逻辑函数的卡诺图化简法介绍

0110 0 0111 1 1000 0 1001 1
为0。试写出L的最简表达
1010
式。
1011 1100
1101
1110
1111
23
列真值表
画出卡诺图
L CD
AB
00
01
11
10
0 11 0
00
01
00
01X X
写出表达式
L=D
1
24
CD
AB
00 01
00 0 0
11 10 00
01 0 1 1 1 11 × × × × 10 1 1 × ×
L=A+BC+BD
BD BC A
22
列真值表
ABCD L
0000 0
例2
0001 1 0010 0
建立满足以下要求的代码 识别逻辑函数：
0011 1 0100 0 0101 1
当输入的8421BCD码 (ABCD)对应的十进制数为 奇数时，函数值L为1,偶数
2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
2.2.1最小项的定义及性质 2.2.2逻辑函数的最小项表达式 2.2.3用卡诺图表示逻辑函数 2.2.4用卡诺图化简逻辑函数
1
2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
代数法化简在使用中遇到的困难： 1.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所
有公式熟练掌握； 2.代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验
最小项的表示：通常用mi表示最小项，m 表示最小项,下标i为
最小项号。
4
A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1；
不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同；
对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0；
对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。
在有些逻辑问题中，有些变量的取值要加以约束，相应的最小 项的取值为0，我们将这些取值为0的最小项称为约束项。
如A=1表示电机正转；B =1表示电机反转；C =1表示电机停 转。 如ABC不能等于000、011、101、111中的任何一组。
ABC+ ABC+ ABC+ ABC= 0
恒等于0的最小项：ABC ABC ABC ABC
AC D BC D
ABC
1
1
1
L C D B C A B C A C D B C D
17
例2 用卡诺图化简
L ( A , B , C , D ) m ( 0 ~ 3 , 5 ~ 7 , 8 ~ 1 1 , 1 3 ~ 1 5 )
L
CD
AB
00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 0 1 1 1
和灵活性； 3.用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简
后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。 卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。
2
2.2.1 最小项的定义及其性质
1、最小项的定义： n个变量(X1, X2, …, Xn)的最小项就是n个因子的乘积，在该 乘积中每个变量都以它的原变量或非变量的形式出现一次， 且仅出现一次。
ABC L
m0 0 0 0
0
m1 0 0 1
1
m2 0 1 0 0
m3 0 1 1 1
m4 1 0 0 1
m5 1 0 1 1 m6 1 1 0 0 m7 1 1 1 1
L ABC ABC ABC ABC ABC
逻辑函数式最小项表达式
LABCABCABCABCABC m 1m 3m 4m 5m 7
逻辑函数的卡诺图 AABBCC 0000 0011 1111 1100
01 m 4 m 5 m 7 m 6
1 1 m 12 m 13 m 15 m 14
10 m 8 m 9 m 11 m 10
A B C D A B C D A B D A BCDA BC A D BD A B D A B D A D ABDABD AD ADAD D
14
逻辑函数的几种表示方式
逻辑函数真值表
L ( A ,B ,C ,D ) ( A B C D ) ( A B C D ) ( A B C D ) (A B C D )(A B C D )
解 1. 将逻辑函数化为最小项表达式
L A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D
D
11 0 1 1 1 10 1 1 1 1
B
C LDCB
1
1
1
圈0
L
CD
AB
00 01 11 10
00 1 1 1 1 01 0 1 1 1 11 0 1 1 1
10 1 1 1 1
L BCD
LDCB
1
1
1
18
3.2.4 用卡诺图化简逻辑函数
3、卡诺图化简举例
例 2 将逻辑函数 L A B C A C D A B A B C D A B C
3.同一方格可以被不同的包围 圈重复包围多次，但新增的包 围圈中一定要有原有包围圈未 曾包围的方格。
4. 一个包围圈的方格数要尽可能 多,包围圈的数目要可能少。
CD
AB
00 01 11 10
00 01
m0 m4
m1 m5
m3 m7
Xm 2
m6
1 1 m 12 m 13 m 15 m 14
1 0 m 8 m 9 m 11 m 10
5
2.2.2 逻辑函数的最小项表达式
逻辑函数的最小项表达式：L (A B C ) A B C A B C A B C A B C 为“与或”逻辑表达式； 在“与或”式中的每个乘积项都是最小项。
例1 将 L(A,B,C)ABAC化成最小项表达式
L (A ,B ,C ) A B (C C ) A (B B )C A B C A B C A B C A B C = m7＋m6＋m3＋m5
如三变量逻辑函数 f (A B C)
ABC ABC A B C A B C ------最小项
ABCA A B A(B + C ) -----不是最小项
3
2、最小项的性质
三个变量的所有最小项的真值表
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
m1 0 0 1
1
m2 0 1 0 0
m3 0 1 1 1
m4 1 0 0 1
