≥0＝f (1)，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－x 2≥f (1)， f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－x 2
·3－x 2≥f (1)， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
－x >0，
3－x >0，－x 2·3－x 2≤1，
解得－1≤x <0.
故不等式的解集为上为增函数，在 上为减函数． ∴函数f (x )在上的最大值f (3)＝5a e 3，
又∵f (0)＝－a <0，f (4)＝11a e －4
>0， ∴f (0)<f (4)．
∴f (x )在上的最小值为f (0)＝－a . ∴要使函数f (x )对任意x 1，x 2∈均有
|f (x 1)－f (x 2)|<1成立，只需|f (3)－f (0)|<1即可， 即⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪5a e 3＋a <1. ∵a >0，∴0<a <e 3
5＋e
3.。