导数及其应用章末总结课件

例1 当x∈(0，π2)时，证明：tanx>x.
分析
构造函数f(x)＝tanx－x.利用导数判断在x∈(0，
π 2
)
上的单调性．
证明 设f(x)＝tanx－x，x∈(0，2π)， 则f′(x)＝csoinsxx′－1 ＝cos2cxo＋s2sxin2x－1 ＝csoins22xx＝tan2x>0. ∴f(x)在(0，2π)上是增函数．
Δy Δx.
(2)公式法：对于较复杂的函数，在求导前应先对解析式
进行化简或变形，再用公式求导．
(3)复合函数的求导方法：运用复合函数的求导法则y′x＝ y′u·u′x，但应注意以下几点：
①利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自 变量的函数，层层求导．
②要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不能 混淆，计算到最后，如(cos2x)′＝－sin2x是错的，正确的是 (cos2x)′＝－sin2x·(2x)′＝－2sin2x.
于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2) 由f′(x)>0，得x<0，或x>2， 故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)； 由f′(x)<0，得0<x<2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)． (2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)， 令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2.
一、导数的应用 1．导数的概念是本章学习的关键，它不但提供了一般的 求导方法，并且常见函数的导数，函数的和、差、积、商的导 数法则都是用定义得出的． 2．函数求导的常用方法 (1)定义法：用定义求导的一般步骤：
①求函数的增量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；②求平均变化率ΔΔyx＝
fx＋ΔΔxx－fx；③取极限，得f′(x)＝Δlixm→0
当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值． 综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值； 当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值； 当a＝1，或a≥3时，f(x)无极值．
解 如图所示，AB＝1.4m，AO＝1.8m，要求解α的最大
值，由已知条件可转化为求tanα的最大值，从而求得距离
OD.
设OD＝x，∠ADO＝β，∠BDO＝γ.
则α＝γ－β，tanγ＝3x.2，tanβ＝1x.8，
tanα＝tan(γ－β)＝
tanγ－tanβ 1＋tanγtanβ
＝
3x.2－1x.8 1＋3.2×x2 1.8
又f(x)＝tanx－x在x＝0处可导，且f(0)＝0. ∴当x∈(0，π2)时，f(x)>f(0)恒成立， ∴tanx－x>0，即tanx>x.
例2 已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的定义域是R上的函 数，其图像交x轴于A，B，C三点，若点B的坐标为(2,0)，且 f(x)在[－1,0]和[4,5]上有相同的单调性，在[0,2]和[4,5]上有相 反的单调性．
5．点x0是函数f(x)的极值点，可推出f′(x0)＝0，反过 来，f′(x0)＝0，x0不一定是函数f(x)的极值点，还要判断在x0 的左右两侧f′(x)符号是否相异，如果符号相异，是极值点， 如果符号相同，不是极值点．
求函数极大(小)值的方法步骤：①确定函数定义区间， 求导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③用函数的导数为0 的点，从小到大顺次将函数的定义区间分成若干小开区间， 并列成表格，检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左 正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正， 那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那 么f(x)在这个根处无极值．
6．求函数最大(小)值的步骤是：①求f(x)在(a，b)内的极 值；②将f(x)的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的为最大值， 最小的为最小值．在实际问题中，如果函数在定义域内只有 一点使得f′(x)＝0，此时，函数在此点有极大(小)值，那么 不与端点比较，也可以知道这就是最大(小)值．
二、定积分的应用
③求复合函数的导数，关键是分清楚函数的复合关系， 选好中间变量．
3．求曲线的切线方程 由于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，表示曲线在点P(x0， f(x0))处切线的斜率，因此，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的 切线方程可按如下求得： ①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在 点P(x0，f(x0))处切线的斜率． ②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，可得切线方程 为
(1)求c的值； (2)在函数f(x)的图像上是否存在一点M(x0，y0)，使得f(x) 在点M处的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不 存在，请说明理由．
解 (1)由题可知f(x)在[－1,0]和[0,2]上有相反单调性， ∴x＝0是f(x)的一个极值点，故f′(x)＝0， 即3ax2＋2bx＋c＝0有一个解为x＝0，∴c＝0. (2)∵f(x)交x轴于点B(2,0)， ∴8a＋4b＋d＝0，即d＝－4(b＋2a)． 令f′(x)＝0，则3ax2＋2bx＝0， ∴x1＝0，x2＝－23ba.
(1)求m，n的值及函数y＝f(x)的单调区间； (2)若a>0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．
解 (1)由函数f(x)的图像过点(－1，－6)， 得m－n＝－3，① 由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2， 得f′(x)＝3x2＋2mx＋n， 则g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n. 而g(x)的图像关于y轴对称，所以－22m×＋36＝0. 所以m＝－3，代入①得n＝0.