m5 1 0 1 1 m6 1 1 0 0 m7 1 1 1 1
L ABC ABC ABC ABC ABC
逻辑函数式最小项表达式
LABCABCABCABCABC m 1m 3m 4m 5m 7
逻辑函数的卡诺图 AABBCC 0000 0011 1111 1100
16
2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数
3、卡诺图化简举例
例1 用卡诺图化简L ( A , B , C , D ) m ( 0 , 1 , 2 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 3 , 1 4 )
CD BC
L
CD
AB
00 01 11 10
00 1 1
1
01
11 1
11
1
1
10 1 1
如最小项 m6=ABC、与 m7 =ABC 在逻辑上相邻
m6 m7
8
2. 用卡诺图表示逻辑函数
两变量最小项真值表
三变量卡诺图
A B mi
0 0 m0
N
0 1 m1
变 量
1 0 m2 1 1 m3
卡 两变量卡诺图
诺
图
AB 0 1
0 AmB0 AmB1
1 mAB2 AmB3
BC A
00
01
11
10
0 AmBC0 AmBC1 AmBC3 AmBC2
00 AAmBB0CC0 AAmBB1CC1 AAmBB1CC3 AAmBB0CC2 11 AAmBB1CC4 AAmBB1CC5 AAmBB1CC7 AAmBB0CC6
10
根据最小项逻辑表达式画卡诺图
方法：逻辑函数包含有哪几个最小项，就在卡诺图相对应 的方格内填1，其余各方格填0。
例如：逻辑函数 F (A ,B ,C ) m 3 ,5 ,6 ,7 ，可在３变量卡
L
A B (C C ) A B C A C (B B )
BC A 00
0 m1
A B C A B C A B C A B C A B C
0
1 m1
m (0 , 2 ,3 ,4 ,6 )
4
01 11 10
m0 m1 m1
1
3
2
m0 m0 m1
5
7
6
2. 填写卡诺图。
12
例2 画出下式的卡诺图
00 AAmBB0CC0 AAmBB1CC1 AAmBB1CC3 AAmBB0CC2 11 AAmBB1CC4 AAmBB1CC5 AAmBB1CC7 AAmBB0CC6
15
3.2.4 用卡诺图化简逻辑函数
画包2、围用圈卡时诺应图遵化循简的逻原辑则函：数的一般步骤 A.画出逻辑函数的卡诺图。 1. 包围圈内的方格数一定是2n个，且包围圈必须呈矩形。 B. 合并最小项，即将相邻的为1的方格圈成一组。 C. 将所有包围圈对应的乘积项相加。 2.循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。
约束项
20
任意项:
在有些逻辑问题中，在有些变量的取值下，最小项是0、或1对 函数的取值均无影响，我们将对应的这些最小项称为任意项。
如四位二进制代码中，对于8421BCD码而言1010-1111为任意
项。
ABC
为
2、无关项处理方法： 约
束 1)填函数的卡诺图时只在无关项对应的格内填任意符号 “×”
逻辑函数式中用“Φ”或、“d”表示无关项。 2)化简时可根据需要视为“1”也可视为“0”，使函数化到最
m ( 1 5 ,1 3 ,1 0 ,6 ,0 )
2. 填写卡诺图
L CD 00 01
AB 00 0 1
11 10 11
01 1 1 1 0
11 1 0 0 1
10 1 1 1 0 13
2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数
1、用卡诺图化简逻辑函数卡诺图化简的依据
CD
AB
00 01 11 10
00 m 0 m 1 m 3 m 2
简。
21
3、含无关项的逻辑函数化简举例
例1、试用卡诺图化简逻辑函数
L m ( 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ) d ( 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 ) a、画出逻辑函数的卡诺图
b、化简逻辑函数
CD
AB
00 01
00 0 0
11 10 00
01 0 1 1 1 11 × × × × 10 1 1 × ×
m(7,6,3,5)
6
例2 将 L(A ,B ,C )(A BA BC )A B化成最小项表达式
a.去掉非号 L(A ,B ,C )(A B A B C )A B
(ABABC)AB (AB)(AB)CAB
b.去括号
ABCABCAB
A B CA B CA B (CC )
A B C A B C A B C A B C
对应的m3，m5，m6，m7方格内填1，其余方格填0。
AB 00 C
00
10
01 11 10
0
1
0
1
1
1
11
用卡诺图表示逻辑函数的方法： 1. 将逻辑函数化为最小项表达式；
2. 填写卡诺图。 例1 用卡诺图表示逻辑函数 LA BAB CA C。
解 1. 将逻辑函数化为最小项表达式；
LA BAB CA C
m 3 m 5 m 7 m 6 m ( 3 ,5 ,6 ,7 )
7
2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数
1、卡诺图：将n变量的全部最小项都用小方块表示，并使 具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来， 这样,所得到的图形叫n变量的卡诺图。
逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变 量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。
1 AmBC4 AmBC5 AmBC7 AmBC6
四变量卡诺图
CD
C
AB 00 01 11 10
00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6
B A 11 m12 m13 m15 m14
10 m8 m9 m11 m10
9
D
逻辑函数的几种表示方式
逻辑函数真值表
ABC L
m0 0 0 0
0
化简为最简与或表达式。
ABC AC D AB
LBAA BD CD
ABC
LL
CC DD
AA BB
00 00 00 11 11 11 11 00
00 00 1 1 1 1
00 11
1 11 11
11
11 00 1 1 1 1
AD
B
11
11
11
19
2.2.5 含无关项的逻辑函数及其化简
1、什么叫无关项：约束项和任意项在逻辑函数中统称为无关项。 约束项: