假设检验习题及答案
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第三章 假设检验
3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000(小时),现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950(小时)。
已知这种元件寿命服从标准差
100σ=(小时)的正态分布,试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。
{}010
0001:1000, H :1000
X u=
950 100 n=25 1000950-1000
u= 2.5
10025 V=u 0.05H n
x u αμμμσσμα-≥<-====->=提出假设:构造统计量:此问题情形属于u 检验,故用统计量:此题中:代入上式得:
拒绝域:
本题中:0.950.950
u 1.64u 0.0u H =>∴即,拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。
3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为(%): 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24
设测定值服从正态分布,问在0.01α=下能否接受假设,这批矿砂的镍含量为
010110
20: 3.25 H :t X t=
1
3.252, S=0.0117, n=5
3.252-3.25
t= 0.3419
0.011751
H S n x μμμμσμ==≠--==-提出假设:构造统计量:本题属于未知的情形,可用检验,即取检验统计量为:本题中,代入上式得:否定域为:1-20.99512
0 V=t>t (1)0.01,(4) 4.6041, 3.25n t t t
H αα
α-
⎧⎫-⎨⎬
⎩⎭
==<∴ 本题中,接受认为这批矿砂的镍含量为。
3.5确定某种溶液中的水分,它的10个测定值0.452%,0.035%,X S ==
2N(,),μσ设总体为正态分布试在水平5%检验假设:
0101() H :0.5% H :0.5%() H :0.04% H :0.0.4%
i ii μμσσ≥<≥<
{}0
0.95()1
0.452% S=0.035%-4.1143
(1)0.05 n=10 t (9) 1.833i t S n X n ασμα--==-==1-构造统计量:本文中未知,可用检验。
取检验统计量为X t=
本题中,代入上式得: 0.452%-0.5%
t=0.035%10-1
拒绝域为:
V=t >t 本题中,0
1 4.1143H <=∴t 拒绝
{}2
2
2
002
2
2212210.95
2()nS S 0.035% n=10 0.04%100.035%7.65630.04% V=(1)(1)(9)16.919
ii n n αα
μχσσχχχχ
χ
χ--=
==*==>--== 2
构造统计量:未知,可选择统计量本题中,代入上式得:
()
()
否定域为:
本题中, 210
(1)n H αχ-<-∴接受
3.9设总体116(,4),,,X N X X μ 为样本,考虑如下检验问题:
{}{}01123
:0 H :1
() =0.05 V ={2X -1.645}
V = 1.502X 2.125
V =2X 1.962X 1.96
(ii)
H i μμα==-≤≤≤≤-≥试证下述三个检验(否定域)犯第一类错误的概率同为或通过计算他们犯第二类错误的概率,说明哪个检验最好?
解:
{}{}
{}
{}
00.97512012()
0.05
0.05
:0
2*1.960.052 1.645
02 1.645 1.645( 1.645)1(1.645)
=1-0.95=0.05
V 1.502 2.i P x V H X U U H X V X X P X P n X ααμσμσ-=∈=⎧⎫-⎪⎪=>==⎨⎬⎪⎪⎩⎭
=∴>==≤-⎧⎫⎪⎪-⎪⎪
≤-=≤-=Φ-=-Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭
=≤≤即,P U 这里P {}
{}{
}{}
{}
{}
203301110125 1.50 2.120(2.215)(1.50)0.980.930.05
02 1.962 1.962 1.96 1.96P(V H )=1-P 2 1.962(1(1.96))0.05ii :2 1.645X n P V H X V X X X n X H V X σσββ⎧⎫⎪⎪-⎪⎪
=≤≤⎨⎬
⎪⎪
⎪⎪⎩⎭
=Φ-Φ=-=⎧⎫⎪⎪-⎪⎪
=≤-≥=≥=≥⎨⎬
⎪⎪⎪⎪⎩⎭
<=-Φ=X ≥-或()
犯第二类错误的概率 =P -V =P {}
1
μ=-
{}
{}
223310.3551(0.355)0.36
:1 1.502 2.12511 4.125:2 1.961
10.04 3.96n V P X n V P X n σβμσβμσ⎧⎫
⎪⎪+⎪⎪
≥=-Φ=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=-≤≤=-⎧⎫⎪⎪+⎪⎪
≤≤⎨⎬
⎪⎪
⎪⎪⎩⎭ΦΦ=≤=-⎧⎫⎪⎪+⎪⎪
≤≤⎨⎬
⎪⎪
⎪⎩⎭
X =P X =1-P 3.50 =1-(4.125)+(3.50)
=1
X =P ⎪ΦΦ∴11 =(3.96)-(0.04)
=0.99996092-0.516=0.48396092V 出现第二类错误的概率最小,即V 最好。
3.10 一骰子投掷了120次,得到下列结果: 点数 1 2 3 4 5 6 出现次数
23
26
21
20
15
15
问这个骰子是否均匀?(0.05)α= 解:
2
2
i 1
22
i 1
1
:6
20
()()20i k
i i i k
i i i P n np np n np np χχχ====-=-+++==∑
∑ 0i 2222
本题原假设为: H i=1,2,,6这里n=120,nP 本题采用的统计量为Pearson 统计量即, 代入数据为:
(23-20)(26-20)(15-20)
=4.8
2210.95
21k-15k-1H ααχχχχ--<20()=()=11.071由于 () 所以接受即认为这个是均匀的。
3.11 某电话站在一小时内接到电话用户的呼唤次数按每分钟记录的如下表:
呼吸次数 0 1 2 3 4 5 6 >=7 频数
8
16
17
10
6
2
1
试问这个分布能看作为泊松分布吗?α(=0.05)
解:
{}{}{}{}02
2112
2222
2332
24H :()!
