浙江省宁波市2020年12月高中数学竞赛 PDF版含解析

5. A，B，C
解析：由 S2 S3 a3 0 ，所以 A 正确； 由 S4 S3 a4 0 ，所以 B 正确； 由 a1 a2 a3 0 S3 0 ，所以 C 正确； S4 = a1 + 3a3 0 ，所以 D 不正确
6. B，D
由 sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 sin2 A = cos2 B + cos2 C sin2 (B + C) = cos2 B + cos2 C
2020 年宁波市高中数学竞赛试题 第4页（共 4 页）
2020 年宁波市高中数学竞赛试题答案
一、选择题Ⅰ（本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分．每小题列出的四个选项
中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）
1.C
分析：由 (a
+
b)2
+
(a
− b)2
=
2
2a
+
2
2b
可得.
2020 年宁波市高中数学竞赛试题
2020 年 12 月 13 日 9:00-11:00
注意： 报考 A 组的考生作答 A 卷（所有试题），报考 B 组的考生作答 B 卷（前 17 题）．
请考生按规定用笔，将试题的答案涂、写在答题纸上．
一、选择题Ⅰ（本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分．每小题列出的四个选项 中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）
16．已知正项等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 a3 = 4 ， a2a4 = 3S3 − 5 ．
（Ⅰ）求an 的通项公式；
（Ⅱ）设命题 p ：存在正整数 m, n （其中 m n ）及k {−1, 0,1}, k = 1, 2, , n ，使得
1a1 + 2a2 + + mam = a m+1 m+1 + m+2am+2 + 命题 p 的真假并证明你的结论．
2
2 cos A 2(sin Acos A + cos2 A)
因为 1 − sin A = 1− sin 2 A 0 ,即 1 sin A
2 cos A
2 cos A
2 cos A
又
2(sin
2 Acos A + cos2
A)
−
1 2 cos A
=
2 − (sin A + cos A) 2(sin Acos A + cos2 A)
a2 + b2 a+b
a = 2 a2b2 a2 + b2 12 a + b
只需比较 ab ， a2 + b2 ， a2 + b2 大小，
a2 + b2
2
2(a + b)
显然
a2 + b2
ab 2 =
a2 + b2
a2 + b2
ab2 = a2 + b2 a + b a2 + b2 a2 + b2 = a2 + b2
D． 4 5
3．已知非负实数 a, b 满足 4a + b = 1 ，则 1 + 1 的最小值是 1+ a 1+b
A． 3 2
B． 5 4
C． 3 4
D． 1 2
4．在直角△ ABC 中，C 为直角顶点，分别以 AB 边上的高 CD 、中线 CE 、角 C 的内角平
分线 CF 为折线，将三角形折成直二面角，记折叠后的四面体 ABCD, ABCE, ABCF 的
13．已知直线 y = x 与椭圆 C ： x2 + y2 = 1交于 M , N 两点，直线 y = −x +1与椭圆 C 交于 43
P, Q 两点，已知四点 M , N, P,Q 共圆，则该圆的圆心坐标为 ▲ ．
14．已知正方体的 8 个顶点分别在空间 8 个平行的平面上，若相邻的两个平行平面的距离均
2.D
3.A
解析：设1+ a = x,1+ b = y ，则有 4x + y = 6
1 + 1 = 1 + 1 = 1 (1 + 1 )(4x + y) = 1 (5 + y + 4 x ) 3
1+ a 1+b x y 6 x y
6 x y2
（当且仅当 x = 1, y = 2 即 a = 0,b = 1时取等号）.
2
a+b 2
a+b
2
2(a + b)
即 ab a2 + b2
a2 + b2
2
a2 + b2 2(a + b)
，于是V3 V2 V1 .