加即可．
2．求平面图形的面积是定积分的最重要的应用之一， 其基本步骤是：
①根据题意画出图形； ②找出变量的取值范围，定出积分上、下限； ③确定被积函数； ④写出相应的定积分表达式； ⑤用微积分基本定理计算定积分，求得结果．
3．做变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度 函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间[a，b]上的定积分，即S＝bv(t)dt.
1．利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积
函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导函数
是互逆运算，因此应注意掌握常见函数的导数；此外，如果
被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分的
性质
bf(x)dx＝
c
f(x)dx＋
b
f(x)dx，根据函数的定义域，将积分
a
a
c
区间分为几部分，代入相应的解析式，分别求出积分值，相
2．数形结合的思想 数形结合的思想是根据数学问题的条件和结论之间的内 在联系，既分析研究对象的代数含义，又揭示其几何意义， 使数量关系和空间图形巧妙、和谐地结合起来，并充分利用 这种结合寻找解题思路，使问题获得解决．
例3 一张1.4m高的图片挂在墙上，它的底边高于观察 者的眼1.8m，问观察者应站在距离墙多远处看图，才能最清 楚(即视角最大，视角是指观察图片的上底的视线与观察图 片下底的视线所夹的角)?
y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 如果曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))的切线垂直于x轴时，此 时导数不存在，由切线定义可知，切线方程为x＝x0. 4．求函数的单调区间 只需解不等式f′(x)>0(增区间)或f′(x)<0(减区间)，最后 写单调区间时要注意，各单调区间中间用“逗号”或用 “和”“或”隔开，千万不能用“∪”连接．
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表.
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋
0－0
＋
f(x)
极大值
极小值
由此表可得：
当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，
无极小值；
当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；
当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6， 无极大值；
例4
已知f(x)＝－x3＋ax，其中a∈R，g(x)＝－12x
3 2
，且
f(x)<g(x)在(0,1]上恒成立．求实数a的取值范围．
解
设F(x)＝f(x)－g(x)＝－x3＋ax＋12x
3 2
，
∵f(x)<g(x)在(0,1]上恒成立
⇔F(x)<0在(0,1]上恒成立，
∴a<x2－12x
1 2
，这样，要求a的取值范围，使得上式在区
＝
1.4x x2＋5.76
(x>0)．
令(tanα)′＝1.4x2＋x52.＋765.－762x2 ×1.4x＝0， 解得x＝2.4，在x＝2.4附近，导数值由正到负，在x＝ 2.4m处，tanα取得最大值． 即观察者站在距离墙2.4m处看图最清晰．
3．转化与化归的思想 转化与化归就是在处理问题时，把待解决的问题或难解 决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决 的问题，最终求得问题的解答．
a
4．如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体 沿着与F(x)相同的方向从x＝a到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所 做的功W＝bF(x)dx.
a
1.函数与方程的思想 函数的思想是用运动变化的观点，提出问题的数学特 征，建立各变量之间固有的函数关系，利用函数的性质，使 问题得到解决．方程的思想，就是分析各变量之间的等量关 系，建立方程组或构造方程，通过解方程或方程组或用方程 的性质去分析转化问题，使问题地讲就是“化整为零，各个击破”．或者 说不同的情况要采用不同的方法．解决这类问题的关键是弄 清为什么要分类，分类的标准是什么？最后如何整合？请看 下面的例子．
例6 已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图像过点(－1，－ 6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图像关于y轴对称．
间(0,1]上恒成立，只需求函数h(x)＝x2－12x
1 2
在(0,1]上的最小
值．
∵h′(x)＝2x－41 x
＝2 x－14x＋2 x＋1， 4x
由h′(x)＝0，(2 x－1)(4x＋2 x＋1)＝0.
∵4x＋2 x＋1>0， ∴2 x－1＝0，x＝14. 又∵x∈(0，14]时，h′(x)<0， x∈(14，1]时，h′(x)>0， ∴x＝14时，h(x)有最小值h(14)＝－136， ∴a<－136.
例5 若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上单调 递增，求a的取值范围．
分析 由f(x)在R上为增函数知f′(x)>0，从而将问题转 化为一元二次不等式问题求解．
解 由题意可得f′(x)＝3ax2－2x＋1. 因为f(x)在R上单调递增，所以f′(x)>0. 即3ax2－2x＋1>0在R上恒成立． 即aΔ>＝0，4－12a<0， 所以a>13. 又因为当a＝13时，f(x)在R上也是递增的， 所以a≥13.
∵f(x)在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性， ∴2≤－23ba≤4，∴－6≤ba≤－3. 假设存在点M(x0，y0)使得f(x)在点M处的切线斜率为3b， 则f′(x0)＝3b，即3ax02＋2bx0－3b＝0. ∵Δ＝(2b)2－4×3a×(－3b)＝4b2＋36ab＝4ab ba＋9 ，又 －6≤ba≤－3，∴Δ<0. ∴不存在点M(x0，y0)，使得f(x)在点M的切线斜率为3b.