81610
X n 01*6*7*260606060
200.13530!212*0.2707
1!222*0.2707
2!23 1.5*0.23!
k e P x k k p e P P X e e P P X e e P P X e e P P X e λ
λλ
λλ-∧
∧
--------==
===*
+++++====
================= 0检验问题为: 参数为已知的最大似然估计 {}{}{}{}{}422
5522
6622782222
2
1030
224*0.0902
4!3
245* 0.0361
5!1524
6* 0.0120
6!45
7160
()(860*0.1353)(1660*0.2707)(160*0.0120)60*0.135360*0.270760*0k
i i i i
e P P X e e P P X e e P P X e P P X P X n np np χ------=================≥=-≤=----==+++
∑ .01200.6145
=
21210k-1k-1,H ααχχχχ--<∴ 2
0.95
2由于()=(5)=11.071()
接受即分布可以看作为泊松分布。
3.13从一批滚珠中随机抽取了50个,测得他们的直径为(单位:mm ):
15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.3 15.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14.8 14.5 14.2 14.9 14.9 15.2 15.0 15.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.2 15.9 15.2 15.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.5 15.1 15.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.7 14.6 14.2 是否可认为这批滚珠直径服从正态分布?(0.05)α= 解:
2123(),H :()(
)
H 0.1833
(
)(-1.1163)0.1321
0.428214.815.078
p ()(-1.1163)(-0.6492)(-1.1163)0.1260
0.4282p X F x x F x p μ
σ
μσμσ-=Φ==Φ=Φ=-=Φ-Φ=Φ-Φ==Φ020设为滚球的直径,其分布函数为则检验问题为
在成立的条件下,参数,的最大似然估计为=15.078,14.6-15.078
15.115.078
()(-0.6492)(0.0514)(-0.6492)0.2624
0.4282--Φ=Φ-Φ=
4512340.952015.415.078
p ()(-0.6492)(0.7520)(0.0514)0.2535
0.4282
p 10.2260k-m-12k-m-1,p p p p H ααχχχχ-=Φ-Φ=Φ-Φ==----=<∴ 221-21-()=()=5.991()=5.991
接受认为滚珠直径服从正态分布。
3-13表
i 1(,)i i a a -
i n
i p
i np
2
()i i i
n np np -
1 (0,14.6) 6 0.1321 6.6061 0.0556
2 [14.6,14.8) 5 0.1260 6.2976 0.2674
3 [14.8,15.1) 13 0.262
4 13.1209 0.0011 4 [15.1,15.4) 14 0.253
5 12.6752 0.1385 5
[15.4,+∞)
12 0.2260
11.3003
0.0433
∑
0.5059
3.15下列为某种药治疗感冒效果的3*3列联表。
疗效 年龄
儿童 成年 老年
∑
显著 一般 较差
58 38 32 28 44 45 23 18 14
128 117 55 ∑
109
100
91
300
试问疗效与年龄是否有关(0.05)α=?