思路 2 以角为运算量
1
11
b3 sin2 A
V1 = 3 SACD BD = 3 2 b sin A b cos A b tan Asin A = 6 sin A
5．已知数列an 是公差不为 0 的等差数列， Sn 为其前 n 项和．若对任意的 n N* ，都有
Sn S3 ，则
A． a3 0
B． a4 0
C． S3 0
D． S4 0
2020 年宁波市高中数学竞赛试题 第1页（共 4 页）
6．已知 A, B,C 为△ ABC 的三个内角， sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 ，则
1．已知平面向量 a, b 满足| a |= 1，| b |= 2 ，且| a + b |= 7 ，则| a − b | 等于
A．1
B． 2
C． 3
D． 2
2．已知 sin( + π ) + sin = − 4 3 ，则 cos( + 2π ) 等于
3
5
3
A． − 4 5
B． − 3 5
C． 3 5
+ n a −1 n−1 + nan + an+1 ． 判 断
17．设抛物线 C ： y2 = x 与 P(1, 2) ， Q 为不在抛物线上的一点．若过点 Q 的直线 l 与抛物
线 C 交于 A, B 两点，直线 PA 与抛物线 C 交于另一点 M ，直线 PB 与抛物线 C 交于另
一点 N ，直线 MB 与 NA 交于点 R ． （Ⅰ）已知点 A 的坐标为 (9,3) ，求点 M 的坐标；
三、填空题（本题共 6 小题，每小题 8 分，共 48 分．请把答案写在答卷相应位 置上．）
9． 2lg5 + (log5 2)0 − 5lg2 的值为 ▲ ． 10．设奇函数 f (x) 是定义在 R 上的减函数，若实数 a, b 满足
y
C
B
f (a − b −1) 0,
f
(a) +
f
(b −1)
为1，则该正方体的边长等于 ▲ ．
2020 年宁波市高中数学竞赛试题 第2页（共 4 页）
四、解答题Ⅰ（本题共 3 小题，第 15、16 题每题 15 分，第 17 题 16 分，共 46 分．）
15．已知 a 0 ，曲线 1 ： y = 4 log3 x 与 x 轴相交于点 A ，曲线 2 ： y = f (x) 与 1 关于 点 B(0, a) 中心对称，且与 x 轴交于点 P ． （Ⅰ）求点 A 的坐标； （Ⅱ）若△ ABP 为直角三角形，求 log3a a 的值．
体积分别为V1,V2 ,V3 ，则 A．V1 V2 V3 C．V2 V3 V1
B．V3 V2 V1 D．V3 V1 V2
二、选择题Ⅱ（本题共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分．每小题列出的四个选项 中至少有一个是符合题目要求的，全部选对的得 8 分，选对但不全的得 4 分，不 选、有选错的得 0 分．）
=
2[1− sin( A + )] 4
2(sin Acos A + cos2 A)
0
于是 sin
A
1 2 cos A
2(sin
2 Acos A + cos2
A)
即V3 V2 V1 .
思路 3 特殊三角形验证
二、选择题Ⅱ（本题共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分．每小题列出的四个选项 中至少有一个是符合题目要求的，全部选对的得 8 分，选对但不全的得 4 分，不 选、有选错的得 0 分．）
sin2 B cos2 C + 2sin B cos C cos B sin C + cos2 B sin2 C = cos2 B + cos2 C 2sin B cos C cos B sin C = 2 cos2 B cos2 C cos Acos B cos C = 0
所以 A 不正确，B 正确；
当 cos A = 0 时，cos A + 2 cos B + 3cos C = 2 cos B + 3sin B 13 ，所以 C 不正确，D 正
确.
7. B，C，D．
解析：A．前两题的得分的不同情况有 4 4 = 16 种，所以 A 不正确； B．三道题的得分之和可能的值有 0,1, 2, ,9 ，共10 种，所以 B 正确；
0, 则点 (a,b) 所形成的平面区域的面积
b 1,
A
为▲．
11．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点 O(0, 0), A(6, 2), B(4, 6), C(2, 6) ，若直线 y = mx 平分四边形 OABC 的面
O
x
（第 11 题图）
积，则实数 m 的值为 ▲ ．
12．已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn+1 = an +1 (n N*) ，则 a2021 的值为 ▲ ．
饮料升数分别为 Q2 , Q3, Q4
，则掷骰子的
A1 给
A2 ,
A3 ,
A4
的饮料升数分别为
Q2 p
,
Q3 p
,
Q4 p
，
然后依次由 A2 , A3, A4 掷骰子，规则不变．当游戏结束后，四名小朋友的饮料升数之比
3: 3: 2 : 2 ( A1 : A2 : A3 : A4 ) ，求每位小朋友掷得的骰子的点数之和．
b
a 2
a sin
B
=
a2b 12
b
= a2b2
= a2b2
a2 + b2 12 a2 + b2 6(a2 + b2 )
a2 + b2 2
V3
=
1 3
SACF
BH
=
1 3
1 2
b
b
a2 + b2 sin A a+b
=
a2b2 6(a2 + b2
)
a2 + b2 2(a + b)
2a = 2 ab2 2 12
（Ⅱ）是否存在点 Q ，使得对动直线 l ，点 R 是定点？若存在，求出所有点 Q 组成的集
合；若不存在，请说明理由．
y P A
N Q
RO
x
B
M
（第 17 题图）
2020 年宁波市高中数学竞赛试题 第3页（共 4 页）
五、解答题Ⅱ（A 卷试题，B 卷考生不答．本题共 2 小题，每小题 25 分，共 50 分．）
18．已知 a,b R ，函数 f (x) = x | x + a | + | x − a | +b ．若存在 b ，对于任意的| x | 1，有 | f (x) | 1 ，求 a 的取值范围．
19．四名小朋友 A1, A2 , A3, A4 分某种饮料，他们先将饮料平均分配，再玩一种掷 7 颗骰子的 游戏：先由 A1 掷这七个骰子，记七个骰子的点数之和为 p ，A2 , A3, A4 在 A1 掷骰子前的
C．三道题的得分之积可能的值有 0,1, 2,3, 4, 6,8,9,12,18, 27 ，共11种，所以 C 正确；
D．先考虑两名学生前 2 题的得分情况，若前 2 题得分相同，则这 2 名学生即符合条件，故 不妨设没有 2 名学生前 2 题得分相同，将其 16 种不同的得分情况分成三类.
参加考试，则存在两名学生甲、乙 A．前两题的得分均相同 B．三道题的得分之和相同 C．三道题的得分之积相同 D．对每道题，甲的得分均不低于乙的得分
8．存在正实数 x, y ，使得
A． 1 = 1 + y x+y x
B． x + y = x + y
C． 2x+ y = 2x + 2 y
D． lg(x + y) = lg x +10 y
4.B 解析：
思路 1 以边为运算量
V1
=
1 3
SACD
BD
=
1 3
1 2
b sin
Ab
cos
A
a
cos
B
=
ab2 6
a a2 + b2
b a2 + b2
a a2 + b2
=1 6(
(ab)3 a2 + b2
)3
=
a2b2 6(a2 + b2
)
ab a2 + b2
V2
=
1 3
SACE
BH
=
1 3
1 2
V2
=
1 3
SACE
BH
=
1 3
1 2
b
b
tan 2
A
b sin
A
=
b3
sin 2 6
A
1 2 cos
A
1
11
b
2
b3 sin2 A
2
V2
=
3 SACE
BH
=
3
2
b
sin
A + cos
A
sin
A
2
b tan A =
6
2(sin Acos A + cos2 A)
只需比较 sin A , 1 ,
A．△ ABC 为锐角三角形 B．△ ABC 为直角三角形 C． cos A + 2 cos B + 3cos C 的最大值为 5
D． cos A + 2 cos B + 3cos C 的最大值为 13
7．某次考试共有 3 道题，每题的得分均可能为 0 分、1分、2 分、或 3 分，若共有15 名学生