离散余弦变换(DCT)

离散余弦变换（DCT）及其C++实现：1．定义：离散余弦是一种基于实数的正交变换。一维离散余弦的

定义如下：

式中，F(u)为第u个余弦变换系数，u为广义频率分量，f(x)为时域中N点序列，x=0,1,2,…N-1。

对于二维的离散余弦变换的定义如下：

2．基本算法

二维的DCT可分解为两个一维的DCT，即现对图像信号（二维数据）的行进行一位DCT，然后再对列进行一维DCT。

基本算法描述如下：

1）求对行进行一位DCT的变换矩阵系数coefa

2）求系数矩阵coefa的转置矩阵coefb用来对列进行一维DCT

3）利用系数矩阵coefa和coefb对二维信号data先近行行变换，再进行列变换。

3．快速算法

利用快速傅立叶变换可以得到DCT的快速算法。首先，将f（x）进行延拓：

按照上述定义，f e（x）的离散余弦变换为：

式中，R e{}表示取复数的实部。

由上式知，为f e（x）的2N点离散傅立叶变换。以此，对于快速离散余弦变换，可以把长度为N的序列f(x)的长度延拓为2N的序

列f e（x），然后再对延拓的结果

f e（x）进行离散傅立叶变换，最后取离散傅立叶变换的实部便是离散余弦变换的结果，完成快速的DCT。

4．程序说明

采用C＋＋语言编写，共有三个函数：

主函数void main()完成DCT变换；

子函数void FFT_1D(complex *TD, complex *FD, int r)完成快速傅立叶变换；

子函数void dct(double *f, double *F, int r)完成快速DCT。

参数说明见源程序注释。