解:
2X X X Y Y Y Y X ======13123设为年龄 儿童 成年 老年 为疗效 显著 一般 较差
2
2
21111112
11H Y (1)(1)
i j i j ij ij i j r s r s r s ij i j i j i j i j i j i j
r
s
ij i j i j
p p n n n n n p p n n n n n n n n n p p n n n n χχ⋅⋅∧
∧
⋅⋅⋅⋅∧∧
======⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅=*⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦===-=-∑∑∑∑∑∑∑∑
0ij 2
2
: p i=1,2,3 j=1,2,3 即X 与独立本题选择的统计量为
代入数据得: 221-0.95222
1-0.9503813.5862
((1)(1))(4)9.488((1)(1))(4)
,r s r s H ααχχχχχ--==>--=∴ 222222
222
5832284445=300(+++++
109*128100*12891*128109*117100*11791*117231814 +++-1)
109*55100*5591*55
=拒绝认为疗效与年龄有关。
3.16自动机床加工轴,从成品中抽取11根,并测得它们直径(单位:
mm )如下:10.52 10.41 10.32 10.18 10.64 10.77 10.82 10.67 10.59 10.38 10.49
试检验这批零件的直径是否服从正态分布?(0.05,)W α=用检验 解: 为了便于计算,列表如下:这里n=11。
表3-16
k ()k X
(1)n k X +- (1)()n k k X X +--
()k a W 1
10.18 10.82 0.64 0.5601 2 10.32 10.77 0.45 0.3315 3 10.38 10.67 0.29 0.2260 4 10.41 10.64 0.23 0.1429 5 10.49 10.59 0.1 0.0695 6
10.52
10.52
012
2
()
1
11
2()
1
5
k (12)()i=1
: H :()()()0.3821
10.5264
a ()[]
=0.560n
k k k i k k H W X
X X
X X W X X ==-≤≤≤⎧⎫⎪⎪
-⎡⎤⎨⎬
⎣⎦⎪⎪⎩⎭--==-∑∑∑∑ (1)(2)(n)n []2
k (n+1-k)(k)k=1总体服从正态分布总体不服从正态分布将观察值按非降次序排列成: X X X 本题采用的统计量为:a X X W=
2
0.050.05
01*0.64+0.3315*0.45+0.2260*0.29+0.1429*0.23+0.0695*0.1=0.61300.6130 W=0.9834
0.3821
W 0.85,W W H ==>∴ 所以
接受认为这批零件的直径服从正态分布。
3.18用两种材料的灯丝制造灯泡,今分别随机抽取若干个进行寿命试验,其结果如下:
甲(小时):1610 1650 1680 1700 1750 1720 1800 乙(小时):1580 1600 1640 1640 1700
试用秩和检验法检验两种材料制成的灯泡的使用寿命有无显著差异(0.05)α=? 解:将两组数据按从小到大的次序混合排列如下表所示,其中第一组的数据下边标有横线。
1212F ()(),:F ()F ()
x F x x x =0设两个总体的分布函数分别为与它们都是连续函数,但均为未知。
我们要检验的原假设为: H
表3-18
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
数据 1580 1600 1610 1640 1640 1650 1680 1700 1700 1720 1750 1800
这里1700两组都有,排在第8,第9位置上,它的秩取平均数(8+9)/2=8.5 这里
1220.050.05075,,12458.520.5
1322,4322
,n n T T H ααα=>==++++======∴ 2(1)(1)(2)(2)(1)取即 T=T 从附表查得 T T T T T<T 拒绝认为两种材料制成的灯泡的使用寿命有显著差异。
,
3.21对20台电子设备进行3000小时寿命试验,共发生12次故障,故障时间为 340 430 560 920 1380 1520 1660 1770 2100 2320 2350 1650
试问在显著水平0.10α=下,故障事件是否服从指数分布? 解:
012i i=1()
1416.67
0()():()(;)1,11
X (3404301650)=1416.671212 F (;)1x X i i i i F x F x e X e
X d θ
θθθθ∧
∧
-∧
∧
-==-==+++=-∑ 0原假设为:H x>0
求未知参数的极大似然估计值
按公式计算点的分布函数值,在列表计算值。
()i X
i n
0()(;)
i F X θ∧
()()n i F X (1)()n i F X +
0()
()(;)
()
i n i F X F X θ∧
- 0()(;)
F X F X θ-
i d
340 1 0.2134 0 0.0833 0.2134 0.1300 0.2134 430 1 0.2618 0.0833 0.1667 0.1785 0.0951 0.1785 560 1 0.3265 0.1667 0.2500 0.1599 0.0765 0.1599 920 1 0.4776 0.2500 0.3333 0.2276 0.1443 0.2276 1380 1 0.6225 0.3333 0.4167 0.2891 0.2058 0.2891 1520 1 0.6580 0.4167 0.5000 0.2413 0.1580 0.2413 1660 1 0.6902 0.5000 0.5833 0.1902 0.1068 0.1902 1770 1 0.7133 0.5833 0.6667 0.1300 0.0467 0.1300 2100 1 0.7729 0.6667 0.7500 0.1062 0.0229 0.1062 2320 1 0.8056 0.7500 0.8333 0.0556 0.0278 0.0556 2350 1 0.8096 0.8333 0.9167 0.0237 0.1070 0.1070 2650
1
0.8470 0.9167 1.0000 0.2287
0.3120
0.3120
∑
2.2108
12,0.1012,0.10
0S 2.2108,0.109S 1.65
S S ,n n H α****===>∴ 由表可知给定显著水平,查附表得拒绝既不认为故障时间服从指数分布。